1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个不同的解 y1(x)，y 2(x)，C 为任意常数，则该方程的通解是（A）Cy 1(x)一 y2(x)（B） y1(x)+Cy1(x)一 y2(x)（C） Cy1(x)+y2(x)（D）y 1(x)+Cy1(x)+y2(x)2 设 y1，y 2 是一阶线性非齐次微分方程 y+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数 ， 使y1+y2 是该方程的解，y 1 一 y2 是该方程对应的齐次方程的解，则（A）（B）（C）（D）二
2、、填空题3 差分方程 yt+1yt=t2t 的通解为_4 设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程求 f(t)5 差分方程 2yt+1+10yt 一 5t=0 的通解为_6 某公司每年的工资总额在比上一年增加 20的基础上再追加 2 百万元若以 Wt表示第 t 年的工资总额(单位：百万元)，则 Wt 满足的差分方程是_7 微分方程 xy+y=0 满足初始条件 y(1)=2 的特解为_8 微分方程 满足 y x=1=1 的特解为 y=_9 微分方程 xy+y=0 满足条件 y(1)=1 的解是 y=_10 微分方程 的通解为 y=_11 设函数 y=y(x)是微分方程 y+y一 2y=0 的
3、解，且在 x=0 处 y(x)取得极值 3，则y(x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 某商品的需求量 x 对价格 P 的弹性 =一 3p，市场对该商品的最大需求量为1(万件 )，求需求函数13 设某商品的需求量 D 和供给量 s，各自对价格 P 的函数为 ，s(p)=bp，且 p 是时间 t 的函数并满足方程 (a、b、k 为正常数)，求：(1)需求量与供给量相等时的均衡价格 Pe；(2) 当 t=0，P=1 时的价格函数 p(t)；(3)14 求微分方程 y+5y+6y=2e-x 的通解15 求微分方程 y+ycosx=(Inx)e-sinx 的通解16 求微分方
4、程 满足条件 y x=e=2e 的特解17 求连续函数 f(x)，使它满足18 假设：(1)函数 y=f(x)(0x)满足条件 f(0)=0，和 0f(x)ez 一 1； (2) 平行于 y轴的动直线 MN 与曲线 y=f(x)和 y=ex 一 1 分别相交于点 P1 和 P2； (3)曲线 y=f(x)，直线 MN 与 X 轴所围封闭图形的面积 S 恒等于线段 P1P2 的长度求函数 y=f(x)的表达式19 设函数 y=y(x)满足条件 .20 已知连续函数 f(x)满足条件 ，求 f(x)21 求微分方 的通解22 设函数 f(x)在1，+)上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，
5、x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 试求 f(x)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件 的解23 设有微分方程 y一 2y=(x)其中 ，试求在(一，+) 内的连续函数 y=y(x)，使之在( 一，1)和(1 ，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=024 求微分方程 y一 2y一 e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的解25 (1)验证函数 满足微分方程 y+y+y=ex(2)利用(1)的结果求幂级数 的和函数26 设 F(x)=f(x)g(x)，其中函数 f(x)，g(x)在(一，+)内满足以下条件：f (x)=g(x)，
6、g(x)=f(x)，且 f(0)=0，f(x)+g(x)=2e x (1)求 F(x)所满足的一阶方程； (2)求出 F(x)的表达式27 设曲线 y=f(x)，其中 f(x)是可导函数，且 f(x)0已知曲线 y=f(x)与直线y=0，x=1 及 x=t(t1) 所围成的曲边梯形绕 z 轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的 t 倍，求该曲线的方程28 已知函数 f(x)满足方程 f(x)+f(x)一 2f(x)=0 及 f(x)+f(x)=2ex(I)求 f(x)的表达式；(II)求曲线 的拐点29 设函数 f(u)具有连续导数，z=f(e xcosy)满足 若f(0)=0，求 f
7、(u)的表达式30 设函数 f(x)在定义域 I 上的导数大于零若对任意的 x0I，曲线 y=f(x)在点(x0，f(x 0)处的切线与直线 x=x0 及 x 轴所围成区域的面积恒为 4，且 f(0)=2，求 f(x)的表达式考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 y1+y2 为方程 y+p(x)y=q(x)的解，则(y 1+y2)+p(x)(y1+y2)=q(x)即 (y1+p(x)y1)+(y2+p(x)y2)=q(x
8、)q(x)+q(x)=q(x)+=1 (1)由于 y1 一 y2为方程 y+p(x)y=0 的解，则(y 1 一 y2)+p(x)(y1 一 y2)=0(y1+p(x)y1)一(y2+p(x)y2)=0q(x)一 q(x)=0； =0 (2)由(1) 式和(2)式解得【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题3 【正确答案】 y t=C+(t 一 2)2t【试题解析】 齐次差分方程 yt+1yt=0 的通解为 CC 为任意常数设(at+b)2 t 是差分方程 yt+1 一 yt=t2t 的一个特解，则 a=1，b=一 2，因此，y t=C+(t 一 2)2t 为所求通解【知识模块】 常微分方
9、程与差分方程4 【正确答案】 显然，f(0)=1，由于【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 【试题解析】 将原差分方程改写成标准形式：y t+1+ayt=b1t+b0【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 W t=12W t-1+2【试题解析】 W t 表示第 t 年的工资总额，(单位；百万元)，W t-1 表示第 t 年上一年的工资总额，由题设知 Wt=12W t-1+2【知识模块】 常微分方程与差分方程7 【正确答案】 xy=2【试题解析】 本方程是一可分离变量方程，由 xy+y=0 知，从而 xy=C，又 y(1)=2，则 C=2【知识模块】 常微分方程与差分方
10、程8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 【试题解析】 方程 的特征方程为【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 2e x+e-2x【试题解析】 原方程的特征方程为 2+ 一 2=0 特征根为 1=1， 2=一 2 原方程的通解为 y=C 1ex+C2e-2x 则 C1=2，C 2=1，y=2e x+e-2x【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 (1)
11、当需求量等于供给量时，【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案】 原方程相应的齐次方程的特征方程为 r 2+5+6=0 解得 r1=一 2，r 2=一 3 则齐次方程通解为 Y=C1e-2x+C2e-3x 设齐次方程特解为 y*=Ae-x，代入原方程得A=1 则原方程通解为 y=C1e2x+C2e-3x+e-x【知识模块】 常微分方程与差分方程15 【正确答案】 由一阶线性方程求解公式得【知识模块】 常微分方程与差分方程16 【正确答案】 原方程两边同除以 xy，得【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 等式 两边求导得 f(x)+2f(x)=2x 这是一个一阶线性微分
12、方程，由求解公式得由原方程易知f(0)=0，由此可得【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 由题设和图 218 可知 两端求导得 f(x)=ex 一 f(x)即 f(x)+f(x)=e 2 由一阶线性方程求解公式得 由 f(0)=0得， 因此，所求函数为【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 特征方程为 r2+4r+4=0，解得 r1=r2=一 2，原方程通解为y=(C1+C2x)e-2x 由初始条件得 C1=2，C 2=0，因此，微分方程的特解为 y=2e-2x【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 原式两边对 x 求导得f(x)=3f(x)+2e
13、2x 即 f(x)一 3f(x)=2e2x 由一阶线性方程求解公式得由于 f(0)=1，可得 C=3于是 f(x)=3e 3x 一 2e2x【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 两边积分得 从而有 y 一 x=cx3y 由已知条件求得 c=一 1，从而所求的解为 yx=一 x3y【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 当 x1 时，有 y一 2y=2，其通解为 y=(C1e2x 一 1(x1)由 y(0)=0知，C 1=1，所以 y=e 2x 一 1(x1)当 x1 时，有 y一 2y=0，其通解为y=C2e2
14、x(x1)【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 齐次方程 y一 2y=0 的特征方程为 2 一 2=0，由此得1=0， 2=2对应齐次方程的通解为 设非齐次方程的特解为 y*=Axe2x代入原方程得 从而所求解为【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 (1)因为 所以 y+y+y=e x(2)与 y+y+y=ex 相应的齐次微分方程为 y+y+y=0 其特征方程为 2+1=0 特征根为因此齐次傲分方程的通解为【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 (1)由 F(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)=g2(x)+f2(x)=f(x)+g(x)2 一 2f(x)g(x)=4e2x 一 2F(x)则 F(x)所满足的一阶方程为 F(x)+2F(x)=4e2x(2)方程 F(x)+2F(x)=4e2x是一个一阶线性方程，由求解公式得【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程与差分方程29 【正确答案】 令 excosy=u，则【知识模块】 常微分方程与差分方程30 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处的切线方程为 yf(x0)=f(x0)(xx0)则所求曲线方程为【知识模块】 常微分方程与差分方程
