1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（A）Cy 1(x)-y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)-y2(x)（C） Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)2 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1-y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（A）=1/2,=1/2.（B） =-
2、1/2,=-1/2.（C） =2/3,=1/3.（D）=2/3,=2/3.3 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（A）y *=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)（B） y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)（C） y*=ax2+bx+c+Asinx（D）y *=ax2+bx+c+Acosx二、填空题4 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_.5 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_.6 微分方程 y“-2y+2y=ex 的通解为_.7 微分方程 y“-4y=e2x 的通解为_.8 二阶常系数非齐次
3、线性微分方程 y“-4y+3y=2e2x 的通解为 y=_.9 差分方程 yt+1-yt=t2t 的通解为_.10 差分方程 2yt+1+10yt-5t=0 的通解为_.11 某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万元若以W1 表示第 t 年的工资总额(单位：百万元) ，则 Wt 满足的差分方程是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 F(x)=F(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(-，+)内满足以下条件： f(x)=g(x) ，g(x)=f(x)且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x12 求 F(x)所满足的一阶微分方程；13
4、 求 F(x)的表达式14 求微分方程 y“-2y-e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的解考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 A【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题4 【正确答案】 2/x【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 1/x【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 e x(C1cosx+C2sinx+1)【知识模块】 常微分方程与差
5、分方程7 【正确答案】 C 1e2x+C2e-2x+x/4e2x【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 C 1ex+C2e3x+2e2x【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 C+(t-2)2 t【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 C(-5) t+5/12(t-1/6)【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 W t=12 t-1+2【试题解析】 第 t 年的工资总额 W1(百万元)是两部分之和，其中一部分是同定追加额 2(百万元) ，另一部分比前一年的工资总额 Wt-1 多 20，即是 Wt-1 的 1：2倍于是可得 Wt 满足的差分方程
6、是 W t=1.2t-1+2【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g 2(x)+f2(x) =f(x)+g(x)2-2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x)， 可知 F(x)所满足的一阶微分方程为 F(x)+2F(x)=4e2x【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 e 2x 同乘方程两边，可得 e2xF(x)=4e4x，积分即得 e2xF(x)=e4x+C， 于是方程的通解是 F(x)=e2x+Ce-2x 将 F(0)=f(0)g
7、(0)=0 代入上式，可确定常数 C=-1故所求函数的表达式为 F(x)=e 2x-e 2x.【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 齐次方程 y“-2y=0 的特征方程为 2-2=0由此求得特征根1=0， 2=2.对应齐次方程的通解为 y=C1+C2e2x设非齐次方程的特解为y“=Axe2x，则 (y*)=(A+2Ax)e2x，(y *)“=4A(1+x)e2x 代入原方程，可得 A=1/2，从而y*=1/2xe2x 于是，原方程的通解为 y=y+y*=C1+(C2+1/2x)e2x. 将 y(0)=1 和 y(0)=1代入通解，求得 C1=3/4，C 2=1/4 从而，所求解为 y=3/4+1/4(1+2x)e 2x【知识模块】 常微分方程与差分方程
