1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 函数项级数 的收敛域为 ( )（A）(-1，1)（B） (-1，0)（C） 一 1，0（D）一 1，0)3 函数 f(x)= 展开为 x 一 1 的幂级数，则其收敛半径 R 等于 ( )（A）（B） 2（C） 4（D）14 设 an0，且当 n时，（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性由具体的 an 决定5 设 下列说法正确的是 ( )6 设 f(x)在区间0，1上连续，且 0f(x)1，又设（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与具体的
2、f(x)有关二、填空题7 函数 f(x)=ln(3+x)展开为 x 的幂级数为_8 幂级数 的收敛域为_9 幂级数 的收敛域为_10 ex 展开成 x 一 3 的幂级数为 _11 若 在 x=一 3 处为条件收敛，则其收敛半径 R=_12 函数 f(x)=cosx 展开成 x+ 的幂级数为_ 13 无穷级数 的和为_14 f(x)= 展开的麦克劳林级数为 f(x)=_，它成立的区间为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求幂级数 的收敛域与和函数，并求 的和16 设 an=0nx|sinx|dx，n=1，2，3，试求 的值17 求级数 的和函数18 求幂级数 的和函数 S(
3、x)19 设 都是正项级数试证：20 设 u1=2, (n=1，2，3，)证明：级数 收敛21 设幂级势 an(x 一 b)n(b0)在 x=0 处收敛，在 x=2b 处发散，求幂级数的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 的收敛半径22 将 y=sin x 展开为 的幂级数23 将 f(x)= 展开为 x+1 的幂级数24 设 xn(1 一 x)ndx，n=1 ，2，3，证明级数 收敛，并求其和25 (1)证明26 求级数27 设 f(x)在区间(0，1)内可导，且导函数 f(x)有界，证明：级数绝对收敛28 将函数 f(x)= 展开成 x 一 2 的幂级数，并求出其收敛区间29 设 a0
4、=0，a 1=1，a n+1=3an+4an+1(n=1，2，) (1)令(2)求幂级数 的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数30 设 an= (tannx+tann+2x)dx，n=1 ，2，求幂级数 的收敛半径、收敛区间、收敛域及和函数31 求幂级数 的收敛半径、收敛区间及收敛域，并求收敛区间内的和函数32 求级数 的收敛域及其和函数33 将函数 f(x)=arctan 展开成 x 一 2 的幂级数，并求出此展开式成立的开区间考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块
5、】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 B【试题解析】 因(1+x)m=1+mx+ +(一 1x1)，因此一 1 1，有一2x 一 12，所以 R=2【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 举例说明敛散性由具体a n决定：【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 设 l1对于 ，当 n 充分大时因此，当 n 充分大时，有从而，当 n 充分大时，有【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 0f(x)1 且 f(x)连续，有所以 发散，并且由莱布尼茨定理知，交错级数 条件收敛【知识模块】 微积分二、填空题7 【正
6、确答案】 【试题解析】 已知由一 1 1，得一 3x3【知识模块】 微积分8 【正确答案】 1，3)【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 一 1，1【试题解析】 为缺项级数，不能通过 求收敛半径 R，可用比值审敛法求 R具体为： 当|x 2|1，即|x|1 时，级数绝对收敛；当|x 2|1，即|x|1 时，级数发散，故 R=1当 x=1 时，原级数 收敛；当 x=一 1 时，原级数 收敛，从而收敛域为-1，1【知识模块】 微积分10 【正确答案】 一x+【试题解析】 由 ex=e3+(x-3)=e3.ex-3，又从而 ex=e3.ex-3=(一x 一 3+即一x+)【知识模块】
7、微积分11 【正确答案】 3【试题解析】 因 在 x=一 3 处收敛，由阿贝尔定理知，|x| 3 时， 绝对收敛又因 在 x=一 3 处条件收敛，故|x|3 时， 发散如若不然，必存在 x1，使|x 1|3 且级数 在 x=x1 处收敛由阿贝尔定理便可推出|x|x 1|时，特别是 x=一 3 时 绝对收敛这与题设级数在 x=一 3 处条件收敛相矛盾综上，由收敛半径的定义知 R=3【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 1【试题解析】 作积分变量代换，令 从而 x=(1 一 t)2，dx= 一 2(1 一 t)dt从而该级数的前n 项部分和所
8、以级数的和【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 成立的区间是(一2，2)【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 当|x|1 时，幂级数收敛；当|x|1 时，幂级数发散；当 x=1 时，级数为 收敛；当 x=-1 时，级数为发散所以，幂级数的收敛域为(-1，1【知识模块】 微积分16 【正确答案】 令 x=n-t，则 a n=一 n0(n-t)|sint|dt=n0n|sinx|dx-0nx|sinx|dx，所以 =n2,n=1，2，记 S(x)=一 1x1，逐项求导，得【知识模块】 微积分17 【正确答案】 又 y(0)=1，y
9、(0)=0 于是得到如下微分方程 特征方程为 r21=0，r=1，得通解 y=C 1ex+C2e-x上式两边关于 x 求导，得 y=C1exC2e-x将初值条件代入，解得 C1=C2= 故【知识模块】 微积分18 【正确答案】 因为 所以该幂级数的收敛域为(一，+) 整理得 S(4)(x)一 S(x)=0解此四阶常系数齐次线性微分方程得 S(x)=C 1ex+C2e-x+C3cosx+C4sin x 代入初值条件 S(0)=1，S(0)=S“(0)=S“(0)=0，得【知识模块】 微积分19 【正确答案】 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 由算术平均值不小于其几何平均值得即数列u n有下
10、界 1，由此又得 un+1 一 un= (1一 un2)0，即u n单调减少，则根据单调有界准则知极限 必存在，由u n单调减少知所考虑的级数为正项级数，且有 因存在，则由级数敛散性的定义知级数 收敛于是，由比较审敛法得原正项级数 收敛【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令 t=x 一 b，收敛中心 x0=b 的幂级数 化为收敛中心t0=0 的幂级数 根据阿贝尔定理可以得到如下结论：因为 在 x=0处收敛，所以 在 t=一 b 处收敛，从而当|t|-b|=b 时，幂级数 绝对收敛由于 在 x=2b 处发散，故 在 t=b 处发散，进而当|t|b 时，幂级数 发散由上述两方面，根据幂级数收敛
11、半径的定义即知 的收敛半径 R=b，其收敛域为一 b，b)注意到幂级数分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是 R=b【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 如果此题这样做： 是行不通的改用“ 先积后导 ”的方法：【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 (1) (2)由于由待定系数法得，【知识模块】 微积分26 【正确答案】 本题要求其收敛区间为(一 ，+)，并记其和函数两边求导得S(x)= 故【知识模块】 微积分27 【正确答案】 在 上，由
12、拉格朗日中值定理有其中|f(x)|M，所以 绝对收敛【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 u=x 一 2，于是 x=u+2，f(x)= 则上式成立的范围是1 且|u|1，即|u|1从而知【知识模块】 微积分29 【正确答案】 (1)a 2=3a1+4a0=3，b 1= =3所以 bn3(n=2，3，)(2)下面求所给幂级数的收敛半径 所以收敛半径 R=+，收敛区间=收敛域 =(一，+)下面求收敛域上的和函数即 S(x)满足微分方程 S“(x)一 3S(x)一 4S(x)=0， (*) 及初始条件 S(0)=0，S(0)= =1. (*)解之，得因为方程(*)在初始条件(*) 下的解唯一，
13、所以【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由求收敛半径的方法，得 所以收敛半径 R=1，收敛区间=收敛域=(一 1，1)在收敛域内，记和函数为 S(x)，则又由 S(x)的定义知 S(0)=0，于是和函数为【知识模块】 微积分31 【正确答案】 按通常方法容易求得该幂级数的收敛半径 R=1，收敛区间为(一1，1)，收敛域为 一 1，1 在收敛区间( 一 1，1) 内，令和函数为 S(x)，当 x(一 1，1)且 x0 时，S(0)=0(可以看成上式当 x0 时的极限【知识模块】 微积分32 【正确答案】 可见收敛半径R=3当 x=一 3 时，级数成为 是收敛的交错级数；当 x=3 时，级数成为是发散级数，故原级数 的收敛域为一 3，3)设 S(x)为所给级数的和函数，则 在上式两边同时积分，得因和函数 S(x)是收敛域上的连续函数，故故所求级数的和函数为【知识模块】 微积分33 【正确答案】 展开成 x 一 2 的幂级数，令 x 一 2=u，即 x=u+2，于是 f(x)=arctan变换为 将 (u)展开成 u 的幂级数两边从 t=0 到 t=u 作定积分，得于是得到 (u)的展开式【知识模块】 微积分
