1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 201 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则g(4)等于( )（A）14（B）（C） 16（D）42 设函数 f(x)在(，+)内连续，其导数的图形如图，则 f(x)有( )（A）两个极大点，两个极小点，一个拐点（B）两个极大点，两个极小点，两个拐点（C）三个极大点，两个极小点，两个拐点（D）两个极大点，三个极小点，两个拐点3 设 g(x)=0xf(u)du，其中 f(x)= 则 g(x)在(0，2)内( )（A
2、）单调减少（B）无界（C）连续（D）有第一类间断点4 设 un 条件收敛，且 =r，则( )（A）|r|1（B） |r|1（C） r=1（D）r=1二、填空题5 设 f(x)连续，且6 设 0yetdt+0ycostdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 dydx=_7 maxx+2，x 2dx=_8 直线 L： 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程为_9 设(ay2xy 2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分，则a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 f(x)连续可导，11 设 f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+anln(
3、1+1256)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且对一切 x 有|f(x)|e x1|证明：|a 1+2a2+nan|112 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt，且 f(x)x=A求 (x)，并讨论 (x)在 x=0 处的连续性13 设 0a b，证明：14 设 k 为常数，方程 kx +1=0 在(0，+)内恰有一根，求 k 的取值范围15 计算 0116 设 f(x)在0，1上连续， f(0)=0， 01f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0f(x)dx=f()16 设 f(x)在(a，a)(a0)内连续，且 f(0)=217 证明：对 0xa ，存在 01，使得
4、 0xf(t)dt+0x f(t)dt=xf(x)f(x)；18 19 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： abf2(x)dx abf(x)2dx20 已知二元函数 f(x，y)满足 且 f(x，y)=g(u，v) ，若 =u2+v2，求 a，b21 计算 I= dxdy，其中 D=(x，y)|1x1，0y2 22 设 f(x)在0，1上连续且单调减少，且 f(x)0证明：23 计算 ，其中 S 为圆柱 x2+y2=a2(a0)位于 z=a 与 z=a 之间的部分24 对常数 p，讨论幂级数 xnn nlnn 的收敛域25 设 un0，且 存在证明：当 q1 时级数 un
5、收敛，当 q1 时级数 un 发散25 设函数 f0(x)在(，+)内连续，f n(x)=0xfn1 (t)dt(n=1，2，)26 证明：f n(x)=1(n1)! 0xf0(t)(xt) n1 dt(n=1，2 ，)；27 证明： fn(x)绝对收敛28 利用变换 x=arctant 将方程 cos4x +cos2x(2sin2x) +y=tanx 化为 y 关于 t 的方程，并求原方程的通解29 设 A 从原点出发，以固定速度 v0 沿 y 轴正向行驶， B 从(x 0，0)出发(x 00)，以始终指向点 A 的固定速度 v1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程考研数学一（高等数学）模拟试
6、卷 201 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 g(4)=1f(2) ，所以选(B)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 C【试题解析】 设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1，0)，(x 2，0)，其中x1x 2；当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3，0)，(x 4，0)，其中 x3x 4 当xx 1 时，f(x)0，当 x(x1，x 2)时，f(x)0，则 x=x1 为 f(x)的极大值点；当x(x2，0)时，f(x)0，则 x=x2 为 f(x)的极小值点；当 x(0，x 3)时
7、，f(x)0，则x=0 为 f(x)的极大值点；当 x(x3，x 4)时，f(x)0，则 x=x3 为 f(x)的极小值点；当xx 4 时，f(x)0，则 x=x4 为 f(x)的极大值点，即 f(x)有三个极大值点，两个极小值点，又 f“(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，Y=f(x)有两个拐点，选(C) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在(0 ，2)内只有第一类间断点，所以 g(x)在(0，2)内连续，选(C)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 un 条件收敛，所以级数 un 一定不是正项或负项级数，故r
8、0 若|r| 1，则=|r|1，存在充分大的 N，当 nN 时， |un|单调增加，un 发散，矛盾，故|r|=1，再由 r0 得 r=1，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 0xtf(xt)dt= x0(xu)f(u)(du)=x 0xf(u)du 0xuf(u)du， 0xarctan(xt) 2dt x0arctanu2(du)= 0xarctanu2du，【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 0yetdt+0xcostdt=xy 两边对 x 求导得【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 maxx+2，x 2 当 x1
9、时，maxx+2 ，x 2dx= +C1；当1x2 时，maxx+2，x 2dx= +2x+C2；当 x2 时，maxx+2，x 2dx= +C3 C1=C2 ，C 3=C2+，取 C2=C，则maxx+2 ，x 2dx【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 ：x 2+y2z 2=1【试题解析】 设 M(x，y ，z) 为旋转曲面上的任意一点，该点所在的圆对应与直线 L 上的点为 M0(x0，y 0，z) ，圆心为 T(0，0，z)，由| |，得x2+y2=x02+y02因为 M0(x0，y 0，z) L，所以 即x0=1， y0=z，于是曲面方为：x 2+y2z 2=1【知识模块】 高等数学
10、9 【正确答案】 4，2【试题解析】 令 P(x，y)=ay2xy 2，Q(x，y)=bx 2y+4x+3，因为(ay2xy 2)dx+(bx2y+4x+3)dy 为某个二元函数的全微分， =a4xy，于是 a=4，b=2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由 0xf(x t)dt x0f(u)(du)= 0xf(u)du，x0 时，xln(1+x)=xx +o(x2)x 2 2 得【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 当 x0 时，由|f(x)|e x1|得|f(x)x|e x1x|，=a1+2a2+nan，且 =1，根据极限保号性
11、得|a 1+2a2+nan|1【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 当 x0 时，(x)= 01f(xt)dt=1xr 01f(xt)d(xt) 1x 0xf(u)du，(x)=1x 2xf(x) 0xf(u)du当 x=0 时，(0)= 01f(0)dt=0，所以 (x)在 x=0 处连续【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 首先证明方法一因为 (b2+a2)(lnblna)2a(ba)0，所以令 f(x)=(x2+a2)(lnxlna)2a(xa)，f(a)=0，f(x)0(x a)，因为 ba，所以 f(b)f(a)=0， 方法二令 f(x)=lnx，则存在 (a，b)，使得 =
12、1，其中 0a b，则【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 令 f(x)=kx +1，f(x)=k+ ，x(0，+)(1)若 k0，由0，所以原方程在(0，+)内恰有一个实根；(2)若 k=0， f(x)=10，又 f(x)=1x 20，所以原方程也恰有一个实根；又 f“(x)=2x 30，所以 f(x0)=12 为 f(x)的最大值，令 12 =0，得k=1 4，所以 k 的取值范围是k|k=14 或 k0【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 因为 f(x)在0，1上连续，所以(x)在0，1上连续，在(0，1) 内可导，又 (0)=0，(1)
13、= 01f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0，而 (x)= ，所以 0f(x)dx=f()【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 F(x)=0xf(t)dt+0x f(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x) F(0)=F(x)x，即 0xf(t)dt+0x f(f)dt=xf(xf(x)【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 =A，由 0xf(t)dt+0x f(t)dt=xf(x)f(x)，得【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 由 f(a)=0，得 f(x
14、)f(a)=f(x)= axf(t)dt，由柯西不等式得 f2(x)=(axf(t)dt)2ax12dtaxf2(t)dt(xa) abf2(x)dx 积分得 If2(x)dxab(xa)dx abf2(x)dx=abf2(x)dx【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 令 D1=(x，y)| 1x1，0yx 2，D 2=(x，y)|1x1，x 2y2，【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 等价于 01f2(x)dx01xf(x)dx01f(xdx01xf2(x)dx，等价于 01f2(x)dx01yf(y)dy01f(x)dx01fy2(y)d
15、y，或者01dx01yf(x)f(y)f(x)f(y)dy0 令 I=01dx01yf(x)f(y)f(x)f(y)dy，根据对称性，I=01dx01xf(x)f(y)f(y)f(x)dy，2I= 01dx01f(x)f(y)(yx)f(x)f(y)dy，因为 f(x)0 且单调减少，所以(yx)f(x)f(y)0 ，于是 2I0，或 I0，【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 S1：y= ，D xz=(x，z)| axa，aza，【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 =1，得幂级数的收敛半径为 R=1(1)当 p0 时，记q=p，则有 =+，因而当 x=1 时， 发散，此时幂
16、级数的收敛域为(1 ，1) ； (2)当 0p1 时，对 =+，所以 x=1 时，级数 发散，当 x=1 时， 显然收敛，此时幂级数的收敛域为1， 1)；(3)当 p=1 时， 收敛，此时收敛域为 1，1)；收敛，当 x= 1 时， 显然绝对收敛，此时幂级数的收敛域为1，1【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 当 q1 时，取 0=(q1)20，因为 所以存在N0，当 nN 时，当 q1 时，取 0=(1q) 20，因为 所以存在 N0，当 nN 时，【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 n=1 时，f 1(x)=0x0(t)dt，等式成立；设 n=k 时，f k
17、(x)= 0xf0(t)(xt) k1 dt，则 n=k+1 时，f k+1(x)=0xfk(t)dt=0xdt0t f0(u)(tu) k1 du= 0xdyuxf0(u)(tu) k1 dt=1k! 0xf0(u)*(xu) kdu 由归纳法得 fn(x)= 0xf0(t)(xt) n1 dt(7n=1，2，)【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 对任意的 x( ，+) ，f 0(t)在0，x或x，0上连续，于是存在M0(M 与 x 有关)，使得|f 0(t)|M(t0，x或 tx，0)，于是|f n(x)| |0x(xt) n1 dt|Mn!|x| n根据比较审敛法知 fn(x)绝对收敛【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 的特征方程为 2+2+1=0，特征值为 1=2=1，则 +y=t 的通解为 y=(C1+C2t)et +t2，故原方程通解为 y=(C1+C2tanx)etanx +tanx2【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 dydx=(yv 0t)x，即两边积分，得 p+ =c0x k，由 y(x0)=0，得 c0=x0k，由 y(x0)=0，得c1=kx0(k 21)，则 B 的轨迹方程为当 k=1 时，B 的轨迹方程为【知识模块】 高等数学
