1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 201 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= （分数：2.00）A.14B.C.16D.43.设函数 f(x)在(，+)内连续，其导数的图形如图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点D.两个极大点，三个极小点，两个拐点4.设
2、 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续D.有第一类间断点5.设 u n 条件收敛，且 （分数：2.00）A.|r|1B.|r|1C.r=1D.r=1二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 0 y e t dt+ 0 y costdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 dydx= 1（分数：2.00）填空项 1:_8.maxx+2，x 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_10.设(ay2xy 2 )dx+(bx
3、 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_13.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+1256)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切 x 有|f(x)|e x 1|证明：|a 1 +2a 2 +na n |1（分数：2.00）_14.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_15.
4、设 0ab，证明： （分数：2.00）_16.设 k 为常数，方程 kx （分数：2.00）_17.计算 0 1 （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()（分数：2.00）_设 f(x)在(a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2（分数：4.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 0 x f(t)dt+ 0 x f(t)dt=xf(x)f(x)；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b f 2 (x)
5、dx （分数：2.00）_20.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：2.00）_21.计算 I= （分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明： （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_25.设 u n 0，且 存在证明：当 q1 时级数 u n 收敛，当 q1 时级数 （分数：2.00）_设函数 f 0 (x)在(，+)内连续，f n (x)= 0 x f n1 (t)dt(n=1，2，)（分数：4.00）(1).证明：f n (x)=1(n1)! 0
6、x f 0 (t)(xt) n1 dt(n=1，2，)；（分数：2.00）_(2).证明： （分数：2.00）_26.利用变换 x=arctant 将方程 cos 4 x +cos 2 x(2sin2x) （分数：2.00）_27.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 201 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个
7、选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= （分数：2.00）A.14B. C.16D.4解析：解析：因为 g(4)=1f(2)，所以选(B)3.设函数 f(x)在(，+)内连续，其导数的图形如图，则 f(x)有( ) （分数：2.00）A.两个极大点，两个极小点，一个拐点B.两个极大点，两个极小点，两个拐点C.三个极大点，两个极小点，两个拐点 D.两个极大点，三个极小点，两个拐点解析：解析：设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 1 ，0)，(x 2 ，0)，其中 x 1 x 2 ；当
8、x0时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3 ，0)，(x 4 ，0)，其中 x 3 x 4 当 xx 1 时，f(x)0，当x(x 1 ，x 2 )时，f(x)0，则 x=x 1 为 f(x)的极大值点；当 x(x 2 ，0)时，f(x)0，则 x=x 2 为 f(x)的极小值点；当 x(0，x 3 )时，f(x)0，则 x=0 为 f(x)的极大值点；当 x(x 3 ，x 4 )时，f(x)0，则 x=x 3 为 f(x)的极小值点；当 xx 4 时，f(x)0，则 x=x 4 为 f(x)的极大值点，即 f(x)有三个极大值点，两个极小值点，又 f“(x)有两个零点，根据一阶导数在两个
9、零点两侧的增减性可得，Y=f(x)有两个拐点，选(C)4.设 g(x)= 0 x f(u)du，其中 f(x)= （分数：2.00）A.单调减少B.无界C.连续 D.有第一类间断点解析：解析：因为 f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)5.设 u n 条件收敛，且 （分数：2.00）A.|r|1B.|r|1C.r=1 D.r=1解析：解析：因为 u n 条件收敛，所以级数 u n 一定不是正项或负项级数，故 r0 若|r|1，则 =|r|1，存在充分大的 N，当 nN 时，|u n |单调增加， 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设 f(
10、x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 0 x tf(xt)dt= x 0 (xu)f(u)(du)=x 0 x f(u)du 0 x uf(u)du， 0 x arctan(xt) 2 dt x 0 arctanu 2 (du)= 0 x arctanu 2 du， 7.设 0 y e t dt+ 0 y costdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 dydx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 两边对 x 求导得 8.maxx+2，x 2 dx=
11、1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：maxx+2，x 2 当 x1 时，maxx+2，x 2 dx= +C 1 ； 当1x2 时，maxx+2，x 2 dx= +2x+C 2 ； 当 x2 时，maxx+2，x 2 dx= +C 3 C 1 =C 2 ，C 3 =C 2 + ，取 C 2 =C， 则maxx+2，x 2 dx 9.直线 L： （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 2 +y 2 z 2 =1）解析：解析：设 M(x，y，z)为旋转曲面上的任意一点，该点所在的圆对应与直线 L 上的点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，
12、圆心为 T(0，0，z)，由| |，得 x 2 +y 2 =x 0 2 +y 0 2 因为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)L，所以 10.设(ay2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）填空项 1:_ （正确答案：2）解析：解析：令 P(x，y)=ay2xy 2 ，Q(x，y)=bx 2 y+4x+3， 因为(ay2xy 2 )dx+(bx 2 y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分， 三、解答题(总题数：19，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程
13、或演算步骤。_解析：12.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x f(xt)dt x 0 f(u)(du)= 0 x f(u)du， x0 时，xln(1+x)=xx +o(x 2 )x 2 2 得 )解析：13.设 f(x)=a 1 ln(1+x)+a 2 ln(1+2x)+a n ln(1+1256)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切 x 有|f(x)|e x 1|证明：|a 1 +2a 2 +na n |1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，由|f(x)|e x 1|得|f(x)x|e x 1x|， =a 1 +
14、2a 2 +na n ， 且 )解析：14.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，(x)= 0 1 f(xt)dt=1xr 0 1 f(xt)d(xt) 1x 0 x f(u)du， (x)=1x 2 xf(x) 0 x f(u)du 当 x=0 时，(0)= 0 1 f(0)dt=0， )解析：15.设 0ab，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 方法一因为 (b 2 +a 2 )(lnblna)2a(ba)0，所以令 f(x)=(x 2 +a 2 )(lnxlna)2a(xa)，f(a)=0，
15、 f(x)0(xa)，因为 ba，所以 f(b)f(a)=0， 方法二令 f(x)=lnx，则存在 (a，b)，使得 =1，其中 0ab，则 )解析：16.设 k 为常数，方程 kx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=kx +1，f(x)=k+ ，x(0，+) (1)若 k0，由 0，所以原方程在(0，+)内恰有一个实根； (2)若 k=0， f(x)=10，又 f(x)=1x 2 0，所以原方程也恰有一个实根； 又 f“(x)=2x 3 0，所以 f(x 0 )=12 为 f(x)的最大值，令 12 )解析：17.计算 0 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
16、 )解析：18.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又 (0)=0，(1)= 0 1 f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0，1)， 使得 ()=0，而 (x)= )解析：设 f(x)在(a，a)(a0)内连续，且 f(0)=2（分数：4.00）(1).证明：对 0xa，存在 01，使得 0 x f(t)dt+ 0 x f(t)dt=xf(x)f(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正
17、确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt+ 0 x f(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)F(0)=F(x)x，即 0 x f(t)dt+ 0 x f(f)dt=xf(xf(x)解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =A，由 0 x f(t)dt+ 0 x f(t)dt=xf(x)f(x)，得 )解析：19.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b f 2 (x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(a)=0，得 f(x)f(a)=f(x)= a x
18、f(t)dt，由柯西不等式得 f 2 (x)=( a x f(t)dt) 2 a x 1 2 dt a x f 2 (t)dt(xa) a b f 2 (x)dx 积分得 If 2 (x)dx a b (xa)dx a b f 2 (x)dx= )解析：20.已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v)，若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.计算 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)|1x1，0yx 2 ， D 2 =(x，y)|1x1，x 2 y2， )解析：22.设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)
19、0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 xf(x)dx 0 1 f(xdx 0 1 xf 2 (x)dx， 等价于 0 1 f 2 (x)dx 0 1 yf(y)dy 0 1 f(x)dx 0 1 fy 2 (y)dy，或者 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)f(y)dy0 令 I= 0 1 dx 0 1 yf(x)f(y)f(x)f(y)dy， 根据对称性，I= 0 1 dx 0 1 xf(x)f(y)f(y)f(x)dy， 2I= 0 1 dx 0 1 f(x)f(y)(yx)f(x)f(y)dy， 因为 f(x)0
20、且单调减少，所以(yx)f(x)f(y)0，于是 2I0，或 I0， )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 S 1 ：y= ，D xz =(x，z)|axa，aza， )解析：24.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =1，得幂级数的收敛半径为 R=1 (1)当 p0 时，记 q=p，则有=+，因而当 x=1 时， 发散，此时幂级数的收敛域为(1，1)； (2)当 0p1 时，对=+，所以 x=1 时，级数 发散，当 x=1 时， 显然收敛，此时幂级数的收敛域为1，1)； (3)当 p=1 时， 收敛，此时收敛域为1，1)； 收敛
21、，当 x=1 时， )解析：25.设 u n 0，且 存在证明：当 q1 时级数 u n 收敛，当 q1 时级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 q1 时，取 0 =(q1)20，因为 所以存在 N0，当 nN 时， 当 q1 时，取 0 =(1q)20，因为 所以存在 N0，当 nN 时， )解析：设函数 f 0 (x)在(，+)内连续，f n (x)= 0 x f n1 (t)dt(n=1，2，)（分数：4.00）(1).证明：f n (x)=1(n1)! 0 x f 0 (t)(xt) n1 dt(n=1，2，)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n=1 时，f 1
22、 (x)= 0 x 0 (t)dt，等式成立； 设 n=k 时，f k (x)= 0 x f 0 (t)(xt) k1 dt， 则 n=k+1 时， f k+1 (x)= 0 x f k (t)dt= 0 x dt 0 t f 0 (u)(tu) k1 du = 0 x dy u x f 0 (u)(tu) k1 dt=1k! 0 x f 0 (u)*(xu) k du 由归纳法得 f n (x)= )解析：(2).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x(，+)，f 0 (t)在0，x或x，0上连续，于是存在 M0(M与 x 有关)，使得|f 0 (t)|M(t0，x或
23、 tx，0)，于是 |f n (x)| | 0 x (xt) n1 dt|Mn!|x| n 根据比较审敛法知 )解析：26.利用变换 x=arctant 将方程 cos 4 x +cos 2 x(2sin2x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 的特征方程为 2 +2+1=0，特征值为 1 = 2 =1， 则 )解析：27.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 dydx=(yv 0 t)x，即 两边积分，得 p+ =c 0 x k ，由 y(x 0 )=0，得 c 0 =x 0 k ， 由 y(x 0 )=0，得 c 1 =kx 0 (k 2 1)，则 B 的轨迹方程为 当 k=1 时，B 的轨迹方程为 )解析：
