1、考研数学三（微积分）模拟试卷 149 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 把 x0 +时的无穷小量 =cost2 dt，= sint3 dt 排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（ ）（A），（B） ，（C） ， （D）， 2 设 f（ x）可导，F（x）=f （x）（1+|sinx| ），则 f（0）=0 是 F（x）在 x=0 处可导的（ ）（A）充分必要条件（B）充分条件但非必要条件（C）必要条件但非充分条件（D）既非充分条件也非必要条件3 设函数 f（x）连续，且 f（0）0，则存在 0，使得（ ）（A）f（x）在（
2、0，）内单调增加（B） f（x）在（，0）内单调减少（C）对任意的 x（0，8 有 f（x）f（0）（D）对任意的 x（一 ，0）有 f（x）f（0）4 函数 y= f（x）在（一，+）连续，其二阶导函数的图形如图 122 所示，则 y= f（x）的拐点个数是（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 下述命题成立的是（ ）（A）f（x）在 1，1上存在原函数（B）令 F（x）=f 1xf（t）dt，则 f（0）存在（C） g（x）在1，1上存在原函数（D）g（0）存在6 由曲线 y= （0x）与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为（ ）7 设函数 f（x），g（x
3、）均有二阶连续导数，满足 f（0）0，g（0）0，且f（0）=g（0）=0 ，则函数 z=f（x）g（y）在点（ 0，0）处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A）f“（0） 0，g“（0）0（B） f“（0）0，g“ （0）0（C） f“（0）0，g“ （0）0（D）f“（0） 0，g“（0）08 设 f（ x）为连续函数，F（t）= 1tdyyef（x）dx，则 F（2）等于（ ）（A）2f （2）（B） f（2）（C） f（2）（D）09 设 0an （n=1，2，），则下列级数中一定收敛的是（ ）10 微分方程 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为（ ）（A）y * =ax2+
4、bx+c+x（Asinx+Beosx）（B） y* =x（ax 2+bx+c+Asinx+Bcosx）（C） y* =ax2+bx+c+Asinx（D）y * =ax2+bx+c+Acosx二、填空题11 设 a1，a 2，a m 为正数（ m2），则 （a 1 n+a2 n+，a m n） =_。12 已知 则 y“=_。13 函数 y=ln（12x）在 x=0 处的 n 阶导数 y（n） （0）=_。14 设某商品的收益函数为 R（p），收益弹性为 1+p3，其中 p 为价格，且 R（1）=1，则 R（p）=_ 。15 设 f（x）= max1，x 2，则 1xf（t）dt=_。16 设函
5、数 f（u）可微，且 f（2）=2 ，则 z=f（x 2+y2）在点（1，1）处的全微分dz|（1，1） =_。17 D 是顶点分别为（0，0），（1，0），（1，2）和（ 0，1）的梯形闭区域，则（1+x ） sinyd=_。18 若数列（a 1+a2）+ （a 3+a4）+（a 1+a2n）+ 发散，则级数 an_。19 已知 y1=e3xxe2x，y 2=ex 一 xe2x，y 3=一 xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解为 y=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 21 证明当 x0 时，（x 2l）lnx（x1） 2。22 求不
6、定积分 ln（1+x 2）dx。23 设曲线 y= ax2（x0，常数 a0）与曲线 y=1x2 交于点 A，过坐标原点 O 和点A 的直线与曲线 y= ax2 围成一平面图形 D，求： （）D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V（a ）； （）a 的值，使 V（a）为最大。24 25 求函数 u=x2+y2+z2 在约束条件 z=x2+y2 和 x+y+z=4 下的最大值与最小值。26 计算二重积分 |x2+ y21|d，其中 D= （x，y） |0x1，0 y 1 。27 设 a1=2， an+1= ，（n=1 ，2，）。证明：28 求级数 的和。29 设 y=y（x ）是区间（一
7、，）内过 的光滑曲线，当一 x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点，当 0x 时，函数 y（x）满足 y“+y+x=0。求函数 y（x）的表达式。考研数学三（微积分）模拟试卷 149 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以当 x0 +时， 是 x 的一阶无穷小， 是 x 的三阶无穷小， 是 x 的二阶无穷小，故选 B。【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 而由（ x）在 x =0 处可导的充分必要条件是 +（0）与 （0）都存在且相等可知，若 f（0 ）=0，则必有 +（0）= （0）；若 +（0）=
8、 （0），即有 f（0）= f（0），从而 f（0）=0 。因此 f（0）=0 是 （x）在 x=0 处可导的充分必要条件，也是 F（x）在 x=0 处可导的充分必要条件。故选 A。【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，知 f（0）= 根据极限的保号性，存在 0，使对任意 x 于是当 x（一 ，0）时，有f（x） f（0 ）；当 x（0，）时，有 f（x）f（0）。故选 C。【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 只须考查 f“（x）=0 的点与 f“（x）不存在的点。 f“ （x 1）=f“（x 4）=0，且在 x=x1，x 4 两侧 f“（x）变号
9、，故凹凸性相反，则（ x1，f（x 1），（x 4，f（x 4）是 y=f（x）的拐点。 x=0 处 f“（0）不存在，但 f（x）在 x=0连续，且在 x=0 两侧 f“（x）变号，因此（0，f（0）也是 y= f（x）的拐点。 虽然 f“（x 3）=0，但在 x=x3 两侧 f“（x）0，y=f（x）是凹的。（x 3，f（x 3）不是 y=f（x）的拐点。因此共有三个拐点。故选 C。【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 由 =0=g（0）可知，g（x）在 x=0 处连续，所以 g（x）在1，1 上存在原函数。故选 C。以下说明 A、B、D 均不正确。由=0 可知，x=0 是
10、 f（x）的跳跃间断点，所以在包含 x=0 的区间上 f（x）不存在原函数。由 f（0）= =0，f +（0）=1，可知 f（0）不存在。由 不存在，可知 g（0）不存在。【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 由曲线 y= f（x）绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得故选 B。【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 由 z= f（x）g（y），得当 f“（0） 0，g“（0）0 时，B 2AC0，且 A0，此时 z=f（x）g（y）在点（0，0）处取得极小值。因此正确选项为 A。【知识模块】 微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分的积分次序
11、，得 F（t）= 1tdyytf（x）dx= 1tdx1xf（x）dy =1t（x1）f（x）dx ， 于是 F（t）=（t1）f （t），从而 F（2）=f（2）。故选 B。【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 由 0an 可知，0a n2 ，而由 收敛及正项级数的比较判别法知，级数 an2 收敛，从而 （一 1） nan2 绝对收敛，故选 D。【知识模块】 微积分10 【正确答案】 A【试题解析】 对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程为 2+1=0， 特征根为 =i 对于方程 y“+y=x2+1=e0(x2+1)，0 不是特征根，从而其特解形式可设为 y1*=ax2+bx
12、+c， 对于方程 y“+y=sinx，i 为特征根，从而其特解形式可设为 y 2*=x(Asinx+Bcosx)， 因此 y“+y=x2+1+sinx 的特解形式可设为 y *=ax2+bx+c+x（Asinx+Bcosx）。【知识模块】 微积分二、填空题11 【正确答案】 maxa 1，a 2，a m【试题解析】 假设 a1 为最大值，则原式=a1 =a11=a 1。因此 （a 1n+a2n+amn）=maxa1，a 2，a m。【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 2 n（n1）!【试题解析】 将 ln（1+t ）按照泰勒展开式展开成
13、级数的形式令 t= 2x 代入第 n 项可得比较系数可得 y=ln（12x）在 x=0 处的 n 阶导数为y（n） （ 0） =一 2n（n1）!。【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 由弹性的定义得【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 由题意可知 当 n1 时， 1xf（t）dt=11f（t）dt+ 1xf（t ）dt= 111dt+1xt2dt=2+ t3|1x 当1x1 时， 1xf（t ）dt =1x1dt = x 1。当 x1 时， 1xf（t）dt= 1xt2dt=所以，【知识模块】 微积分16 【正确答案】 4（dx+dy）【试题解析】 由题干可知
14、，dz=f（x 2+ y2）（2xdx+2ydy），则 dz|（1，1） =f（2）（2dx+2dy） =4（dx+dy ）。【知识模块】 微积分17 【正确答案】 + sin1 + cos1 2sin2 cos2【试题解析】 积分区域可以表示为 D=（x，y）|0y1+x，0x1，则 （1+x）sinyd=01dx01+x（1+x）sinydy= 01（1+x）一（1+x）cos（1+x ）dx，利用换元法，令 1+x=t，x0 ，1时，t1，2，则【知识模块】 微积分18 【正确答案】 发散【试题解析】 根据级数性质可知，收敛级数加括号后仍然收敛。假设 an 收敛，则级数（a 1+a1）+
15、 （a 3+a4）+（a 2n1+a2n）+收敛，与题设矛盾，故 an 发散。【知识模块】 微积分19 【正确答案】 y=C 1e3x+C2ex 一 xe2x，C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 显然 y1 一 y3=e3x 和 y2 一 y3=ex 是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且 y*=一 xe2x 是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为 y=C1e3x+C2ex 一 xe2x，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 令
16、f（x）=（x 2 一 1）lnx （x 1） 2，易知 f（1）=0。又可见，当 0x1 时，f“（x）0，当 1x+时，f“（x）0。因此，当 0x+时，f“ （x）f“（1）=20。又由 f（x）是单调增函数，且 f（1）=0，所以当 0x1 时，f（x）0；当1x+时，f （x）0 。因此，由 f（x）f（1） =0（0x+ ），即证得当x0 时，（x 21）lnx（x1） 2。【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由题意知，y=ax 2 与 y=1x2 的交点为 ，直线 OA的方程为 （）旋转体的体积当 a0 时，得V（a）的唯一驻点 a=4
17、。当 0a4 时，V“（a）0;当 a4 时，V（a）0。故a=4 为 V（a）的唯一极大值点，即为最大值点。【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【知识模块】 微积分25 【正确答案】 问题可转化为一个约束函数的情况，求 u=x2+y2+x4+2x2y2+y4 在条件 x+y+x2+y2=4 下的最值，设 F（x，y， ）=u=x4+y4+2x2y2+x2+y2+（x+y+x 2+y24），令 解得（x 1，y 1）=（ 1，1），（x 2，y 2）= （2，2），代入 z=x2+ y2，得z1=2，z 2=8。同理可得原函数最大值为 72，最小值为 6。【知识模块】 微积分26 【正确答
18、案】 记 D1=（x，y）|x 2+y21，（x，y）D，D 2=（x，y）|x2+y21，（x，y） D，因此【知识模块】 微积分27 【正确答案】 （）显然 an0（n=1 ，2，），由初等不等式：对任意的非负数 x，y 必有 x+y 。易知因此a n单调递减且有下界，故极限 an 存在。（）由a n单调递减，知0，则原级数是正项级数。由 an1，得 0 anan+1。而级数 （a n 一 an+1）的部分和 Sn= （a kak+1） =a1 一 an+1，且an+1 存在，则级数 （a n 一 an+1）收敛。由比较判别法知收敛。【知识模块】 微积分28 【正确答案】 【知识模块】 微
19、积分29 【正确答案】 由题意，当一 x0 时，法线均过原点，所以有 y= ，即ydy=一 xdx，得 y2=一 x2+C。又 代入 y2=一 x2+C 得 C=2，从而有x2+y2=2，即 y= 当 0x 时，y“+y+x=0，得其对应齐次微分方程y“+y=0 的通解为，即 y= y*=C1cosx+C2sinx。设其特解为 y1=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得 A=一 1，B=0 ，故 y1=一 x 是方程的特解，因此 y“+y+x=0 的通解为 y=C1cosx+C2sinx 一 x。因为 y=y（x）是（一 ，）内的光滑曲线，故 y 在 x=0处连续且可导，所以由已知得 y|x=0=， y| x=0=0，故得 C1=，C 2=1，所以【知识模块】 微积分
