1、初等数学模拟试卷 2 及答案与解析一、数学部分单项选择题0 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I) ：AX=0 和()：ATAX=0，必有（A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） ()的解是(I)的解，但 (I)的解不是()的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I)的解（D）(I)的解是()的解，但()的解不是(I)的解1 设向量组 I： 1， 2，., r 可由向量组： 1， 2，., s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关2 设 A，B 为满足 AB=0 的任
2、意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关3 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2 则 1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=04 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线
3、性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关5 设向最组 1， 2， s 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3， 3-1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 1-22， 2-23， 3-21.（D） 1+22， 2+23， 3+216 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2
4、， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 57 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵已知 n 维列向量口是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 A 的特征向量是（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T8 设 A，B 为同阶方阵，如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等；9 设 A、B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）E-A=E-B （B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 与 B 都相似于一个对角矩阵（D）对任意常数 t，tE-A 与
5、tE-B 相似10 已知实二次型 f(x1，x 2，x 3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3 经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y12，则 a=_.11 设 A 为 m 阶实对称矩阵，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B TAB为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n12 设 A，B 为随机事件，且 P(B)0，P(A I B)=1 ，则必有（A）P(A U B)P(A)（B） P(A U B)P(B)（C） P(A U B)=P(A)（D）P(A U B)=P(B)13 设 x0，则 x2+6/x 的最小值为_14 设三
6、个实数 a，b，c 在数轴上的位置如图，则 |a|+|b|+|c|-|a+b|+|b+c|-|c-a|=_.（A）a-b+c（B） a+b-c（C） a+b+c（D）d-b-c15 若 ，必有_.（A）c0，则下列不等式中不正确的是_17 设 ，则 x+y=_.（A）-2（B） -1（C） 0（D）118 已知 _.（A）1/2（B） 3 或 1/3（C） 1/3（D）1/3 或 1/219 已知 ，则 x 的取值范围是_.（A）(-1，1/2（B） (-3，-1)（C） (1，3（D）(-3，-1/220 设 mn0，则下列不等式恒成立的是( ) 二、填空题21 设 n 阶矩阵 A 的元素全
7、为 1，则 A 的 n 个特征值是_.22 设 A 为 2 阶矩阵， 1， 2 为线性无关的 2 维列向量A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为_. 23 若 3 维列向量 ， 满足 T=2，其中 T 为 为转置，则矩阵 T 的非零特征值为24 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则这两个数之差的绝埘值小于 1/2 的概率为_.25 考虑一元二次方程 x2+Bx+C=0，其中 B，C 分别是将一枚色子(骰子)接连掷两次先后出现的点数求该方程有实根的概率 p 和有重根的概率 q=_26 从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为Y，则 PY=2
8、=_.27 设 a，b 均为正数，若 a，6 的算术平均值为 m，且 1/a+1/b=n则 a,b 的比例中项为_三、解答题28 设向量 1， 2，., t 是齐次方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组Ax=0 的解即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关 29 解方程 x2+25 |x|-15=030 将一条长为 10 米的钢材截成长为 z 和 10-x 的两段，使 x 恰是 10 与 10-z 的几何平均值，求一段的长31 已知 x0， y0，点(x，y)在双曲线 xy=2 上移动，求 1/x+1/y 的最小值32 解方程|x|x-4|x|+3=0初等数学模拟
9、试卷 2 答案与解析一、数学部分单项选择题0 【试题解析】 若 是(I)的解，则 A=0，那么(A TA)=AT(A)=AT0=0，即 是()的解。 若 a 是() 的解，有 ATA=0，用 T 左乘得 TATA=0即(A) T(A)=0亦即 A 自己的内 积 (A，A)=0，故必有 A=0，即 是(I)的解 所以(I)与()同解，故应选 (A)【知识模块】 初等数学1 【正确答案】 D【试题解析】 根据定理“若 1， 2，., s 可由 1， 2，., t 线性表出，且 st，则1， 2，., s 必线性相关 ”，即若多数向量可以由少数向量线性表出，则这多数向量必线性相关，故应选(D)【知识
10、模块】 初等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 设 A 是 mn 曰是 ns 矩阵，且 AB=0，那么 r(A)+r(B)n 由于A，B 均非 0，故 0T。，显然 AB=0但矩阵 A 的列向量组线性相关，行向量组 线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关由此就可断言选项(A)正确【知识模块】 初等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 按特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k 11+k2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0. (k1+1k2)1+2k22=0，k 1k2 为 0 不同特征值的特征向量线性无关，所以
11、 1， 2 线性无关【知识模块】 初等数学4 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，A s)=A(1， 2， s)，所以 r(A1，A 2， ，A s)r(1， 2， s) 1， 2， s 线性相关，有r(1， 2， ， s)1，A 2，A s)1，A 2，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，A s 线性尢关，否则 A1，A 2，A s 可以线性相关因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 初等数学5 【正确答案】 A【试题解析】 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， 所以向量组 1-2， 2-3，
12、3-1 线性相关，故应选(A) 至于(B)、(C)、(D)的线性无关性可以用( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 的方法来处理【知识模块】 初等数学6 【正确答案】 B【知识模块】 初等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故(P -1AP)T=PTAT(P-1)T=PTA(PT)-1 那么，由 A= 知(P -1AP)T(PT)=PTA(PT)-1(PT)=PTA=A(PT) 所以应选(B)【知识模块】 初等数学8 【正确答案】 若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故 丨 E-B 丨=丨 E-P-1AP 丨=丨 P-1AEP-P-1AP
13、丨 = 丨 P-1(E-A)P 丨= 丨 P-1 丨丨 E-A 丨丨 P 丨=丨 E-A 丨【知识模块】 初等数学9 【正确答案】 D【知识模块】 初等数学10 【正确答案】 2【试题解析】 二次型 xTAx 经正交变换化为标准形时，标准形平方项的系数就是二次型矩阵 A 的特征值，所以 6，0，0 是 A 的特征值【知识模块】 初等数学11 【正确答案】 必要性设 BTAB 为正定矩阵，按定义 V x0，恒有 xT(BTAB)x0即 V x0，恒有(Bx) TA(Bx)0即 V x0，恒有 Bx0齐次线性方程组 Bx=0只有零解，故 r(B)=n 充分性因 (BTAB)T=BTAT(BT)T=
14、BTAB，知 B【知识模块】 初等数学12 【正确答案】 C【知识模块】 初等数学13 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 初等数学14 【正确答案】 C【知识模块】 初等数学15 【正确答案】 A【知识模块】 初等数学16 【正确答案】 C【知识模块】 初等数学17 【正确答案】 D【知识模块】 初等数学18 【正确答案】 B【知识模块】 初等数学19 【正确答案】 A【知识模块】 初等数学20 【正确答案】 B【知识模块】 初等数学二、填空题21 【正确答案】 n-nn-1【知识模块】 初等数学22 【正确答案】 1【试题解析】 用定义由 A1=0=01，A(2 1+2)=A2=2
15、1+2，知 A 的特征值为1 和 0因 此 A 的非 0 特征值为 1 或者，利用相似，有 A(1， 2)=(0，2 1+2)=(1， 2)【知识模块】 初等数学23 【正确答案】 2【试题解析】 矩阵 A=T 的秩为 1.【知识模块】 初等数学24 【正确答案】 3/4【知识模块】 初等数学25 【正确答案】 1/18【知识模块】 初等数学26 【正确答案】 13/48【知识模块】 初等数学27 【正确答案】 【知识模块】 初等数学三、解答题28 【正确答案】 证法一：(定义法) 若有一组数 k，k 1，k 2，k t，使得 k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 则因 1， 2，., t 是 Ax=0 的解，知Ai=0(i=1，2，t)，【知识模块】 初等数学29 【正确答案】 原方程可记为|x| 2+25 |z|-15=0，【知识模块】 初等数学30 【正确答案】 【知识模块】 初等数学31 【正确答案】 【知识模块】 初等数学32 【正确答案】 当 x0 时，原方程化为 x 2-4x+3=0。解得 x 1=1，x 2=3 当x2+4x+3=0 即 x2-4x-3=0【知识模块】 初等数学
