1、考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 微分方程 y6y+8y=e x+e2x 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）ae x+be2x（B） aex+bxe2x（C） axex+be2x（D）axe x+bxe2x2 微分方程 y+2y+2y=ex sinx 的特解形式为 ( )（A）e x (Acosx+Bsinx)（B） ex (Acosx+Bsinx)（C） xex (Acosx+Bsinx)（D）e x (Axcosx+Bsinx)3 微分方程 y+ =0 的通解是 ( )4 微
2、分方程 y4y+4y=x 2+8e2x 的一个特解应具有形式(a，b，c ，d 为常数) ( )（A）ax 2+bx+ce2x（B） ax2+bx+c+dx2e2x（C） ax2+bx+cx e2x（D）ax 2+(bx2+cx)e2x5 微分方程 y+y+y= 的一个特解应具有形式 (其中 a，b 为常数) ( )6 微分方程 y+2y+y=shx 的一个特解应具有形式(其中 a，b 为常数) ( )（A）ashx（B） achx （C） ax2ex +bex （D）axe x +bxx二、填空题7 微分方程(6x+y)dx+xdy=0 的通解是_8 微分方程 +6y=0 的通解是_9 微分
3、方程 +y=1 的通解是_10 微分方程的通解_包含了所有的解11 微分方程(y 2+1)dx=y(y2x)dy 的通解是_ 12 设一阶非齐次线性微分方程 y+p(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y1，y 2，若y1+y2 也是该方程的解，则应有 +=_13 微分方程 y7y=(x1) 2 由待定系数法确定的特解形式(系数的值不必求出)是_14 以 y=cos2x+sin2x 为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是_15 微分方程 =0 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求微分方程 y+4y+4y=e2x 的通解17 求微分方程 y+2y3y=e 3x
4、的通解18 求微分方程 y+5y+6y=2ex 的通解19 求微分方程(3x 2+2xyy 2)dx+(x22xy)dy=0 的通解20 设 y(x)是方程 y(4)y=0 的解，且当 x0 时， y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求y(x)21 求一个以 y1=tet，y 2=sin2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解22 求解 y=e2y+ey，且 y(0)=0，y(0)=223 求方程 =(1y 2)tanx 的通解以及满足 y(0)=2 的特解24 求微分方程(y+ )dx=xdy 的通解，并求满足 y(1)=0 的特解25 求方程 2x y=x 2 的通解26
5、求(y 33xy 23x 2y)dx+(3xy23x 2yx 3+y2)dy=0 的通解27 求微分方程 y+2y+2y=2ex 的通解28 求 yy=e x 的通解考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由原方程对应齐次方程的特征方程 r26r+8=0 得特征根r1=2，r 2=4又 f1(x)=ex， =1 非特征根，对应特解为 y1*=aex；f 2(x)=e2x，=2 为特征单根，对应特解为 y2*=bxe2x故原方程特解的形式为 aex+bxe2x，选(B) 【知识模块】
6、 常微分方程与差分方程2 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+2r+2=0 即(r+1) 2=1，特征根为 r1，2 =1i ，而iw=1i 是特征根，特解 y*=xex (Acosx+Bsinx)【知识模块】 常微分方程与差分方程3 【正确答案】 C【试题解析】 原方程写成 yy+ =0，分离变量有 y dy+e3xdx=0积分得2e3x3 =C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 对应特征方程为 r24r+4=0，特征根是 r1，2 =2而 f1=x2， 1=0 非特征根，故 y1*=ax2+bx+c又 f2=8e2x， 2=2
7、 是二重特征根，所以 y2*=dx2e2xy 1*与y2*合起来就是特解，选(B)【知识模块】 常微分方程与差分方程5 【正确答案】 C【试题解析】 特征方程 r2+r+1=0，特征根为 r1，2 = 而 f(x)= ，iw= 是特征根，所以特解的形式为 y*=【知识模块】 常微分方程与差分方程6 【正确答案】 C)【试题解析】 特征方程为 r2+2r+1=0，r=1 为二重特征根，而 f(x)=shx=，故特解为 y*=ax2ex +bex【知识模块】 常微分方程与差分方程二、填空题7 【正确答案】 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微
8、分方程 原方程可写为6xdx+ydx+xdy=0，有 d(3x2+xy)=0，积分得通解 3x 2+xy=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程8 【正确答案】 y=C 1e3x+C2e2x，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程是二阶常系数齐次线性微分方程其特征方程为r25r+6=0，即(r3)(r2)=0解出特征根 r1=3，r 2=2，即得上述通解【知识模块】 常微分方程与差分方程9 【正确答案】 y=(C 1+C2x)ex+1，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 原方程为二阶常系数非齐次线性微分方程其通解为 y=y 齐 +y*，其中 y 齐 是对
9、应齐次方程的通解，y *是非齐次方程的一个特解 因原方程对应齐次方程的特征方程为 r22r+1=0，即(r 1) 2=0，特征根为 r1，2 =1故 y 齐 =(C1+C2x)ex，其中 C1， C2 为任意常数又据观察，显然 y*=1 与 y 齐 合并即得原方程通解【知识模块】 常微分方程与差分方程10 【正确答案】 不一定【试题解析】 例如方程(y 21)dx=(x1)ydy，经分离变量有 ，积分得通解 y21=C(x1) 2，但显然方程的全部解还应包括 y=1 和 x=1(实际上在分离变量时假定了 y210，、x10)【知识模块】 常微分方程与差分方程11 【正确答案】 x= ，其中 C
10、 为任意常数【试题解析】 原方程化为 由通解公式得【知识模块】 常微分方程与差分方程12 【正确答案】 1【试题解析】 由 y1+P(x)y1=Q(x)及 y2+P(x)y2=Q(x)得 (y 1+y2)+P(x)(y1+y2)=(+)Q(x) 又因 y1+y2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=1【知识模块】 常微分方程与差分方程13 【正确答案】 y *=x(Ax2+Bx+C)【试题解析】 原方程对应齐次方程的特征方程为 r27r=0，特征根r1=7，r 2=0而 f(x)=x2 2x+1，=0 是特征根，所以特解如上所答【知识模块】 常微分方程与差分方程14 【正确答案
11、】 y+4y=0【试题解析】 由特解 y=cos2x+sin2x 知特征根为 r1，2 =2i，特征方程是 r2+4=0，其对应方程即 y+4y=0【知识模块】 常微分方程与差分方程15 【正确答案】 y=C 1+C2x+C3x2+C4e3x ，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【试题解析】 特征方程，r 4+3r3=0，即 r3(r+3)=0故通解如上【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 特征方程 r2+4r+4=0 的根为 r1=r2=2对应齐次方程的通解为Y=(C1+C2x)e2x 设原方程的特解 y*=Ax2
12、e2x ，代入原方程得 A= 因此，原方程的通解为 y=Y+y*=(C1+C2x)e2x + e2x 【知识模块】 常微分方程与差分方程17 【正确答案】 对应的齐次方程的通解为 =C1ex+C2e3x 原方程的一个特解为y*=Axe3x ，代入原方程，得 A= ， y *= xe3x 所求通解为 y=C1ex+C2e3x xe3x (C1， C2 为任意常数)【知识模块】 常微分方程与差分方程18 【正确答案】 所给微分方程的特征方程为 r2+5r+6=(r+2)(r+3)=0，特征根为r1=2，r 2=3于是对应齐次微分方程的通解为 (x)=C1e2x +C2e3x 设所给非齐次方程的特解
13、为 y*=Aex 将 y*代入原方程，可得 A=1由此得所给非齐次方程的特解 y*=ex 从而，所给微分方程的通解为 y(x)=C1e2x +C2e3x +ex ，其中C1，C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程19 【正确答案】 原方程化为 3x2dx+(2xyy 2)dx+(x22xy)dy=0，即 d(x 3)+d(x2yxy 2)=0， 故通解为 x3+x2yxy 2=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程20 【正确答案】 由泰勒公式 y(x)=y(0)+y(0)x+ y(0)x2+ y(0)x3+o(x3) (x0)当 x0 时，y(x)与 x3 同阶
14、=y(0)=0 ，y(0)=0，y(0)=0，y(0)=C，其中C 为非零常数由这些初值条件，现将方程 y(4)y=0 两边积分得 0xy(4)(t)dt 0xy(t)dt=0，即 y(x)Cy(x)=0 ，两边再积分得 y(x)y(x)=Cx 易知，它有特解 y*=Cx ，因此它的通解是 y=C1ex+C2ex Cx由初值 y(0)=0，y(0)=0得 C1+C2=0，C 1C 2=C= 因此最后得 y= (exe x )C，其中C 为任意非零常数【知识模块】 常微分方程与差分方程21 【正确答案】 由 y1=tet 可知 y3=et 亦为其解，由 y2=sin2t 可得 y4=cos2t
15、也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 1=3=1， 2=2i， 4=2i 其特征方程为 (1)2(2+4)=0，即 42 3+528+4=0 故所求的微分方程为 y(4)2y+5y8y+4y=0，其通解为 y=(C1+C2t)et+C3cos2t+C4sin2t，其中C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程22 【正确答案】 令 y=P(y)，则 yy= ，代入方程，有pp=e2y+ey， ，p 2=e2y+2ey+C，即 y 2=e2y+2ey+C又 y(0)=0，y(0)=2 ，有 C=1，所以 y2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，因此 y=e y
16、+1(y(0)=20)，即dy=dx，有 dy=dx，yln(e y+1)=x+C1代入 y(0)=0，得C1=ln2，所以，该初值问题的解为 yln(1+e y)=xln2【知识模块】 常微分方程与差分方程23 【正确答案】 这是变量可分离方程当 y21 时，分离变量得 =tanxdx，两边积分，得 去掉绝对值记号，并将 记成 C，并解出 y，得 这就是在条件 y21下的通解此外，易见 y=1 及 y= 1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中以 y(0)=2 代入式中得 2= ，故 C=3于是得到满足 y(0)=2 的特解 y=【知识模块】 常微分方程与差分方程24 【正确答案】 此为齐
17、次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之令 y=ux，原方程化为(ux+ )dx=x(udx+xdu)，得x dx=x2du当 x0 时，上式成为 两边积分得 ln(u+*)=lnx+lnC，其中 C0，将任意常数记成lnC由上式解得 u= Cx(Cx) 1 ，即有 y= 当 x0，类似地仍可得 y=其中 C0式与式 其实是一样的，故得通解 y= 其中 C0 为任意常数将初值条件 y(1)=0 代入式得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为 y= (x21) 【知识模块】 常微分方程与差分方程25 【正确答案】 这是一阶线性方程，可以直接套通解公式解之套公式之前，应先化成标准型： 由通解公式，
18、得当 x0 时，当 x0 时，合并之，得通解 y=，其中 x0，C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程26 【正确答案】 将原给方程通过视察分项组合(y 33xy 23x 2y)dx+(3xy23x 2yx 3+y2)dy=(y3dx+3xy2dy)3xy(ydx+xdy)(3x 2ydx+x3dy)+y2dy=0，即 d(xy3) d(xy)2d(x 3y)+ d(y3)=0，dxy 3 (xy)2x 3y+ y3=0，所以通解为xy3 x2y2x 3y+ y3=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程27 【正确答案】 应先用三角公式将自由项写成 ex +ex
19、cosx，然后再用叠加原理用待定系数法求特解对应的齐次方程的通解为 Y=(C1cosx+C2sinx)ex 为求原方程的一个特解，将自由项分成两项：e x ，e x cosx，分别考虑 y+2y+2y=ex ， 与 y+2y+2y=e x cosx 对于，令 y1*=Aex ，代入可求得 A=1，从而得y1*=ex 对于，令 y2*=xex (Bcosx+Csinx)，代入可求得 B=0，C= 由叠加原理，得原方程的通解为 y=Y+y1*+y2*=ex (C1cosx+C2sinx)+ex + xex sinx，其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程与差分方程28 【正确答案】
20、自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y=y+ex 在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处拼接成二阶导数连续，便得原方程的通解当 x0 时，方程为 y y=ex，求得通解 y=C1ex+C2ex + xex当 x0 时，方程为yy=e x ，求得通解 y=C3ex+C4ex xex 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且 y(x)也连续，据此，有 解得C3=C1+ ，C 4=C2 ，于是得通解：此 y 在x=0 处连续且 y连续又因 y=y+ex ，所以在 x=0 处 y亦连续，即是通解【知识模块】 常微分方程与差分方程
