1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 106 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有（ ）（A）|A+B|=|A|+|B|（B） AB=BA（C） |AB|=|BA|（D）（A+B ） 1=A1+B12 设 A 是三阶矩阵，其中 a110，A ij=aij（i=1，2， 3，j=1 ，2，3），则|2A T|=（ ）（A）0（B） 2（C） 4（D）83 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则（ ）（A）r（A）=m，r（B）=m（B） r（A）=m，r（B）=n（C） r（A）=n，r（B） =m
2、（D）r（A）=n，r（B） =n4 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组（ ）（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关（B） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关（D） 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关5 已知 1=（1，1，一 1） T， 2=（1，2，0） T 是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中 Ax=0 的解向量是（ ）（A）（1，一 1，3） T（B）（ 2，1，一 3） T（C）（ 2，2，一 5） T（D）（2，一 2，6）
3、T6 设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组（1）Ax=0 和（2）ATAx=0，必有（ ）（A）（1）的解是（2）的解，（2）的解也是（1 ）的解（B）（ 1）的解是（2）的解，（2）的解不是（1）的解（C）（ 2）的解是（1）的解，（1）的解不是（2）的解（D）（2）的解不是（1）的解，（1）的解也不是（ 2）的解7 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵（P 1AP） T 属于特征值 的特征向量是（ ）（A）P 1（B） PT（C） P（D）（P 1） T8 已知 A 是 n 阶可逆矩
4、阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是（ ）（A）A T（B） A2（C） A1（D）AE9 已知三阶矩阵 A 的特征值为 0，1，2。设 B=A3 一 2A2，则 r（B）=（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）不能确定10 关于二次型 f（x 1，x 2，x 3）=x 12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是（ ）（A）是正定的（B）其矩阵可逆（C）其秩为 1（D）其秩为 211 已知实二次型 f=（a 11x1+a12x2+a13x3） 2+（a 21x1+a22x2+a23x3）2+（a 31x1+a32x2+a33x3） 2 正定，矩阵 A=（a i
5、j） 33，则（ ）（A）A 是正定矩阵（B） A 是可逆矩阵（C） A 是不可逆矩阵（D）以上结论都不对二、填空题12 设三阶行列式 D3 的第二行元素分别为 1、一 2、 3，对应的代数余子式分别为一3、2、1，则 D3=_。13 设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=AB，其中 ，则|A+E|=_。14 设 且 A， B，X 满足（EB 1A）TBTX=E，则 X1=_。15 设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r（A）=2，而 B= 则 r（AB） =_。16 已知向量组 1=（1，2，一 1，1） T， 2=（2，0，t ，0） T， 3=（0，一4，5，t） T 线性无关，则 t
6、的取值范围为_。17 设 A*是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_。18 已知矩阵 只有一个线性无关的特征向量，那么 A 的三个特征值是_。19 设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为1， 2， 3，令 P=（3 3， 1，2 2），则 P1AP=_。20 设 A 是三阶实对称矩阵，满足 A3=2A2+5A 一 6E，且 kE+A 是正定阵，则 k 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知 且 AX+X+B+BA=0，求 X2006。22 设 A=（ 1， 2， 3）为三阶矩阵，且|A|=1。已知 B=（ 2， 1，2
7、3），求B*A。23 已知 A 是三阶矩阵， i（i=1，2，3）是三维非零列向量，令 =1+2+3。若Ai=ii（i=1，2，3），证明：，A，A 2 线性无关。24 设向量组 1， 2， m 线性相关，且 10，证明存在某个向量 k（2km），使 k 能由 1， 2， k1 线性表示。25 设 已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解。（）求 ，a；（）求方程组 Ax=b 的通解。26 已知方程组 的一个基础解系为（b 11，b 12，b 1，2n ） T，（b 21，b 22，b 2，2n ）T， ，（b n1，b n2，b n，2n ） T。试写出线性方程组的通解，并说明理由。27
8、设矩阵 的特征值有一个二重根，求 a 的值，并讨论矩阵 A 是否可相似对角化。28 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=（一 1，2，一 1）T， 2=（0，一 1，1） T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 （）求 A 的特征值与特征向量； （）求正交矩阵 Q 和对角矩阵 ，使得 QTAQ=。29 设二次型 f（x 1，x 2，x 3）=2（a 1x1+a2x2+a3x3） 2+（b 1x1+b2x2+b3x3） 2，记（）证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T；（）若 ，正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。考研数学三（线性代数）模拟
9、试卷 106 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为|AB|=|A |B|=|B|A|=|BA|，所以 C 正确。 取 B=一 A，则|A+|B|=0，而 |A|+|B|不一定为零，故 A 错误。 由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确。 因（A+B ）（A 1+B1）E，故 D 也不正确。 所以应选 C。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 |2A T|=23|AT|=8|A|，且由已知故A*=AT。又由 AA*=AAT=|A|E，两边取行列式，得|AA T|=|A|2=|A|E|=|A|3，即|A|2（
10、|A|1）=0，又 a110，则|A|=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320，故|A|=1，从而|2A T|=8，所以应选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AB=E，所以 r（AB）=m。又 r（AB）=mminr （A ），r（B） ，即 r（A）m，r（B）m，而 r（A）m ，r （B）m，所以 r（A）=m，r（B）=m。故选 A。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，所以由向量组 1， 2， 3， 4到向量组 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 的
11、过渡矩阵 即（ 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1）=（ 1， 2， 3， 4）A 。由于|A|=20，所以过渡矩阵 A 可逆，故向量组 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关。所以选 C。类似地，可以判断其他三个选项中的过渡矩阵均不可逆，所以选项 A，B ，D 中的向量组均线性相关。排除法通过观察可知（ 1 一 2） +（ 2 一 3）+ （ 3 一 4）+（ 4 一 1） =0，（ 1+2）一（ 2+3）+（ 3+4）一（ 4+1）=0，（ 1+2）一（ 2+3）+（ 3 一 4）+（ 4 一 1）=0，即选项 A，B，D 中的向量组均线性相关，所以选 C。【知识模块】
12、线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 如果 A 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解。因此选项A、D 均不是 Ax=0 的解。由于 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=0 的任何一个解 均可由 1， 2 线性表示，也即方程组 x11+x22= 必有解，而可见第二个方程组无解，即（2，2，一 5） T 不能由 1， 2 线性表示。所以应选 B。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 如果 是（ 1）的解，有 A=0，可得 ATA=AT（A）=A T0=0，即 是（2）的解。故（1）的解必是（ 2）的解。反之，若 是（2）的解，有ATA=0，用
13、T 左乘可得 0=T0=T（A TA）=（ TAT）（A）= （A） T（A），若设 A=（b 1，b 2， bn），那么（A） T（A）=b12+b22+bn2=0 bi=0（i=1，2，n ），即 A=0，说明 是（1）的解。因此（2）的解也必是（1）的解。所以应选 A。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 设 是矩阵（ PTAP） T 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵 AT=A，有 （P 1AP） T=，即 PTA（P 1） T=。 把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到 A=，可得选项 B 正确，即 左端=P TA（P 1）T（P T）=P TA
14、=PT=PT=右端。 所以选 B。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 由于|E 一 AT|=|（EA） T|=|EA|，A 与 AT 有相同的特征多项式，所以 A 与 AT 有相同的特征值。 由 A=，0 可得到 A 2=2，A 1=1，（AE ） =（ 一 1）， 说明 A2、A 1、AE 与 A 的特征值是不一样的（但 A 的特征向量也是它们的特征向量）。所以应选 A。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 必能相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 P1AP= 于是 P1BP=P1（A 3 一 2A2）P=P
15、1A3P 一 2P1A2P=（P 1AP） 3 一 2（P 1AP） 2则矩阵 B 的三个特征值分别为 0，0，一1，故 r（B）=1。所以选 A。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 二次型的矩阵 所以 r（A）=1 ，故选项C 正确，而选项 A，B，D 都不正确。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B【试题解析】 f=（a 11x1+a12x2+a13x3） 2+（a 21x1+a22x2+（a 23x3）2+（ a31x1+a32x2+a33x3） 2 =xTAx=（Ax） T（Ax）。 因为实二次型 f 正定，所以对任意 x0，f 0 的充要条件是 Ax0，即
16、齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 A 是可逆矩阵。所以选 B。【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 一 4【试题解析】 根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D 3=a21A21+a22A22+a23A23=1（一 3）+ （一 2）2+31=一 4。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 由题设，AB=AB，则（A+E ）（EB）=E，因此【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 由（EB 1A） TBTX=E，得B（E 一 B1A） TX=E，即（B 一A） TX=E，因此 X1=（BA） T=
17、【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2【试题解析】 因为 所以矩阵 B 可逆，因此r（AB ）=r （A ）=2 。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 （一，+）【试题解析】 由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析。令 A=（ 1， 2， 3）=则对任意的 t，r（A ）=3是恒成立的，即向量组线性无关。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 k 1（1，4，7） T+k2（2，5，8） T，k 1，k 2 为任意常数【试题解析】 因为矩阵 A 的秩是 2，所以A|=0，且 r（A *）=l。再由A*A=|A|E=
18、O 可知 A 的列向量为 A*x=0 的解，因此 A*x=0 的通解是 k1（1，4，7）T+k2（2，5，8） T，k 1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 2，2，2【试题解析】 因为矩阵 A 只有一个线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。由主对角元素的和等于所有特征值的和可知 1+2+3=3，故 1=2=3=2。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 因为 31， 2，2 3 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以【知识模块】 线性代数20 【
19、正确答案】 k2【试题解析】 根据题设条件，则有 A3 一 2A25A+6E=0。设 A 有特征值 ，则 满足条件 3 一 22 一 5+6=0，将其因式分解可得 3 一 22 一 5+6=（ 一 1）（+2）（ 一 3）=0， 因此可知矩阵 A 的特征值分别为 1，一 2，3，故 kE+A 的特征值分别为 k+1，k 一 2，k+3，且当 k2 时，kE+A 的特征值均为正数。故k2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 由 AX+X+B+BA=0 可得（A+E ） X=一 B（E+A），而 A+E 可逆的，所以 X=一（A+E） 1B（
20、E+A），故 X2006=（A+E） 1B2006（E+A）=（A+E ） 1（E+A）=E。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 根据题意可知 B=（ 1， 2， 3） 其中则|P|=一 2 且 P1= 所以|B|=|A|P|=一 2。于是B*A=|B|B 1A=一 2P1（A 1A）= 一 2P1=【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 Ai=ii（i=1，2，3），且 i（i=1 ，2，3）非零可知，1， 2， 3 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，故 1， 2， 3 线性无关。又A=1+22+33，A 2=1+42+93，所以（，A，A 2）=（ 1， 2， 3）=（
21、1， 2， 3）P，而矩阵 P 是范德蒙德行列式，故|P|=20，所以，A，A 2 线性无关。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1， 2， m，使 11+22+ mm=0。因 1， 2， m 不全为零，所以必存在 k，使得 k0，且 k+1= m=0。当 k=1 时，代入上式有 11=0。又因为10，所以 1=0，与假设矛盾，故 k1。当 k0 且 k2 时，有 k=k1，k1，因此向量 k 能由 1， 2， k1 线性表示。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 （）因为线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，所以 r
22、（A）=n。于是 =（+1）（ 一 1） 2=0。解得 =1 或 =一1。当 =1 时，r（A）=1， =2，此时线性方程组无解。当 =一 1 时，若 a=一 2，则 r（A ）= =2，方程组 Ax=b 有无穷多解。故 =一 1，a=一 2。（）当 =一 1，a=一 2 时，所以方程组 Ax=b 的通解为 +k（1，0，1）T，其中 k 是任意常数。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由题意可知，线性方程组（2）的通解为 y=c1（ 11， 12， 1，2n ） T+c2（ 21， 22， 2，2n ）T+cn（ n1， n2， n，2n ） T， 其中 c1，c 2，c n 是任意的
23、常数。 这是因为：设方程组（1）和（2）的系数矩阵分别为 A，B，则根据题意可知 ABT=O，因此 BAT=（AB T） T=O， 可见 A 的 n 个行向量的转置为（ 2）的 n 个解向量。 由于 B的秩为 n，所以（2）的解空间的维数为 2nr（B）=2nn=n，又因为 A 的秩等于2n 与（1）的解空间的维数的差，即 n，因此 A 的 n 个行向量是线性无关的，从而它们的转置向量构成（2）的一个基础解系。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为 =（一 2）（ 28+18+3a）。如果 =2 是单根，则 2 一 8+18+3a 是完全平方，必有18+3a=16，
24、即 a= 。则矩阵 A 的特征值是 2，4，4，而 r（4E 一 A）=2，故 =4只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化。如果 =2 是二重特征值，则将 =0 代入 2 一 8+18+3a=0 可得 a=一 2。于是 2 一 8+18+3a=（ 一 2）（一 6）。则矩阵 A 的特征值是 2，2，6，而 r（2EA ）=1，故 =2 有两个线性无关的特征向量，从而 A 可以相似对角化。【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有则 =3 是矩阵 A 的特征值，=（1，1，1） T 是对应的特征向量。对应 =3 的全部特征向量为 k=
25、k（1，1，1） T，其中 k 是不为零的常数。又由题设知 A1=0，A 2=0，即 A1=0 1，A 2=0 2，而且 1， 2 线性无关，所以=0 是矩阵 A 的二重特征值， 1， 2 是其对应的特征向量，因此对应 =0 的全部特征向量为 k11+k22=k1（一 1，2，一 1） T+k2（0，一 1，1） T，其中 k1，k 2 是不全为零的常数。（）因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1， 2 正交，只需将 1 与 2正交化。由施密特正交化法，取 1=1， 2=2 一 再将， 1， 2 单位化，得令Q=（ 1， 2， 3），则 Q1=QT，且【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 （
26、）f（x 1，x 2，x 3）=2（a 1x1+a2x2+a3x3） 2+（b 1x1+b2x2+b3x3）2=2（x 1，x 2， x3） （a 1，a 2，a 3） +（x 1，x 2，x 3） （b 1，b 2，b 3）=（ x1， x2，x 3）（2 T） +（x 1，x 2，x 3）（ T） =（x 1，x 2，x 3）（2 T+T） 所以二次型 f 对应的矩阵为 2T+T。（）设 A=2T+T，由于|=1， T=T=O，则 A=（2 T+T）=2| 2+T=2，所以 为矩阵对应特征值 1=2 的特征向量；A=（2 T+T）=2 T+|2=，所以 为矩阵对应特征值 2=1 的特征向量。而矩阵 A 的秩 r（A）=r（2 T+T）r（2 T）+r（ T）=2，所以 3=0 也是矩阵的一个特征值。故 f 在正交变换下的标准形为2y12+y22。【知识模块】 线性代数
