1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 17 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 y(4)一 2y“一 3y“=e-3x 一 2e-x+x 的特解形式是 (其中 a，b，c，d 为常数) ( )（A）axe -3x+bxe-x+cx3（B） ae-3x+bxe-x+cx+d（C） ae-3x+bxe-x+cx3+dx2（D）axe -3x+be-x+cx3+dx2 设线性无关的函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)均是方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x)的解，C1，C 2 是任意常数，则该方程的通解是 ( )（A）C 1y1+C
2、2y2+y3（B） C1y1+C2y2 一(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2 一(1 一 C1 一 C2)y3（D）C 1y1+C2y2+(1 一 C1 一 C2)y33 函数 (其中 C 是任意常数)对微分方程 而言 ( )（A）是通解（B）是特解（C）是解，但既非通解也非特解（D）不是解4 微分方程 y“一 6y+8y=ex+e2x 的一个特解应具有的形式为(其中 a，b 为常数)( )（A）ae x+be2x（B） aex+bxe2x（C） axex+be2x（D）axe x+bxe2x5 微分方程 y“+2y+2y=e-xsin x 的特解形式为(其中 A，B 为常数) (
3、 )（A）e -x(Acos x+Bsin x)（B） e-x(Acos x+Bx sin x)（C） xe-x(Acosx+Bsinx)（D）e -x(Axcosx+Bsinx)6 微分方程 的通解是(其中 C 为任意常数) ( )7 微分方程 y“一 4y+4y=x2+8e2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b，c，d 为常数) ( )（A）ax 2+bx+ce2x（B） ax2+bx+c+dx2e2x（C） ax2+bx+cxe2x（D）ax 2+(bx2+cx)e2x8 微分方程 y“+y+y= 的一个特解应具有形式 (其中 a，b 为常数) ( )9 微分方程 y“+2y+y=sh
4、 x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）ash x（B） ach x（C） ax2e-x+bex（D）axe -x+bex10 设 f(x)连续，且满足 f(x)= +ln 2，则 f(x)= ( )（A）e xln 2（B） e2xln 2（C） ex+ln 2（D）e 2x+ln 211 设 f(x)，f(x)为已知的连续函数，则方程 y+f(x)y=f(x)f(x)的通解是 ( )（A）y=f(x)+Ce -f(x)（B） y=f(x)+1+Ce-f(x)（C） y=f(x)一 C+Ce-f(x)（D）y=f(x)一 1+Ce-f(x)12 微分方程 y“一 y=
5、ex+1 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+b（B） axex+b（C） aex+bx（D）axe x+bx13 微分方程 (x0)满足 y(1)=0 的特解是 ( )14 设以下的 A，B，C 为某些常数，微分方程 y“+2y一 3y=exsin2x 有特解形如 ( )（A）e x(A+Bcos 2x+Csin 2x)（B） ex(Ax+Bcos 2x+Csin 2x)（C） ex(A+Bx COS 2z+Cx sin 2z)（D）xe x(A+Bcos 2x+Csin 2x)15 已知 y1=xex+e2x 和 y2=xex+e-x 是某二阶常系数非齐次线
6、性微分方程的两个解，则此方程为 ( )（A）y“一 2y+y=e2x（B） y“一 y一 2y=xex（C） y“一 y一 2y=ex 一 2xex（D）y“一 y=e2x二、填空题16 设 y1=ex，y 2=x2 为某二阶齐次线性微分方程的两个特解，则该微分方程为_17 微分方程 y+ytan x=cosx 的通解为 y=_18 微分方程 y“一 4y=e2x 的通解为 y=_19 微分方程 3extan ydx+(1 一 ex)sec2ydy=0 的通解是_20 微分方程 ytan x=yln y 的通解是_21 微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是_22 微分方程 的通解是_
7、23 微分方程 的通解是_24 微分方程 y“一 7y=(x1)2 由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_.25 以 y=cos 2x+sin 2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_26 微分方程 的通解是_27 微分方程(1 一 x2)yxy=0 满足初值条件 y(1)=1 的特解是_28 微分方程 y“一 2y=x2+e2x+1 由待定系数法确定的特解形式(不必求出系数)是_.29 微分方程 xdyydx=ydy 的通解是_30 以 y=7e3x+2x 为一个特解的三阶常系数齐次线性微分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31 设 a0，函数 f
8、(x)在0，+) 上连续有界证明：微分方程 y+ay=f(x)的解在0，+) 上有界32 已知曲线 y=y(x)经过点 (1，e -1)，且在点(x，y) 处的切线在 y 轴上的截距为 xy，求该曲线方程的表达式33 求微分方程 xy+y=xex 满足 y(1)=1 的特解34 求微分方程 y“+4y+4y=e-2x 的通解35 求微分方程 y“+2y一 3y=e-3x 的通解36 求微分方程 y“+5y+6y=2e-x 的通解37 求微分方程(3x 2+2xyy2)dx+(x2 一 2xy)dy=0 的通解38 已知某商品的需求量 x 对价格 p 的弹性 =一 3p3，而市场对该商品的最大需
9、求量为 1 万件，求需求函数39 某商品市场价格 p=p(t)随时间变化，p(0)=p 0而需求函数 QA=b 一 ap(a，b0)，供给函数 QB=一 d+cp(c，d0)，且 p 随时间变化率与超额需求 QAQB 成正比求价格函数 p=p(t)40 设 Yt，C t，I t 分别是第 t 年的国民收入、消费和投资，三者之间有如下关系求 Yt考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 17 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2(r22r 一 3)=0，特征根为 r1=3，r 2=一 1，r 3=r4=0，对f
10、1=e-3x， 1=一 3 非特征根，y 1*=ae-3x；对 f2=一 2e-x， 2=一 1 是特征根，y 2*=bxe-x；对 f3=x， 3=0 是二重特征根，y 3*=x2(cx+d)，所以特解的形式为 y*=y1*+y2*+y3*=ae-3x+bxe-x+cx3+dx2。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 由于 C 1y1+C2y2+(1 一 C1 一 C2)y3=C1(y1 一 y3)+C2(y2 一 y3)+y3， 其中y1 一 y3 和 y2 一 y3 是原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解，又 y3 是原方程的一个特解，所以选项(D) 是原方程的通解【知
11、识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 因原方程阶数为 2，通解中应包含两个任意常数 (可求出通解为C1+C2x+ )； 特解中不含有任意常数 满足原方程故选项(A)，(B)，(D)都不对，应选(C)【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由原方程对应的齐次方程的特征方程 r2 一 6r+8=0 得特征根r1=2，r 2=4又 f1(x)=ex， =1 非特征根，对应特解为 y1*=aex；f 2(x)=e2x，=2 为单重特征根，对应特解为 y2*=bxe2x故原方程的特解形式为 aex+bxe2x，选(B) 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 对应
12、特征方程为 r2+2r+2=0，即(r+1) 2=一 1，特征根为 r1,2=一 1i，而 i=一 1i 是特征根，所以特解的形式为 y*=xe-x(Acos x+Bsin x)【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 原方程写成 分离变量有 两边积分得【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 对应特征方程为 r24r+4=0，特征根是 r1,2=2而 f1=x2， 1=0 非特征根，故 y1*=ax2+bx+c又 f2=8e2x， 2=2 是二重特征根，所以 y2*=dx2e2xy 1*与y2*合起来就是特解，选 B.【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析
13、】 对应特征方程为 r2+r+1=0，特征根为是特征根，所以特解形式为 y*=【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 对应特征方程为 r2+2r+1=0，得 r=一 1 为二重特征根，而 f(x)=sh x=故特解为 y*=ax2e-x+bex【知识模块】 微积分10 【正确答案】 B【试题解析】 原方程求导得 f(x)=2f(x)，即 积分得 f(x)=Ce2x，又 f(0)=ln 2，故 C=ln 2，从而 f(x)=e2xln 2【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 由一阶线性方程的通解公式得 y=e -f(x)dxC+f(x)f(x)ef(x)dxdx
14、=e-f(x)C+f(x)def(x)=Ce-f(x)+f(x)一 1(C 为任意常数)【知识模块】 微积分12 【正确答案】 B【试题解析】 根据非齐次方程 y“一 y=ex+1 可得出对应的齐次方程 y“一 y=0，特征根为 r1=一 1，r 2=1，非齐次部分分成两部分 f1(x)=ex，f 2(x)=1，可知 y“一 y=ex+1的特解可设为 axex+b【知识模块】 微积分13 【正确答案】 B【试题解析】 将原方程变形为 这是齐次微分方程，令分离变量得 ，两端积分得 =一 ln x+C由 y(1)=0，即 u(1)=0 可得 C=0，进而得出应选(B)【知识模块】 微积分14 【正
15、确答案】 B【试题解析】 y“+2y一 3y=exsin2x= 对应齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e-3x，自由项 所对应的特解形式 y1*=Axex；自由项为 所对应的特解形式为 y2*=ex(Bcos 2x+Csin 2x)因此本题所对应的特解形式为 y*=y1*+y2*=ex(Ax+Bcos 2x+Csin 2x)【知识模块】 微积分15 【正确答案】 C【试题解析】 非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由 y1 一 y2=e2x 一e-x 及解的结构定理知对应齐次方程通解为 y=C1e2x+C2e-x，故特征根 r1=2，r 2=一1对应齐次线性方程为 y“一 y一 2y
16、=0 再由特解 y*=xex 知非齐次方程的自由项 f(x)=(y*)”一(y*)一 2y*=ex 一 2xex， 于是所求方程为 y“一 y一 2y=ex 一 2xex【知识模块】 微积分二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 由于方程形式已知，故只要将两个特解分别代入并求出系数即可设所求的二阶齐次线性微分方程为 y“+p(x)y+q(x)y=0 分别将 y1=ex，y 2=x2 代入，得 解得 故所求方程为【知识模块】 微积分17 【正确答案】 (x+C)cos x，其中 C 为任意常数【试题解析】 属于一阶非齐次线性方程，直接根据一阶非齐次线性微分方程的通解公式即可得出答案【知识模块
17、】 微积分18 【正确答案】 其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 y“-4y=0 的特征根 r=一2，则其通解为 Y=C1e-2x+C2e2x 设其特解为 y*=Axe2x，代入 y“一 4y=e2x，解得 所以 y“一 4y=e2x 的通解为y=y+y*=C1e-2x+ ，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分19 【正确答案】 tan y=C(e x 一 1)3，其中 C 为任意常数【试题解析】 方程分离变量得 积分得 ln|tan y|=3ln|e x 一 1|+ln C1所以方程的通解为 tan y=C(ex 一 1)3，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分20
18、 【正确答案】 y=e Csinx，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程分离变量，有 积分得 ln|ln y|=ln|sin x|+ln C1通解为 ln y=Csin x 或 y=eCsinx，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分21 【正确答案】 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程原方程可写为6xdx+ydx+xdy=0，有 d(3x2+xy)=0，积分得通解 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分22 【正确答案】 y=C 1e3x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程
19、是二阶常系数齐次线性微分方程其特征方程为 r2 一5r+6=0，即(r 一 3)(r 一 2)=0解出特征根 r1=3，r 2=2，即得上述通解【知识模块】 微积分23 【正确答案】 y=(C 1+C2x)ex+1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程其通解为 ，其中 是对应齐次方程的通解，y*是非齐次方程的一个特解 因原方程对应齐次方程的特征方程为 r2 一 2r+1=0，即(r 1)2=0，特征根为 r1,2=1.故 =(C1+C2x)ex，其中 C1，C 2 为任意常数根据观察，显然 y*=1，与 合并即得原方程通解【知识模块】 微积分24 【
20、正确答案】 y*=x(Ax 2+Bx+C)【试题解析】 原方程对应齐次方程的特征方程为 r2 一 7r=0，特征根r1=7，r 2=0而 f(x)=x2 一 2x+1，=0 是特征根，所以特解形式如上所答【知识模块】 微积分25 【正确答案】 y“+4y=0【试题解析】 由特解 y=cos 2x+sin2x 知特征根为 r1,2=2i，特征方程是 r2+4=0，其对应方程即 y“+4y=0【知识模块】 微积分26 【正确答案】 y=C 1+C2x+C3x2+C4e-3x，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【试题解析】 特征方程 r4+3r3=0，即 r3(r+3)=0故通解如上【知
21、识模块】 微积分27 【正确答案】 【试题解析】 原方程化为 积分得通解 ln y=由初值 y(1)=1 解出 得特解【知识模块】 微积分28 【正确答案】 y*=x(Ax 2+Bx+C)+Dxe2x【试题解析】 特征方程为 r2 一 2r=0，特征根 r1=0，r 2=2 对 f1=x2+1， 1=0 是特征根，所以 y1*=x(Ax2+Bx+C)； 对 f2=e2x， 2=2 也是特征根，故有 y2*=Dxex2从而 y*如上【知识模块】 微积分29 【正确答案】 其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程化为 是齐次方程令 y=xu，则dy=xdu+udx，方程再化为 积分得 一 ln|u
22、|=ln|x|一 ln C1 或代入 y=xu，得通解 其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分30 【正确答案】 y“一 3y“=0【试题解析】 由特解 y=7e3x+2x 知特征根为 r1=3， r2=r3=0(二重根)，特征方程为r33r2=0，相应齐次线性方程即为 y“一 3y“=0【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。31 【正确答案】 原方程的通解为 y(x)=e axC+0xf(t)eatdt，设 f(x)在0，+)上的上界为 M，即|f(x)|M ，则当 x0 时，有 |y(x)|=|e -axC+0xf(t)eatdt| |Ce-ax|+e-a
23、x|0xf(t)eatdt| |C|+Me-ax0xeatdt 即 y(x)在 0，+) 上有界【知识模块】 微积分32 【正确答案】 本题以几何问题为载体，让考生根据问题描述建立微分方程，然后求解，是一道简单的综合题，是考研的重要出题形式 曲线 y=f(x)在点(x，y) 处的切线方程为 Yy=y(Xx)，令 X=0，得到截距为 xy=y 一 xy，即 xy=y(1 一 x)，此为一阶可分离变量的方程，于是 两边积分有 ln y=ln Cxx，得到y=Cxe-x，又 y(1)=e-1，故 C=1，于是曲线方程为 y=xe-x【知识模块】 微积分33 【正确答案】 对应的齐次方程 xy+y=0
24、 的通解是 设其中 C 为 x 的函数，则 代入原方程，得 C=xex，即 C=xexex+C1，故原方程的通解为由 y(1)=1，得 C1=1，所以特解为【知识模块】 微积分34 【正确答案】 特征方程 r2+4r+4=0 的根为 r1=r2=一 2对应齐次方程的通解为 Y=(C1+C2x)e-2x设原方程的特解 y*=Ax2e-2x，代入原方程得 A= 因此，原方程的通解为 y=Y+y*=(C1+C2x)e-2x+ 其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分35 【正确答案】 对应的齐次方程的通解为 Y=C 1ex+C2e-3x原方程的一个特解为y*=Axe-3x，代入原方程，得
25、所求通解为 y=C1ex+C2e-3x 一其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分36 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为 r 2+5r+6=(r+2)(r+3)=0， 特征根为 r1=一 2，r 2=一 3于是，对应齐次微分方程的通解为 Y=C 1e-2x+C2e-3x 设所给非齐次方程的特解为 y*=Ae-x将 y*代入原方程，可得 A=1由此得所给非齐次方程的特解 y*=e-x从而，所给微分方程的通解为 y=C 1e-2x+C2e-3x+e-x，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分37 【正确答案】 原方程化为 3x2dx+(2xyy2)dx+(x2 一 2x
26、y)dy=0，即 d(x 3)+d(x2yxy2)=0， 故通解为 x3+x2yxy2=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分38 【正确答案】 根据弹性的定义，有C 为待定常数由题设知 p=0 时,x=1，从而 C=1-于是，所求的需求函数为【知识模块】 微积分39 【正确答案】 由题设 =一 k(a+c)p+k(b+d) +k(a+c)p=k(b+d)，p(0)=p 0，故 p=e -k(a+c)dtk(b+d)ek(a+c)dtdt+C=【知识模块】 微积分40 【正确答案】 由前面两个式子得出由 Yt， 表示的 It，代入第三式有 Yt+1 一1+(1 一 )Yt=一 特征根为 =1+(1 一 )，设特解为 故Yt 的通解为 其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分
