1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 105 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 ，矩阵 B 满足 AB+B+A+2E=O，则|B+E|=（ ）（A）一 6（B） 6（C）（D）2 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ）3 设 A，B 均为二阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，若|A|=2 ，|B|=3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）4 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则（ ）（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系依 C
2、而定5 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（B） 1 一 2， 2+3， 3+1（C） 1+2，3 1 一 52，5 1+92（D） 1+2， 21+32+43， 12236 设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）（A）若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价（B）若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价（C）若 B=PAQ，则 A 的行（列）向量组与 B 的行（列）向量组等价（D）若 A 的行（列）向量组与矩阵 B 的行（列）向量组等价，则矩阵
3、 A 与 B 等价7 某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 则自由变量可取为x 4，x 5； x3，x 5；x 1，x 5；x 2，x 3。那么正确的共有（ ）（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个8 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则 r（A）r（B）；若 r（A）r（B），则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r（A）=r（B）；若 r（A）=r（B），则 Ax=0（A）（B） （C） （D）9 已知 =（1，一 2，3） T 是矩
4、阵 的特征向量，则（ ）（A）a= 一 2，b=6（B） a=2，b=一 6（C） a =2，b=6（D）a= 一 2，b=一 610 已知 A 是四阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 A*的特征值是 1，一 1，2，4，那么不可逆矩阵是（ ）（A）AE（B） 2AE（C） A+2E（D）A 一 4E11 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）12 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是（ ）（A）二次型 xTAx 的负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P 使 P1AP=E（C）存在 n 阶矩阵 C 使 A=C1C（D）A 的伴随矩阵 A*与 E 合同二、填空题13 设 A 为奇数阶矩阵
5、，且 AAT=ATA=E。若|A|0 ，则|AE|=_。14 设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A=，则（B 一 2E） 1=_。15 设 r（A）=2 ，则 a=_。16 设 1=（6，一 1，1） T 与 2=（一 7，4，2） T 是线性方程组的两个解，则此方程组的通解是_。17 已知矩阵 和对角矩阵相似，则 a=_。18 已知 有三个线性无关的特征向量，则 x=_。19 设 f=x12+x22+5x32+2ax1x22x1x3+4x2x3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 已知 求 An
6、。21 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。 （）证明 B 可逆； （）求 AB1。22 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数后，使线性方程组 Akx=0 有解向量 ，且 Ak10。证明：向量组 ，A，A k1是线性无关的。23 设向量组 1， 2 线性无关，向量组 1+b， 2+b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 1， 2 线性表示。24 设 （）求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量 2， 3；（）对（）中任意向量 2 和 3，证明 1， 2， 3 线性无关。25 设矩阵 A=（ 1， 2， 3， 4），其中 2， 3， 4 线性
7、无关， 1=22 一 3，向量b=1+2+3+4，求方程组 Ax=b 的通解。26 设矩阵 A 与 B 相似，且 求可逆矩阵 P，使P1AP=B。27 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若1=（1，1，0） T， 2=（ 2，1，1） T， 3=（一 1，2，一 3） T 都是 A 属于 =6的特征向量，求矩阵 A。28 某试验性生产线每年 1 月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐。新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年 1 月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 x
8、n 和 yn，记成向量 （）求 的关系式并写成矩阵形式： （）验证 1= 是 A 的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值；29 已知 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=x T（A TA）x 的秩为 2。（）求实数 a 的值；（ ）求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。考研数学三（线性代数）模拟试卷 105 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 化简矩阵方程，构造 B+E，用因式分解法，则有 A（B+E）+（B+E）=一 E，即（A+E）（B+E）=一 E，两边取行列式，由行列式乘法公式得|A+E|.|B+E|=1
9、，因此选 C。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 |AB|=|A|B|=0，故有|A|=0 或|B|=0，反之亦成立，故应选 C。取则 AB=O，但 AD，BO ，选项 A 不成立。取选项 B 不成立。取选项 D 不成立。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 若矩阵 A 的行列式|A|0，则 A 可逆，且 A1= A*。因为分块矩阵 的行列式 =（一 1） 22|A|B|=23=6，即分块矩阵可逆，所以所以应选 B。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵等
10、价的定义可知，矩阵 B 与 A 等价，从而 r（B）=r（A ）。所以应选 C。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 通过已知选项可知（ 1 一 2）+（ 2 一 3）+ （ 3 一 1）=0，（ 1一 2）+（ 2+3）一（ 3+1）=0 ，因此选项 A、B 中的向量组均线性相关。对于选项 C，可设 1=1+2， 2=31 一 52， 3=51+92，即 1， 2， 3 三个向量可由1， 2 两个向量线性表示，所以 1， 2， 3 必线性相关，即 1+2，3 1 一52，5 1+92 必线性相关。因而用排除法可知应选 D。利用矩阵运算。选项 A 中，（ 1 一 2， 2 一
11、 3， 3 一 1）=（ 1， 2， 3） 因为所以 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1 线性相关。同理，可知选项B 和 C 中的向量组也线性相关。选项 D 中的向量组线性无关。故选 D。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=（ 1， 2， n），B=（ 1， 2， n），则有（ 1， 2， n）=（ 1， 2， n）表明向量组 1， 2， n 可由向量组 1， 2， n 线性表示。由于 Q 可逆，从而有 A=BQ1，即（ 1， 2， n）=（ 1， 2， ， n）Q 1，表明向量组 1， 2， ， n 可由向量组1， 2
12、， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确。类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B的命题正确。下例可表明选项 C 的命题不正确。但 B 的行（列）向量组与 A 的行（列）向量组不等价。对于选项 D，若 A 的行（列）向量组与 B 的行（列）向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵A 与 B 的秩相同，故矩阵 A 与 B 等价（两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等）。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 因为系数矩阵的秩 r（A）=3，则 nr（A ）=53=2 ，故应当有两个自由变量。由于去掉
13、 x4，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 因为其秩与 r（A）不相等，故 x4，x 5 不是自由变量。同理，x 4，x 5 不能是自由变量。而x1，x 5 与 x2，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 都不为 0。所以应选 B。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 由于线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以， 显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B。下面证明， 正确：对于，由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知，方程组 Bx=0 含于 Ax=0 之中。从而Ax=0 的有效方程的个数（即
14、 r（A）必不少于 Bx=0 的有效方程的个数（即r（B），故 r（A）r（ B）。对于，由于 A，B 为同型矩阵，若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则其解空间的维数（即基础解系包含解向量的个数）相同，即 n 一 r（A ）=n 一 r（B），从而 r（A）=r（b）。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 设 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，按定义有即有 所以 =一 4，a=一 2，b=6，故应选 A。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A*的特征值是 1，一 1，2，4，所以 |A*|=一 8，又|A *|=|A|41，因此|A| 3=一 8
15、，于是|A|=一 2。那么，矩阵 A 的特征值是：一 2，2，一 1， 。因此，AE 的特征值是一 3，1，一 2， 因为特征值非零，故矩阵 A 一 E 可逆。同理可知，矩阵 A+2E 的特征值中含有 0，所以矩阵 A+2E 不可逆。所以应选C。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化。选项 B 是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化。选项 C 是秩为 1 的矩阵，由 |EA|=3 一 42，可知矩阵的特征值是 4，0，0。对于二重根 =0，由秩 r（0E 一 A）=r
16、（A ）=1 可知齐次方程组（0E A）x=0 的基础解系有 31=2 个线性无关的解向量，即 =0 时有两个线性无关的特征向量，从而矩阵必可以相似对角化。选项 D 是上三角矩阵，主对角线上的元素 1，1，一 1 就是矩阵的特征值，对于二重特征值 =1，由秩可知齐次线性方程组（E 一 A）x=0 只有 32=1个线性无关的解，即 =1 时只有一个线性无关的特征向量，故矩阵必不能相似对角化，所以应当选 D。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是必要不充分条件。这是因为 r（A ）=p+qn ，当 g=0 时，有 r（A）=pn。此时有可能 pn，故二次型 xTAx
17、 不一定是正定二次型。因此矩阵 A 不一定是正定矩阵。例如 f（x 1，x 2，x 3）=x 12+5x32。选项 B 是充分不必要条件。这是因为 P1AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的。选项 C 中的矩阵 C 没有可逆的条件，因此对于 A=CTC 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论。例如 显然矩阵不正定。关于选项 D，由于 A 正定 A1 正定 A*正定 A*与 E 合同，所以 D 是充分必要条件。【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】
18、 0【试题解析】 |AE|=|A AAT|=|A（EA T）|=|A|EA T|=| A|EA| 。 由AAT=ATA=E，可知|A| 2=1，因为|A|0，所以|A|=1 ，即|AE|=|E A|。 又 A 为奇数阶矩阵，所以|E A|=|一（A 一 E）|= 一|A E I=一|EA|，故|A E|=0。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B 一 2E，于是有 AB 一 2A 一 3B+6E=6E，则有（A 一 3E）（B 一 2E）=6E。从而（B 一 2E） 1=【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 0【试题
19、解析】 对 A 作初等行变换，则有当 a=0 时，r（A ）=2。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 （6，一 1，1） T+k（13，一 5，一 1） T，k 为任意常数【试题解析】 一方面因为 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，所以一定有 r（ A）= 3。另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式所以一定有 r（A）2，因此必有 r（A）= =2。由 nr（A）=32=1 可知，导出组 Ax=0 的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知 12=（6，一 1，1） T 一（一 7，4，2） T=（13，一 5，一 1） T。是导出组Ax=0 的非零解，即基础
20、解系，则方程组的通解为 x=（6，一 1，1） T+k（13，一5，一 1） T，k 为任意常数。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 一 2【试题解析】 因为 所以矩阵 A 的特征值分别为 2，3，3。因为矩阵 A 和对角矩阵相似，所以对应于特征值3 有两个线性无关的特征向量，即（3E 一 A）x=0 有两个线性无关的解，因此矩阵3E 一 A 的秩为 1。 可见 a=一 2 。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 的特征方程 =（ 一 1）（ 2 一1）=0 ，可得 A 的特征值是 =1（二重），= 一 1。因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =1 必有
21、两个线性无关的特征向量，因此 r（EA ）=32=1 ，根据【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 二次型的矩阵为 其各阶主子式为因为 f 为正定二次型，所以必有 1 一 a20 且一 a（5a+4）0，因此 a0。故当 a0 时，A 正定，从而 f 正定。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 将矩阵 A 分块，即将 B 改写成 B=3E+P，于是 Bn=（3E+P） n=3nE+Cn13n1P+Cn23n2P2，其中Pi=O（i=3， 4，n）。将 C 改写成（31），则 C2=6C，C n=6n1C，所以【知识模块】 线
22、性代数21 【正确答案】 （）设 E（i，j）是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有 B=E（i，j）A，因此有|B|=|E（i，j ）|A|=一|A|0，所以矩阵B 可逆。 （）AB 1=AE（i，j）A 1=AA1E1（i，j ）=E 1（i，j ）=E（i，j）。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设有常数 0， 1， k1，使得 0+1A+ k1Ak1=0， 则有 A k1（ 0+1A+ k1Ak1）=0 ， 从而得到 0Ak1=0。由题设 Ak10，所以 0=0。 类似地可以证明 1=2= k1=0，因此向量组，A， Ak1是线性无关的。【知识模
23、块】 线性代数23 【正确答案】 因为 1， 2 线性无关， 1+b， 2+b 线性相关，所以 b0，且存在不全为零的常数 k1，k 2，使 k1（ 1+b）+k 2（ 2+b）=0，则有（k 1+k2）b=一 k11 一k22。又因为 1， 2 线性无关，若 k11+k22=0，则 k1=k2=0，这与 k1，k 2 不全为零矛盾，于是有 k11+k220，（k 1+k2）b0。综上 k1+k20，因此由（k 1+k2）b=一k1 一 k22 得 2，k 1，k 2R，k 1+k20。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 （）对增广矩阵（A| 1）作初等行变换，则得 Ax=0 的基础解系
24、（1，一 1，2） T 和 Ax=1 的特解（0，0，1） T。故 2=（0，0，1） T+k（1，一 1，2） T其中 k 为任意常数。 对增广矩阵（A 2|1）作初等行变换，有得 A2x=0 的基础解系（一1，1，0） T，（0，0，1） T 和 A2x=1 的特解（ ，0，0） T 故3=（ ，0，0） T+t1 （一 1，1，0） T+t2（0，0，1） T，其中 t1，t 2 为任意常数。（）因为| 1， 2， 3|= 所以 1， 2， 3 线性无关。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 已知 2， 3， 4 线性无关，则 r（A）3。又由 1， 2， 3 线性相关可知 1， 2
25、， 3， 4 线性相关，故 r（A）3。终上所述，r（A ）=3 ，从而原方程组的基础解系所含向量个数为 43=1。又因为 1=22 一 3 1 一22+3=0 （ 1， 2， 3， 4） 所以 x=（1，一 2，1，0） T 是方程组Ax=0 的基础解系。又由 b=1+2+3+4 可知 x=（1，1，1，1） T 是方程组 Ax=b 的一个特解。于是原方程组的通解为 x=（1，1，1，1） T+c（1，一 2，1，0） T， cR。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 A 一 B 有 于是得 a=5，b=6。且由AB，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1=2=2，
26、 3=6。当 =2时，解齐次线性方程组（2E 一 A）x=0 得到基础解系为 1=（1，一 1，0）T， 2=（1，0，1） T，即属于 =2的两个线性无关的特征向量。当 =6时，解齐次线性方程组（6EA）x=0，得到基础解系是（1，一 2，3） T，即属于 =6的特征向量。令 P=（ 1， 2， 3）= 则有 P1AP=B。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 r（A）=2 知，|A|=0，所以 =0是 A 的另一特征值。因为1=2=6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6的线性无关的特征向量有两个，因此 1， 2， 3 必线性相关，显然 1， 2 线性无关。设矩阵 A 属于
27、 =0的特征向量 =（x 1，x 2，x 3） T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解得此方程组的基础解系 =（一 1，1，1） T。根据A（ 1， 2， ）=（6 1，6 2，0）得 A=（6 1，6 2，0）（ 1， 2， 3） 1【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）由题意得 化成矩阵形式为可见 （）因为行列式| 1， 2= =50，所以 1， 2 线性无关。又 A1= =1，故 1 为 A 的特征向量，且相应的特征值 1=1。A 2= 2，故 2 为 A 的特征向量，且相应的特征值 2= 。【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 （）A TA= 由 r（A TA）=2 可得|A TA|=（a+1） 2（a 2+3）=0，所以 a=一 1。（）由（）中结果，令矩阵 解得矩阵 B的特征值为 1=0， 2=2， 36。由（ iEB）x=0 ，得对应特征值 1=0， 2=2， 3=6的特征向量分别为 1=（一 1，一 1，1） T， 2=（一 1，1，0） T， 3=（1，1，2）T。将 1， 2， 3 单位化可得： 令 Q=（ 1， 2， 3）= 则正交变换 X=Qy 可将原二次型化为2y22+6y32。【知识模块】 线性代数
