1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 102 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 四阶行列式 的值等于（ ）（A） 1234 b1b2b3b4（B） 1234+b1b2b3b4（C）（ 12b1b2）（ 34b3b4）（D）（ 23b2b3） （ 14b1b4）2 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A3=O，则（ ）（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆3 设 B 是 42 的非零矩阵，且 AB=O，则（ ）（A）a=1 时， B 的秩必为
2、 2（B） a=1 时，B 的秩必为 1（C） a1 时，B 的秩必为 1（D）a1 时，B 的秩必为 24 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是（ ）（A）若对于任意一组不全为零的数后 k1，k 2， ，k s，都有k11+k22+kss0，则 1， 2， s 线性无关（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，都有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关5 已知 1， 2， 3， 4 是三维非零列向量，则
3、下列结论 若 4 不能由 1， 2， 3线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 若 r（ 1， 1+2， 2+3）=r（ 4， 1+4， 2+4， 3+4），则 4 可以由 1， 2， 3 线性表出。 其中正确的个数是（ ）（A）0（B） 1（C） 2（D）36 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为r，则（ ）（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方
4、程组 Ax=b 有无穷多个解7 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的三个解向量，且 r（A ）=3， 1=（1，2，3，4） T， 2+3=（0，1，2，3） T，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=（ ）8 已知 A 是三阶矩阵，R（A）=1，则 =0（ ）（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都有可能9 已知矩阵 ，那么下列矩阵中与矩阵A 相似的矩阵个数为（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）410 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与 B 合同，则（ ）（A）A
5、 与 B 有相同的秩（B） A 与 B 有相同的特征值（C） A 与 B 有相同的特征向量（D）A 与 B 有相同的行列式二、填空题11 在 xOy 平面上，平面曲线方程 ，则平面曲线与 x 轴的交点坐标是_。12 与矩阵 可交换的矩阵为=_。13 已知 1=（1，0，0） T， 2=（1，2，一 1） T， 3=（一 1，1，0） T，且A1=（2，1） T，A 2=（一 1，1） T，A 3=（3，一 4） T，则 A=_。14 已知 B 是三阶非零矩阵，且 BAT=O，则 a=_。15 设 1=（1，2，1） T， 2=（2，3，a） T， 3=（1，a+2，一 2） T，若1=（1，3
6、，4） T 可以由 1， 2， 3 线性表示，但是 2=（0，1，2） T 不可以由1， 2， 3 线性表示，则 a=_。16 已知方程组 有无穷多解，则 a=_。17 已知齐次线性方程组有通解 k1（2，一1，0，1） T+k2（3，2，1，0） T，则方程组的通解是_。18 设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值_。19 已知 ，A *是 A 的伴随矩阵，那么 A*的特征值是_。20 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=x TAx=2x22+2x32+4x1x2+8x2x34x1x3 的规范形是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 计算
7、 n 阶行列式 ，其中 。22 已知 AB=AB，证明：A，B 满足乘法交换律。23 设向量组 1=（1，0，1） T， 2=（0，1，1） T， 3=（1，3，5） T 不能由向量组1=（1，1，1） T， 2=（1，2，3） T， 3=（3，4，a） T 线性表示。 （）求 a 的值； （）将 1， 2， 3 由 1， 2， 3 线性表示。24 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中（）当 a 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x0；（）当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。25 设四元齐次线性方程组（1）为 而已知另一四元齐次线性方程组（2）的一个基础解系为 1=（2，一 1，a
8、+2，1） T， 2=（一1，2，4，a+8） T。（）求方程组（1）的一个基础解系；（ ）当 a 为何值时，方程组（1）与（2）有非零公共解?并求出所有非零公共解。26 设矩阵 B=P1A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为三阶单位矩阵。27 已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A4+2A3+A2+2A=O，且秩 r（A）=2，求矩阵A 的全部特征值，并求秩 r（A+E）。28 设 A，B 为同阶方阵。（）若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（）举一个二阶方阵的例子说明（）的逆命题不成立；（）当 A，B 均为实对称矩阵时，证明（）的逆命题成
9、立。29 已知三元二次型 f=xTAx 的秩为 2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形。30 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵。（）计算 PTDP，其中 （）利用（）的结果判断矩阵 B 一 CTA1C 是否为正定矩阵，并证明结论。考研数学三（线性代数）模拟试卷 102 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 将此行列式按第一行展开，=（a 1a4b1b4）（a 2a3b2b3），所以选 D。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 已
10、知（E 一 A）（E+A+A 2）=EA 3=E，（E+A）（EA+A 2）=E+A3=E。故 EA，E+A 均可逆。故应选 C。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 当 a=1 时，易见 r（A）=1；当 a1 时，则即 r（A）=3 。由于AB=D，A 是 34 矩阵，所以 r（A）+r（B）4。当 a=1 时，r （A ）=1， 1r（B ）3。而 B 是 42 矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2，因此选项A、B 均不正确。当 a1 时，r（A）=3，必有 r（B）=1，选项 D 不正确。所以应选 C。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 对
11、于选项 A，因为齐次线性方程组 x11+x22+xss=0 只有零解，故 1， 2， s 线性无关，选项 A 正确。对于选项 B，由 1， 2， s 线性相关知，齐次线性方程组 x11+x22+xss=0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的。选项C 是教材中的定理。由“无关组减向量仍无关”（线性无关的向量组其任意部分组均线性无关）可知选项 D 也是正确的。综上可知，应选 B。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3， 4 是三维非零列向量，所以 1， 2， 3， 4 必线性相关。 若 1， 2，
12、 3 线性无关，则 4 必能由 1， 2， 3 线性表示，可知结论正确。 令 1=（1，0，0） T， 2=（0，1，0） T， 3=（0，2，0）T， 4=（0，0，1） T，则 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，但1， 2， 4 线性无关，可知结论 错误。 由于 （ 1， 1+2， 2+3）（ 1， 2， 2+3）（ 1， 2， 3）， （ 4， 1+4， 2+4， 3+4）（ 4， 1， 2， 3）（ 1， 2， 3， 4）， 所以 r（ 1， 1+2， 2+3）=r（ 1， 2， 3），r （ 4， 1+4， 2+4， 3+4）=r（ 1， 2， 3， 4）， 则当
13、r（ 1， 1+2， 2+3）=r（ 4， 1+4， 2+4， 3+4）时，可得 r（ 1， 2， 3）=r（ 1， 2， 3， 4），因此 4 可以由 1， 2， 3 线性表示。可知结论 正确。所以选 C。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A，r（A）=r=m。由于r（A|b）m=r，且 r（A|b）minm ，n+1=minr，n+1=r，因此必有 r（ A|b）=r，从而 r（A）=r（A|b），此时方程组有解，所以应选 A。由 B、 C、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 根据线性方程组解的结构性
14、质，易知 21 一（ 2+3）=（2， 3，4，5） T。是 Ax=0 的一个非零解，所以应选 C。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 A 的对应 的线性无关特征向量的个数小于等于特征值的重数。r（A）=1，即 r（0E A）=1，（0EA）x=0 必有两个线性无关的特征向量，故=0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如r（A）=1，但 =0 是三重特征值。所以应选 B。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 A= ，那么只要和矩阵 有相同的特征值，它就一定和 相似，也就一定与 A 相似
15、。 和分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于和，由 可见与 A 相似，而与 A 不相似。所以应选 C。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选 A。【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 （2，0），（3，0）【试题解析】 曲线 与 x 轴（即 y=0）的交点为方程组的解，行列式 为范德蒙德行列式，即有=（32）（x 一 2）（x 一 3）=0 ，解得 x=2 或 3，故曲线与 x轴的交点坐标为（2，0），（3，0）。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 其中 x2 和 x4 为任
16、意实数【试题解析】 设矩阵 B= 与 A 可交换，则由 AB=BA 可得即 x3=一 2x2，x 1=4x2+x4，所以其中 x2 和 x4 为任意实数。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 利用分块矩阵，得 A（ 1， 2， 3） =（A 1，A 2，A 3）=那么【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 根据 BAT=0 可知，r（B）+r（A T）3，即 r（A ）+r（B）3。又因为 B0，因此 r（B）1，从而有 r（A）3，即|A|=0，因此【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 1【试题解析】 根据题意， 1=（1，3，4） T 可以由 1，
17、 2， 3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=1 有解， 2=（0，1，2） T 不可以由 1， 2， 3 线性表示，则方程组 x11+x22+x33=2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即因此可知，当 a=一 1 时，方程组 x11+x22+x33= 有解，方程组x11+x22+x33=2 无解，故 a=一 1。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 3【试题解析】 n 元线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r（A）= ，而有无穷多解的充分必要条件是 r（A）= n，对增广矩阵作初等行变换，有由于 r（A）=2 ，所以 62a=0，即
18、a=3。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 k（13，一 3，1，5） T，k 为任意常数【试题解析】 方程组（2）的通解一定会在方程组（1）的通解之中，且是方程组（1）的通解中满足（2）中第三个方程的解，将（1）的通解代入（2）的第三个方程，得（2k 1+3k2）一 2（一k1+2k2）+0k 2+k1=0，即 5k1=k2，将其代入（1）的通解中，得方程组（2）的通解为 5k2（2，一 1，0，1） T+k2（3，2，1，0） T=k2（13，一 3，1，5） T，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 5【试题解析】 已知各行元素的和都是 5，即 化为矩阵形式
19、，可得 满足 故矩阵 A 一定有一个特征值为 5。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 1，7，7【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式可得矩阵 A 的特征值为7，1，1。所以|A|=711=7 。如果 A=，则有 A*= 因此 A*的特征值是1，7，7。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 z 12+z22 一 z32【试题解析】 二次型的矩阵 特征多项式所以矩阵 A 的特征值是 2，6，一 4，即正交变换下的二次型的标准形是 2y12+6y22 一 4y32，因此其规范形是 z12+z22 一 z32。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【
20、正确答案】 令 则将该行列式按第一行展开得再将上式中后面的 n 一 1 阶行列式按照第一列展开得 Dn=（+）D n1 一 Dn2，则 Dn 一Dn1=（D n1Dn2） =2（D n2Dn3）= n2（D 2 一 D1）= n2（ 2+2）一 （+）= n，即 D n 一 Dn1=n， （1）类似地，有 D n 一Dn1=n， （ 2）（1） 一（2） 可得（ 一 ）D n=n+1 一 n，所以 Dn=【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 AB=AB 可得 E+ABAB=E，即（E+A ）（E B）=E，这说明 E+A 与 EB 互为逆矩阵，所以（ E 一 B）（E+A）=E，将括号
21、展开得BA=AB，从而可得 AB=BA，即 A，B 满足乘法交换律。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 （）由于 1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 表示，且由|1， 2， 3|=10，知 1， 2， 3 线性无关，所以， 1， 2， 3 线性相关，即|1， 2， 3|= =a 一 5=0，解得 a=5。（）本题等价于求三阶矩阵 C，使得（ 1， 2， 3）=（ 1， 2， 3）C。所以 C=（ 1， 2， 3） 1（ 1， 2， 3）=因此（ 1， 2， 3）=（ 1， 2， 3）所以 1=21+42 一 3， 2=1+22， 3=51+10223。【知识模块】 线性代数24 【正
22、确答案】 由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式|A|=D n=（n+1）an。（）当 a0 时，D n0，方程组有唯一解。将 A 的第一列换成 b，得行列式为= Dn1=nan1，所以由克拉默法则得 x1= （）当 a=0 时，方程组为此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n1，所以方程组有无穷多解，其通解为 x=（0，1，0） T+k（1，0，0）T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 （）对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换，有则 nr（A）=42=2，基础解系由两个线性无关的解向量构成。取 x3，x 4 为自由变量，得 1=（5，一 3，1，0）T， 2=
23、（一 3，2，0，1） T 是方程组（1）的基础解系。（）设 是方程组（1）与（2）的非零公共解，则 =k11+k22=l11+l22，其中 k1，k 2 与 l1，l 2 均是不全为0 的常数。由 k11+k22 一 l11l22=0，得齐次方程组对方程组（3）的系数矩阵作初等行变换，有当 a一 1 时，方程组（3）的系数矩阵变为 可知方程组（3）只有零解，即 k1=k2=l1=l2=0，于是 =0，不合题意。当 a=一 1 时，方程组（3）系数矩阵变为解得 k1=l1+4l2，k 2=l1+7l2。于是 =（l 1+4l2） 1+（l 1+7l2）2=l11+l22。所以当 a=一 1 时
24、，方程组（1）与（2）有非零公共解，且公共解是l1（2，一 1，1，1） T+l2（一 1，2，4，7） T，l 1，l 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=。由于|A|=70，所以 0。又因 A*A=|A|E，故有 A*= 于是有 B（P 1）=P 1A*P（P 1）= （P 1），（B+2E）P 1=（ +2）P 1。因此， +2为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为 P1。由于=（ 一 1） 2（ 一 7），故 A 的特征值为1=2=1， 3=7。当 1=2=1 时，对应的线性无关的两个特征向量可取为 1=当 3=
25、7 时，对应的一个特征向量可取为 3=因此，B+2E的三个特征值分别为 9，9，3。对应于特征值 9 的全部特征向量为 k1P11+k2P12=k1 其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数；对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3P13=k3 ，其中 k3 是不为零的任意常数。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值，（0 ）是属于特征值 的特征向量，则 A=，于是 An=n。用 右乘 A4+2A3+A2+2A=0，得（ 4+23+2+2）=0。因为特征向量 0，故 4+23+2+2=（+2）（ 2+1）=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征
26、值是 0 或一 2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r（A）=r（）=2，所以 A 的特征值是 0，一 2，一 2。因 A ，则有 A+E+E= 所以 r（A+E）=r（+E）=3 。【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P1AP=B，则|E一 B| =|EP1AP|=|P1AEPP1AP|=|P1（EA ）P| =|p 1|EA |P|=|E 一A|。所以 A、B 的特征多项式相等。（）令 那么|E 一A|=2=|EB|。但是 A，B 不相似。否则，存在可逆矩阵 P，使 P1AP=B=D，从而 A：POP 1=D 与已知矛盾。也可从 r
27、（A）=1，r（B）=0，知 A 与 B 不相似。（）由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n，则有所以存在可逆矩阵 P，Q ，使 P1AP=Q1BQ。因此有（PQ 1） 1A（PQ 1）=B，矩阵 A 与 B 相似。【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 二次型 xTAx 的秩为 2，即 r（A）=2，所以 =0 是 A 的特征值。所以 3 是 A 的特征值，（1，2，1） T 是与 3 对应的特征向量；一 1 也是 A 的特征值，（1，一 1，1） T 是与一 1 对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相
28、互正交，设 =0的特征向量是（x 1，x 2，x 3） T，则有（x 1，x 2，x 3） =0，（x 1，x 2，x 3）由方程组 解出 =0 的特征向量是（1，0，一 1） T。因此 xT= （x 12+10x22+x32+16x1x2+2x1x3+16x2x3），令 则经正交变换 x=Qy，有 xTAx=yTy=3y12 一 y32。【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 （）由（）中结果知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因 D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 B 一 CTA1C 是对称矩阵。对 m 维零向量 x=（0，0， ，0） T 和任意 n 维非零向量 y=（y 1，y 2，y n） T，都有 可得 y T（B 一 CTA1C）y0，依定义，y T（B 一 CTA1C）y 为正定二次型，所以矩阵 B 一 CTA1C 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
