1、考研数学三（微积分）模拟试卷 201 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0sinxsint2dt，g(x)=x 3+x4，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小2 设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（A）一定可导（B）一定不可导（C）不一定连续（D）连续3 设 f(x)二阶连续可导，且 则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=
2、0 是 f(x)的驻点但不是极值点4 若由曲线 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( ) 二、填空题5 =_6 设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(n)0，则=_7 _8 设函数 y=y(x)满足 且 y(1)=1，则 01y(x)dx=_9 微分方程 yy2(y) 2=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求11 设 求 f(x)的间断点并判断其类型12 已知 求 a，b 的值13 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得13 设 f(x)在0，1上二阶可导，且
3、 f(x)a，f(x) b ，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点14 写出 f(x)在 x=c 处带 Lagrange 型余项的一阶泰勒公式；15 证明：16 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(x)0，取 xia，b(i=1，2，n)及ki0(i=1，2，n)且满足 k1+k2+kn=1证明： f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)17 设 f(x)在 一 1，1上可导， f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f(0)=4求18 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： f(x) abf(
4、x) dx(axb)19 证明：当 z0 时，f(x)= 0x(tt 2)sin2ntdt 的最大值不超过20 求 z=x2+12xy+2y2 在区域 4x2+y225 上的最值21 已知 设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 F(t)= f(x， Y)dxdy22 设 f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(x，y)0证明：存在(，)D ，使得23 设一定收敛24 对常数 p，讨论幂级数 的收敛域25 将函数 展开成 x 的幂级数25 设 且 a0=1，a n+1=an+n(n=0，1，2，)26 求 f(x)满足的微分方程；27 求28 设
5、二阶常系数线性微分方程 y+ay+by=cex 有特解 y=e2x+(1x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解29 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与 Y 轴之间的切线长为 2，求该曲线30 设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x， 0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)考研数学三（微积分）模拟试卷 201 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以正确答案为 B【知识模块】 函数、极限、连续2
6、 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f(x)在 x=a 处左可导，得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，由于左、右导数不一定相等，选 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)二阶连续可导，且即 f(0)=0又 由极限的保号性，存在 0，当 0x 时，有 即当 x(，0)时，f(x)0，当 x(0，)时，f(x) 0，所以(0， f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，选C【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 曲线由于切线位于曲线 切
7、线及 x=1，x=3 围成的面积为 当t(0，2) 时，S(t)0；当 t(2，3)时，S(t)0，则当 t=2 时，S(t)取最小值，此时切线方程为 选 A【知识模块】 一元函数积分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 由【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 【试题解析】 因为由y(1)=1 得 C=0，故【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 y=C 或者 =C1x+C2【试题解析】 令 y=p，得 代入原方程得当 p=0 时，y=C； 所以原方程的
8、通解为 y=C 或者 =C1x+C2【知识模块】 常微分方程与差分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=kx(k=0，1，) 及因为 ，所以 x=0 为f(x)的可去间断点；因为 ，所以 x=k(k=1，2，)为 f(x)的第二类间断点；因为为 f(x)的可去间断点【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 由 ln(1+ax)=ax +o(x2)， e bx=1+bx+ +o(x2)，cosx=1+o(x2)得 ln(1+ax)e bx+cosx=(ab)x +o(x2)，于是
9、由【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有两式相加得 f(a)+f(b) f(1)+f(2)因为 f(x)在(a，b)内连续，所以 f(x)在 1， 2上连续，从而 f(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故由介值定理，存在 1， 2 (a，b)，使得【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 f(x)=f(c)+f(c)(x c)+ (x c)2，其中 介于 c 与 x 之间【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 分别令 x=0，x=1 ，得 f(0)=f(c) f(c)c+ 1(0，
10、c) ，f(1)=f(c)+f(c)(1c)+ (1c) 2， 2(c，1)，两式相减，得 f(c)=f(1)f(0)+(1c) 2，利用已知条件，得f(c) 2a+ c2+(1c) 2，因为c2+(1c) 21，所以【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 x0=k1x1+k2x2+knxn，显然 x0a，b 因为 f(x)0，所以f(x)f(x0)+f(x0)(xx 0)， 分别取 x=xi(i=1，2，n)，得由 ki0(i=1 ，2，n) ，上述各式分别乘以 ki(i=1，2，n)，得将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)，即 f(k
11、 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 对 x0，有 ln(1+x)x=所以原式=2【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 因为 且 f(a)=f(b)=0，所以两式相加得f(x) abf(x)dx【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)=(xx 2)sin2nx=0 得 x=1，x=k(x=1，2，)，当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0( 除 x=kn(k=1，2，)外 f(x)0)，是x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为
12、当 x0 时，sinxx，所以当x0，1时，(x x 2)sin2nx(xx 2)x2n=x2n+1x 2n+2， 于是 f(x)f(1)=01(xx 2)sin2nxdx01(x2n+1x 2n+2)dx=【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 当 4x2+y225 时，由 得驻点为(x，y)=(0，0) 当 4x2+y2=25 时，令 F=x2+12xy+2y2+(4x2+y225)，由因为z(0， 0)=0， 所以目标函数的最大和最小值分别为 和50【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 当 t0 时，F(t)=0；当 0t1 时， 当1t2 时， 当 t2 时，F(t)
13、=1【知识模块】 重积分22 【正确答案】 因为 f(x，y)在 D 上连续，所以 f(x，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mf(x，y)M，又由 g(x，y)0 得 mg(x，y)f(x，y)g(x ，y)Mg(x ，y)积分得 (1)当则对任意的(，)D，有(2)当由介值定理，存在(，) D，使得【知识模块】 重积分23 【正确答案】 令 由交错级数的 Leibniz 审敛法，级数收敛，而取0=1，存在自然数 N，当 nN 时，a n01，从而 0an1，当 nN 时，有0an2 an1由收敛【知识模块】 级数24 【正确答案】 由 得幂级数的收敛半径为 R=1(1)当 p
14、0 时，记q=p，则有 发散，此时幂级数的收敛域为(1，1) ；(2)当 0p1 时，对所以 x=1 时，级数 发散，当x=1 时， 显然收敛，此时幂级数的收敛域为1，1)；(3)p=1 时，收敛，此时幂级数的收敛域为1，1)；(4)当 p1时，对收敛，当 x 等于1 时， 显然绝对收敛，此时幂级数的收敛域为1，1【知识模块】 级数25 【正确答案】 由逐项可积性得f(x)f(0)= 0xf(x)dx= 所以【知识模块】 级数【知识模块】 级数26 【正确答案】 则 f(x)满足的微分方程为 f(x)f(x)=xe x，f(x)=xe xedx dx+cedx = 因为a0=1，所以 f(0)
15、=1，从而 C=1，于是【知识模块】 级数27 【正确答案】 【知识模块】 级数28 【正确答案】 将 y=e2x+(1+x)ex 代入原方程得(4+2a+b)e 2x+(3+2a+b)ex+(1+x+b)xex=xex，则有 原方程为y 3y+2y= ex原方程的特征方程为 23+2=0 ，特征值为 1=1， 2=2，则y 3y+2y=0 的通解为 y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex【知识模块】 常微分方程与差分方程29 【正确答案】 曲线在点(x，y)处的切线方程为 Yy=y(Xx)，令 X=0，则Y=yxy ，切线与 y 轴的交点为 (0，yxy)，由题意得 x2+x2y2=4，解得因为曲线经过点(2，0)，所以 C=0，故曲线为【知识模块】 常微分方程与差分方程30 【正确答案】 根据题意得分离变量得积分得由 y(0)=1，得C=1，所以【知识模块】 常微分方程与差分方程
