1、考研数学一-201 及答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 y=f(x)的导函数 f(x)在区间0，4上的图形如右图，则 f(x)A在(0，2)单调上升且为凸的，在(2，4)单调下降且为凹的. B在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凹的，而在(2，4)是凸的. C在(0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的. D在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，而在(2，4)是凹的.（分数：4.00）A.B.C.D.
2、3.下列等式或不等式设 则 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 S 为球面：x 2+y2+z2=R2，则下列同一组的两个积分均为零的是A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.5.下列矩阵中属于正定矩阵的是A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 n 维向量 1， 2， s的秩为 r，则下列命题正确的是A 1， 2， s中任何 r-1 个向量必线性无关. B 1， 2，a s中任何 r 个向量必线性无关. C 如果 sn，则 s必可由 1， 2，a s-1线性表示. D 如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2， s线性表示.（分数：4.00）A.B.C.D
3、.7.已知随机变量 X 的概率分布为 ，其中 0，后=1，2，则 EX 为A. Be C D （分数：4.00）A.B.C.D.8.设总体 X 的方差存在，X 1，X 2，X n。是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，S 2，则 EX2的矩估计量是A BC D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知当 x0 时 （分数：4.00）10.设 y(x)在(-，+)连续，又当 x0 时 是比 x 高阶的无穷小，函数 y(x)在任意点处的增量y=y(x+x)-y(x)满足（分数：4.00）填空项 1:_11.设 z=z(x，y)由 (
4、bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 所确定，其中 对所有变量有连续偏导数，a，b，c 为非零常数，且 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_12.累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_13.已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A *)*的最大特征值是 1.（分数：4.00）填空项 1:_14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 Emin(X，Y)=_.（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.设()求证： （分数：10.00）_16.设 （分数：10.
5、00）_17.设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 ，其中 a，b，c 为常数.()讨论 f(x，y)在点(0，0)处是否可微，若可微并求出 （分数：10.00）_18.求函数 （分数：9.00）_19.设 其中 .()选取参数 ，使得 （分数：11.00）_20.设 ，且 B=P-1AP.()求矩阵 A 的特征值与特征向量；()当 （分数：12.00）_21.设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2. 证明：()矩阵 B=(，A，A 4)可逆；()B TB 是正定矩阵.（分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的密度函数为
6、（分数：11.00）_23.设总体 X 服从正态分布 N(，1)，X 1，X 2，X 9是取自总体 X 的简单随机样本，要在显著性水平=0.05 下检验H0：= 0=0， H 1：0，如果选取拒绝域 R=|X|c.()求 c 的值；()若样本观测值的均值 ，则在显著性水平 =0.05 下是否可据此样本推断 =0?()若选取拒绝域 （分数：11.00）_考研数学一-201 答案解析(总分：151.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：显然，函数 在点 x=0 处可导，又 均 但不相等，即 g(0)不 ，但 g(x)
7、在点x=0 处连续 +g(x)，但 f(x)在点 x=0 处连续. 因此，选 B.2.设 y=f(x)的导函数 f(x)在区间0，4上的图形如右图，则 f(x)A在(0，2)单调上升且为凸的，在(2，4)单调下降且为凹的. B在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凹的，而在(2，4)是凸的. C在(0，2)单调上升且是凹的，在(2，4)单调下降且是凸的. D在(0，1)，(3，4)单调下降，在(1，3)单调上升，在(0，2)是凸的，而在(2，4)是凹的.（分数：4.00）A.B. C.D.解析：如下图，当 x(0，1)或 x(3，4)时 f(x)0 f(x)在(
8、0，1)，(3，4)单调下降；当x(1，3)时 f(x)0 f(x)在(1，3)单调上升，又 f(x)在(0，2)单调上升 f(x)在(0，2)是凹的；f(x)在(2，4)单调下降 f(x)在(2，4)是凸的. 因此，应选 B.3.下列等式或不等式设 则 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：要逐一分析，对于：由可知正确.对于：因为 在点 x=0 处无定义，不能在-1，1上用牛顿-莱布尼兹公式，因此不正确. 事实上或由于 因此对于：易知 ，故 f(x)在-1，1上连续，且是奇函数 . 故正确.对于：这里 在(-，+)连续，虽是奇函数，但 发散，因为故不正确，综上分析，应选 B.若 收敛，则
9、对瑕积分有类似结论.4.设 S 为球面：x 2+y2+z2=R2，则下列同一组的两个积分均为零的是A BC D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：注意第一类曲面积分有与三重积分类似的对称性质.因 S 关于 yz 平面对称，被积函数 x 与 xy 关于 x 为奇函数被积函数 x2关于 x 为偶函数特别要注意，第二类曲面积分有与三重积分不同的对称性质：因 S 关于 yz 平面对称，被积函数 x2对 x 为偶函数被积函数 x 对 x 为奇函数(这里设 S 取外侧).类似可得(这里仍设 S 取外侧).由上分析可知， ，因此应选 C.评注：设 S 取外侧，记 S1，S 2分别为前、后半球，于是
10、S1，S 2分别取前侧与后侧S 在 yz 平面的投影区域为 D：y 2+z2R 2同理5.下列矩阵中属于正定矩阵的是A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：正定的充分必要条件是顺序主子式全大于 0，正定的必要条件是 aii0. C中 a33=-10，必不正定；A 中二阶顺序主子式6.设 n 维向量 1， 2， s的秩为 r，则下列命题正确的是A 1， 2， s中任何 r-1 个向量必线性无关. B 1， 2，a s中任何 r 个向量必线性无关. C 如果 sn，则 s必可由 1， 2，a s-1线性表示. D 如果 r=n，则任何 n 维向量必可由 1， 2， s线性表示.（
11、分数：4.00）A.B.C.D. 解析：r( 1， 2， s)=r7.已知随机变量 X 的概率分布为 ，其中 0，后=1，2，则 EX 为A. Be C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：注意到该分布除 a 外与泊松分布仅差 k=0 这一项，故利用与泊松分布的关系求出常数 a 的值，然后再求 EX. 由解得于是8.设总体 X 的方差存在，X 1，X 2，X n。是取自总体 X 的简单随机样本，其样本均值和样本方差分别为，S 2，则 EX2的矩估计量是A BC D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：根据矩估计量的定义来选择正确的选项，由于 EX2=DX+(EX)2，而 DX
12、与 EX 的矩估计量分别是所以 EX2的矩估计量为二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知当 x0 时 （分数：4.00）解析：确定 n0 使得下面的极限存在且不为 0，即其中 ln1+(x-sinx)x-sinx(x0)，10.设 y(x)在(-，+)连续，又当 x0 时 是比 x 高阶的无穷小，函数 y(x)在任意点处的增量y=y(x+x)-y(x)满足（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：分析一 先求 y(x)，再求 y(1). 为求 y(x)先求 y(x). 将已知等式两边同除 x，并令x0，由连续性知 于是取极限得这是可分离变量的微分方程，分离变量得积分得
13、 ，即再由分析二 将已知等式改写成(因为 ，记 ，则其中 ，而且 o(x)(x0)，由 y 与微分 dy 的关系知，函数y(x)在任意点 x 处的微分为其余解法同分析一.设 y=y(x)满足：y=y(x+x)-y(x)=f(x，y)x+ (*)其中 =o(x)(x0)，则11.设 z=z(x，y)由 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 所确定，其中 对所有变量有连续偏导数，a，b，c 为非零常数，且 ，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：c）解析：分析一 两边分别对 x，y 求偏导数得由a+b，可得因此分析二 两边求全微分得即于是分析三 将 (bz-cy，cx-az，ay
14、-bx)=0 记为 G(x，y，z)=0，代公式得12.累次积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：直接计算是不方便的，这是二重积分 的累次积分，其中它是由 ，即(x-1) 2+y2=1(y0)与 x 轴围成的区域，如图所示，现改用极坐标变换，D 的极坐标表示于是原式13.已知 A 是 3 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，如果矩阵 A 的特征值是 1，2，3，那么矩阵(A *)*的最大特征值是 1.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：18.）解析：因为(A *)*=|A|n-2A，又14.设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(，； 2， 2；0)，则 Em
15、in(X，Y)=_.（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：由题设 X，Y 独立，则有 Z=X-YN(0，2 2)，于是故三、解答题(总题数：9，分数：95.00)15.设()求证： （分数：10.00）_正确答案：()由变限积分求导法得f(x)=arcsin|sinx|2sinxcosx-arccos|cosx|2sinxcosx=2sinxcosx(arcsin|sinx|-arccos|cosx|).记 =arcsin|sinx|，=arccos|cosx|，下证 =.显然， ，sin=|sinx|，cos=|cosx|sin2+cos 2=1，sin 2=sin 2=.
16、因此 f(x)=0 ，即 f(x)为常数 . ()方法 1方法 2方法 3最简单的方法应选择注意 则有)解析：16.设 （分数：10.00）_正确答案：()由定积分的几何意义知(这是以原点为心，半径为 x 的圆在第一象限部分的面积).再用分段积分法求 f(x)表达式中的另一积分：当 0x1 时当 x1 时于是()为求 f(x)在(0，+)上的最小值，先求 f(x).由f(x)在 ，而在 的最小值是 ，故 f(x)在(0，+)的最小值点是 )解析：f(x)在(0，+)不存在最大值. 由于 ，故17.设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 ，其中 a，b，c 为常数.()讨论 f(x，y)在点(
17、0，0)处是否可微，若可微并求出 （分数：10.00）_正确答案：()当(x，y)(0，0)时 ln(1+x2+y2)x 2+y2，由求极限中等价无穷小因子替换得又由 f(x，y)在点(0，0)处的连续性即得再由极限与无穷小的关系可知为当(x，y) (0，0)时的无穷小量)即 f(x，y)-f(0，0)=bx+cy+o()(0).由可微性概念 (x，y)在点(0，0)处可微且()由 于是当 b，c 不同时为零时 f(x，y)在点(0，0)处不取极值.当 b=c=0 时，由于又由极限不等式性质 ，当 0x 2+y2 2时，)解析：本题有如下变式，题()不变，题()改为：求面积 z=f(x，y)在
18、点 M0(0，0，f(0，0)处的切面方程.解：曲面 z=f(x，y)在点 M0(0，0，f(0，0)=(0，0，a)处的切面方程是18.求函数 （分数：9.00）_正确答案：(用分解法求 f(x)的展开式. 先将 f(x)分解，即由)解析：19.设 其中 .()选取参数 ，使得 （分数：11.00）_正确答案：()这里区域 D 是单连通的，P，Q 在 D 上有连续的偏导数，于是在 D 内与路径无关即在区域 D 上因此，仅当 =-1 时 在 D 内与路径无关.()只要 P，Q 在 D 上连续，则Pdx+Qdy 在 D 上存在原函数 在 D 内与路径无关.因此，由题()知仅 =-1 时 Pdx+
19、Qdy 在 D 存在原函数，下求原函数 u(du=Pdx+Qdy)：方法 1不定积分法，由 对 x 积分注意再由因此求得 Pdx+Qdy 的全体原函数为方法 2特殊路径积分法.取(x 0，y 0)=(0，1)及积分路径为折线如图，则因此，全体原函数为 )解析：把题()与题()合起来用如下解法更简便些.积分 在 D 内与路径无关 Pdx+Qdy 在区域 D 上存在原函数 u(x，y) 存在 u(x，y)使得由 对 x 积分得由 得因此求得：=-1，且此时 C(y)=0，C(y)=C. 由 式得20.设 ，且 B=P-1AP.()求矩阵 A 的特征值与特征向量；()当 （分数：12.00）_正确答
20、案：()由矩阵 A 的特征多项式得矩阵 A 的特征值 1= 2=1， 3=-3.由齐次线性方程组(E-A)x=0，得基础解系 1=(-4，1，2) T. 由齐次方程组(-3E-A)x=0，得基础解系 2=(-2，1，1) T. 因此，矩阵 A 关于特征值 1= 2=1 的特征向量为 k1(-4，1，2) T，k 11 而关于特征值 =-3 的特征向量为 k2(-2，1，1) T，k 20.()()由 P-1AP=B 有 P-1A100P=B100，故 A100=PB100P-1. 又于是)解析：本题考查特征值、特征向量的计算，以及利用相似求 An. 求 B100既可以用数学归纳法，也可以用分块
21、矩阵21.设 A 为三阶方阵， 为三维列向量，已知向量组 ，A，A 2 线性无关，且 A3=3A-2A 2. 证明：()矩阵 B=(，A，A 4)可逆；()B TB 是正定矩阵.（分数：11.00）_正确答案：()由于 A3=3A-2A 2，故A4=3A 2-2A 3=3A 2-2(3A-2A 2)=7A 2-6A.若 k1+k 2A+k 3A4=0，即 k1+k 2A+k 3(7A2-6A)=0,亦即 k1+(k 2-6k3)A+7k 3A2=0，因为 ，A，A 2 线性无关，故所以，A，A 4 线性无关，因而矩阵 B 可逆. ()因为(B TB)T=BT(B)T=BTB，故 BTB 是对称
22、矩阵，又 )解析：由易知 亦可证得 B 可逆.正定矩阵是由二次型引出的，二次型矩阵 A 是实对称矩阵，因此若要证明 A 是正定矩阵，应先验证 A 是对称矩阵.要会用定义法证明正定，要熟悉向理的内积：(，)=a 1b1+a2b2+anbn= T，特别地 那么22.设二维随机变量(X，Y)的密度函数为（分数：11.00）_正确答案：()由于 f(x，y)=f X(x)fY(y)，(x，y)R 2，故 X，Y 相互独立. ()所以 ，同理由于 X，Y 相互独立，所以 U=X2和 V=Y2也相互独立，从而(U，V)的密度函数为由此表明，(U，V)服从区域 Duv=(u，v)|0u1，0v1上的均匀分布
23、. ()由()可知(记 D=(u，v)|u 2+y21，u0，v0)解析：23.设总体 X 服从正态分布 N(，1)，X 1，X 2，X 9是取自总体 X 的简单随机样本，要在显著性水平=0.05 下检验H0：= 0=0， H 1：0，如果选取拒绝域 R=|X|c.()求 c 的值；()若样本观测值的均值 ，则在显著性水平 =0.05 下是否可据此样本推断 =0?()若选取拒绝域 （分数：11.00）_正确答案：()依题意 H0：= 0=0，H 1：0，由于总体方差 已知，我们选取检验的统计量为在 H0成立条件下， . 由于 =0.05，可知 P|U|1.96=0.05，因此检验的拒绝域为于是 c=1.96/30.65.()由于 =10.65R，因此不能据此样本推断 =0，即应否定 =0 的假设. ()由于检验水平 是在 H0成立时拒绝 H0的最大概率，因此所求的显著性水平 为)解析：
