1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 107 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A=E 一 2T，其中 =（x 1，x 2，x n） T，且有 T=1。则 A 是对称矩阵；A2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是（ ）（A）A T（B） A2（C） A*（D）2A3 若 1， 2 线性无关， 是另外一个向量，则 1+ 与 2+（ ）（A）线性无关（B）线性相关（C）既线性相关又线性无关（D）不确定4 设 方程组 Ax=0
2、有非零解。 是一个三维非零列向量，若 Ax=0的任一解向量都可由 线性表出，则 a=（ ）（A）1（B）一 2（C） 1 或一 2（D）一 15 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组（1）A nx=0 和（2）A n+1x=0，现有四个命题： （ 1）的解必是（ 2）的解； （2）的解必是（ 1）的解； （1）的解不是（2）的解； （2）的解不是（ 1）的解。 以上命题中正确的是（ ）（A）（B） （C） （D）6 已知三阶矩阵 A 与三维非零列向量 ，若向量组 ，A，A 2 线性无关，而A3=3A 一 2A2，那么矩阵 A 属于特征值 A=一 3 的特征向量是（ ）（A）（B） A+2
3、（C） A2 一 A（D）A 2+2A 一 37 设 A 是 n 阶矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，n 维列向量 是矩阵 A 的属于特征值 的特征向量，那么在下列矩阵中A 2； P1AP；A T； 肯定是其特征向量的矩阵个数为（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 A 是三阶矩阵，其特征值是 1，3，一 2，相应的特征向量依次是 1， 2， 3，若 P=（ 1，2 3， 2），则 P1AP=（ ）9 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=x 12+5x22+x32 一 4x1x2+2x2x3 的标准形可以是（ ）（A）y 12+4y22（B） y126y22+2y32（C） y12 一
4、 y22（D）y 12+4y22+y3210 下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是（ ）（A）A 1 正定（B） A 没有负的特征值（C） A 的正惯性指数等于 n（D）A 合同于单位矩阵二、填空题11 已知三阶行列式 =_。12 已知 A 为三阶方阵，A 2 一 A 一 2E=0，且 0|A|5，则|A+2E|=_ 。13 设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T= ，则T=_。14 设 A*为 A 的伴随矩阵，则（A *） 1=_。15 已知 则秩 r（AB+2A）=_。16 已知向量组 1= 的秩为 2，则 t=_。17 设 A*是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0
5、 的通解是_。18 已知矩阵 有两个线性无关的特征向量，则 a=_。19 设 x 为三维单位列向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵 E 一 xxT 的秩为_。20 设 =（1，0，1） T，A= T，若 B=（kE+A ） *是正定矩阵，则 k 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2x 线性无关，且满足 A3x=3Ax一 2A2X。 （）记 P=（ x，Ax，A 2x）。求三阶矩阵 B，使 A=PBP1； （）计算行列式|A+E|。22 设 问 k 为何值，可使：（）r（A）=1；（）r（A ）=2；（ ）r
6、（A）=3。23 已知 m 个向量 1， m 线性相关，但其中任意 m 一 1 个向量都线性无关，证明：（）如果等式 k11+kmm=0 成立，则系数后 k1，k m 或者全为零，或者全不为零；（）如果等式 k11+kmm=0 和等式 l11+lmm=0 都成立，则其中 l10。24 设非齐次线性方程组 Ax=b 的系数矩阵的秩为 r， 1， nr+1，是它的 n 一r+1 个线性无关的解。试证它的任一解可表示为 x=k11+knr+1nr+1，其中k1+knr+1=1。25 设 （）计算行列式|A|；（）当实数 a 为何值时，方程组 Ax=易有无穷多解，并求其通解。26 设 1， 2， ，
7、s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t1s+t21，其中 t1，t 2 为实常数。试问 t1，t 2 满足什么条件时， 1， 2， ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。27 设矩阵 相似，求 x，y；并求一个正交矩阵 P，使 P1AP=。28 A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 （）求 A 的所有特征值与特征向量；（）求矩阵 A。29 证明：二次型 f（x）=x TAx 在|x|=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。考研数学三（线性代数）模拟试卷 107 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
8、。1 【正确答案】 D【试题解析】 A T=（E 一 2T） T=ET 一（2 T） T=E 一 2T=A， 成立。 A2=（E 一 2T）（E 一 2T）=E 一 T+4TT=E 一 4T+4（ T） T=E，成立。 由、 ，得 A2=AAT=E，故 A 是正交矩阵，成立。 由 知正交矩阵是可逆矩阵，且 A1=AT，成立。故应选 D。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因 A 为正交矩阵，所以 AAT=ATA=E，且|A| 2=1。而（2A ）（2A ）T=4AAT=4E，故 2A 不为正交矩阵。所以选 D。 事实上，由 AT（A T）T=ATA=E，（A T） TAT=
9、AAT=E，可知 AT 为正交矩阵。 由 A2（A 2） T=A（AA T）AT=AAT=E，（A 2） TA2=AT（A TA）A=A TA=E，可知 A2 为正交矩阵。 由A*=|A|A1=|A|AT，可得 A *（A *） T=|A|AT（|A|A）=|A| 2ATA=|A|2E=E， （A *）TA*=（|A|A）|A|A T=|A|2AAT=|A|2E=E，故 A*为正交矩阵。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 例如，令 1=（1，1）， 2=（0，2），=（一 1，一 1），则1， 2 线性无关，而 1+=（0，0）与 2+=（一 1，1）线性相关。如果设=（0
10、，0），那么 1+ 与 2+ 却是线性无关的。故选 D。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Ax=0 的任一解向量都可由 线性表出，所以 是 Ax=0 的基础解系，即 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，因此 r（A ）=2。由方程组 Ax=0 有非零解可得，|A|=（a1） 2（a+2）=0，即 a=1 或一 2。当 a=1 时，r （A）=1，舍去；当 a=一 2 时，r（A）=2。所以选 B。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 若 An=0，则 An+1=A（A n）=A0=0 ，即若 是（1）的解，则 必是（2）的解，可见命题正确。 如果
11、An+1=0，而 An0，那么对于向量组，A，A 2，A n，一方面有： 若 k+k1A+k2A2+k nAn=0，用 An 左乘上式的两边得 kAn=0。由 An0 可知必有 k=0。类似地可得 k1=k2=kn=0。因此，A ，A 2，A n 线性无关。 但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故 An+1=0 时，必有 An=0，即（2）的解必是（1）的解。因此命题正确。 所以应选 A。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A3+2A2 一 3A=0。故（A+3E）（A 2 一 A）=0=0（A 2一 A）。 因为 ，A，A 2 线性
12、无关，必有 A2 一 A0，所以 A2 一 A 是矩阵 A+3E 属于特征值 =0 的特征向量，即矩阵 A 属于特征值 =一 3 的特征向量。所以应选 C。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 由 A=，0，有 A2=A（ ）=A= 2，即 必是 A2 属于特征值 2 的特征向量。又 知 必是矩阵 E 一属于特征值 1 一 的特征向量。关于和则不一定成立。这是因为（P 1AP）（ P1）=P 1A=P1，按定义，矩阵 P1AP 的特征向量是 P1。因为P1 与 不一定共线，因此 不一定是 P1AP 的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。线性方程组（E 一 A）x=0 与
13、（E 一 AT）x=0 不一定同解，所以 不一定是第二个方程组的解，即 不一定是 AT 的特征向量。所以应选 B。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 由 A2=32，有 A（一 2）=3（一 2），即当 2 是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量时，一 2 仍是矩阵 A 属于特征值 =3 的特征向量。同理，2 3仍是矩阵 A 属于特征值 =一 2 的特征向量。 当 P1AP= 时，P 由 A 的特征向量构成， 由 A 的特征值构成，且 P 与 的位置是对应一致的，已知矩阵 A 的特征值是 1，3，一 2，故对角矩阵 应当由 1，3，一 2 构成，因此排除选项 B、C 。由
14、于 23 是属于 =一 2 的特征向量，所以一 2 在对角矩阵 中应当是第二列，所以应选 A。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 用配方法，有 f=x 12 一 4x1x2+4x22+x22+2x2x3+x32=（x 1 一 2x2）2+（ x2+x3） 2， 可见二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0。所以选 A。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 A 1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 CTA1C=E，两边求逆得到 C 1A（C T） 1=C1A（C 1） T=E， 即 A 合同于 E，A 正定，因此不应选 A。 D 选项是 A 正定的定义，
15、也不是正确的选择。 C 选项表明 A 的正惯性指数等于 n，故A 是正定阵。由排除法，故选 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 结合行列式的性质：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 4【试题解析】 设 A 的特征值 i 对应的特征向量是 xi（x i0，i=1，2，3），则Axi=xi。 由 A2 一 A 一 2E=0 可知，特征向量 xi 满足（A 2 一 A 一 2E）x i=0，从而有 i2 一 i 一
16、 2=0，解得 i=一 1 或 i=2 0 再根据|A|= 123 及 0|A| 5 可得，1=2=一 1， 3=2。 由 Axi=xi 可得（A+2E）x i=（ i+2）x i，即 A+2E 的特征值i（ i=1，2，3）满足 i=i+2，所以 1=2=1， 3=4，故|A+2E|=114=4。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 5【试题解析】 设 =（ 1， 2， 3） T，= （b 1，b 2，b 3） T，则而 T=（ 1， 2， 3）=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出 T 就是矩阵 T 的主对角线元素的和，所以T=1+6+（一 2）=5。【知识模块】 线性代数14 【正
17、确答案】 【试题解析】 由 A*=|A|A1 可得（A *） 1=【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB+2A=A（B+2E ），且 是可逆矩阵，所以 r（AB+2A）=r（A）。对 A 作初等行变换，则因此可得r（AB+2A）=2。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 一 2【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行交换已知秩为 2，故得 t=一2。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 k 1（1，2，一 1） T+k2（1，0，1） T，k 1，k 2 是任意常数【试题解析】 |A|=0，且 r（A）=2，所以 r（A *）=1，则由 nr（A *）=2
18、 可知，A*x=O 的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为 k11+k22。又因为A*A=|A|E=O，所以矩阵 A 的列 向量是 A*x=0 的解，故通解是 k1（1，2，一 1）T+k2（1，0，1） T，k 1，k 2 是任意常数。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 一 1【试题解析】 A 的特征多项式为 所以矩阵 A 的特征值是一 1，且为三重特征值，但是 A 只有两个线性无关的特征向量，故 r（一 E 一 A）=1，因此 a=一 1。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 2【试题解析】 由题设知，矩阵 xxT 的特征值为 0，0，1，故 E 一 xxT 的特征值为
19、1，1，0。又由于实对称矩阵是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，即 r（Exx T）=2。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 k0 或 k一 2【试题解析】 矩阵 A=T 的秩为 1，且 tr（A）= T=2，故矩阵 A 的特征值是2，0，0，从而矩阵 kE+A 的特征值是 k+2，k，k。矩阵 B=（kE+A）*=|kE+A|（kE+A） 1 的特征值是 k2，k （k+2），k（k+2）。矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零，即 k20 且 k（k+2）0，解得 k0 或 k一 2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确
20、答案】 （）令等式 A=PBP1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即A（x，Ax，A 2x）=（Ax，A 2x，A 2x）= （Ax，A 2x，3Ax 一 2A2x）所以 （）由（）知 AB ，那么A+EB+E ，从而【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 对 A 作初等变换，即（）当 k=1 时，r（A） =1；（）当 k=一 2 时，r（A）=2；（）当 k1 且 k一 2 时，r（A ）=3。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 （）假设存在某个 ki=0，则由 k1， 1+kmm=0 可得k11+ki1i1 一 1+ki+1i+1+kmm=0。 （1）因为任意 m 一 1
21、个向量都线性无关，所以必有 k1=ki1=ki+1=km=0，即系数 k1，k m 全为零。所以系数k1，k m 或者全为零，或者全不为零。（ ）由（ ）可知，当 l10 时，系数l1，l m 全不为零，所以 将其代入（1）式得又因为任意 m 一 1 个向量都线性无关，所以 k1+k2= k1+km=0，即【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 x 为 Ax=b 的任一解，由题设知 1， 2， nr+1 线性无关且均为 Ax=b 的解。 取 1=2 一 1， 2=3 一 1， nr=nr 一 1，根据线性方程组解的结构，它们均为对应齐次方程 Ax=0 的解。 下面用反证法证： 设1， 2
22、， nr 线性相关，则存在不全为零的数 l1，l 2，l nr，使得 l11+l22+lnrnr=0， 即 l 1（ 2 一 1）+l 2（ 3 一 1）+l nr（ nr+1 一 1）=0， 也即 一（ l1+l2+lnr） 1+l12+l23+lnrnr+1=0。 由 1， 2， nr+1线性无关知 一（l 1+l2+lnr）=l 1=l2=lnr=0， 这与 l1，l 2，l nr 不全为零矛盾，故假设不成立。因此 1， 2， nr 线性无关，是 Ax=0 的基础解系。 由于 x， 1 均为 Ax=b 的解，所以 x 一 1 为 Ax=0 的解，因此 x 一 1 可由1， 2， nr，线
23、性表示，设 x 一 1=k21+k32+knr+1nr =k2（ 2 一 1）+k3（ 3 一 1）+k nr+1（ nr+1 一 1）， 则 x=1（1 一 k2 一 k3 一一 knr+1）+k22+k33+knr+1nr+1， 令 k1=1 一 k2 一 k3 一一 knr+1，则 k1+k2+k3+knr+1=1，从而 x=k 11+k22+knr+1nr+1 恒成立。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 （）对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得要使原线性方程组有无穷多解，则有 1 一 a4=0 且一 a 一 a2=0，即 a=一 1。当 a=一 1 时，可知导出组的基础解系
24、为（1，1，1，1） T，非齐次方程的特解为（0，一 1，0，0） T，故其通解为 （0，一1，0，0） T+k（1，1，1，1） T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 i（i=1 ，2，s ）是 1， 2， s 的线性组合，且1， 2， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知i（i=1，2，s）均为 Ax=0 的解。从 1， 2， s 是 Ax=0 的基础解系知s=n 一 r（A）。以下分析 1， 2， s 线性无关的条件：设k11+k22+kss=0，即（t 1k1+t2ks） 1+（t 2k1+t1k2） 2+（t 2k2+t1k3）
25、 3+（t 2ks1+t1ks） s=0，由于 1， 2， s 线性无关，所以又因系数矩阵的行列式=t1s+（一 1） s+1t2s，当 t1s+（一 1） s+1t2s0 时，方程组（*）只有零解 k1=k2=ks=0。因此当 s 为偶数且 t1t2，或当 s 为奇数且 t1一 t2时， 1， 2， s 线性无关，即为 Ax=0 的一个基础解系。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 与 相似，相似矩阵有相同的特征值，故 =5，=一 4，=y是 A 的特征值。因为 A=一 4 是 A 的特征值，所以解得 x=4。又因为相似矩阵的行列式相同， 所以 y=5。当 =5 时，解方程（A 一
26、5E）x=0，得两个线性无关的特征向量 将它们正交化、单位化得： 当 =一 4 时，解方程（A+4E）x=0，得特征向量 单位化得：则 P1AP=。【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）由 即特征值 1=一 1， 2=1 对应的特征向量为 又由 r（A ）=2 3 可知，A 有一个特征值为 0。设 3=0 对应的特征向量为 与 两两正交，于是得 是特征值 0 对应的特征向量。因此k11， k22， k3 是依次对应于特征值一 1，1，0 的特征向量，其中 k1，k 2，k 3 为任意非零常数。（）令【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 A 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 QAQ 1=diag（ 1， 2， n）=A ， 其中 1， 2， n 为 A 的特征值，不妨设 A。最大。 作正交变换 y=Qx，即 x=Q1y=QTy，则 f=xTAx=yTQAQTy=yTy=1y12+2y22+ 2yn2， 因为 y=Qx，所以当|x|=1 时，有 |x|2=xTx=yTQQTy=|y|2=1， 即 y 12+y22+yn2=1。 因此 f=1y12+2y22+ 2yn21（y 12+y22+yn2）= 1。 又当 y1=1，y 2=y3=y3=0 时，f=1，所以 fmax=1。【知识模块】 线性代数
