1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 108 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则不正确的是（ ）（A）A+B 是对称矩阵（B） AB 是对称矩阵（C） A*+B*是对称矩阵（D）A 一 2B 是对称矩阵2 （A）P 1P3A（B） P2P3A（C） AP3P2（D）AP 1P33 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（ ）（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1，
2、 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关4 非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则（ ）（A）无法确定方程组是否有解（B）方程组有无穷多解（C）方程组有唯一解（D）方程组无解5 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（ ）（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量6 设 1， 2
3、是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A（ 1+2）线性无关的充分必要条件是（ ）（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=07 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（ ）（A）若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（B）若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量（C）若 是 A2 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（D）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量8 已知 P1AP= 1 是矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量， 2 与 3 是矩阵A 属于特征值 A=5 的特征向量，那么矩阵 P 不能是（ ）（A）（
4、 1， 2， 3）（B）（ 1， 2+3， 2 一 23）（C）（ 1， 3， 2）（D）（ 1+2， 1 一 2， 3）9 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=（x 1+x2） 2+（2x 1+3x2+x3） 2 一 5（x 2+x3） 2 的规范形为（ ）（A）y 12+y22+4y32（B） y22 一 y32（C） y12 一 y22 一 y32（D）y 12 一 y22+y3210 设 f=xTAx，g=x TBx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是（ ）（A）x T（A+B）x（B） xTA1x（C） xTB1x（D）x TABx二、填空题11 行列式 =_。1
5、2 设三阶方阵 A 与 B 相似，且|2E+A|=0。已知 1=1， 2=一 1 是方阵 B 的两个特征值，则|A+2AB|=_。13 如果 A= （B+E ），且 B2=E，则 A2=_。14 15 已知 n 阶矩阵 则 r（A 2 一 A）=_。16 向量组 1=（1，一 2，0，3） T， 2=（2，一 5，一 3，6）T， 3=（0，1，3，0） T， 4=（2，一 1，4，7） T 的一个极大线性无关组是_。17 方程组 有非零解，则 k=_。18 设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 一 2， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 Ax=b 的通解为 _。
6、19 已知 =（1，3，2） T，=（1，一 1，一 2） T，A=E 一 T，则 A 的最大的特征值为_。20 设 A 是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1， 2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1=（1，2，1） T， 2=（1，一 1，1） T，则特征值 2 对应的特征向量是_。21 设 A 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，矩阵 B=一 aE+ATA 是正定阵，则 a 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。（）
7、计算并化简 PQ；（）证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 2A1b。23 设 ， 为三维列向量，矩阵 A=T+T，其中 T， T 分别为 ， 的转置。证明：r（ A）2。24 *是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1， ， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： （） *， 1， nr 线性无关； （）*， *+1， *+nr 线性无关。25 设 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA=B，并求所有矩阵 C。26 设 1， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1，k s 为实数，满足k1+k2+ks=1。证明 x=k11+k22+kss 也是方程组
8、的解。27 已知 的一个特征向量。（）求参数a，b 及特征向量 p 所对应的特征值；（ ）问 A 能不能相似对角化?并说明理由。28 设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2， 1=（1，一 1，1） T 是 A的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为三阶单位矩阵。 （）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； （）求矩阵 B。29 设方阵 A1 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同，证明： 合同。考研数学三（线性代数）模拟试卷 108 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求
9、。1 【正确答案】 B【试题解析】 由题设条件，则 （A+B） T=AT+BT=A+B（kB ） T=kBT=kB， 所以有 （A 一 2B） T=AT 一（2B T）=A 一 2B， 从而选项 A、D 是正确的。 首先来证明（A *） T=（A T） *，即只需证明等式两边（ i，j）位置元素相等。（A *） T 在位置（i，j）的元素等于 A*在（j，i）位置的元素，且为元素 aij 的代数余子式 Aij。而矩阵（A T） *在（i，j）位置的元素等于 AT 的（j， i）位置的元素的代数余子式，因 A 为对称矩阵，即 aji=aij，则该元素仍为元素 aij 的代数余子式 Aij。从而（
10、A *）T=（A T） *=A*，故 A*为对称矩阵，同理， B*也为对称矩阵。结合选项 A 可知选项C 是正确的。 因为（AB） T=BTAT=BA，从而选项 B 不正确。 注意：当 A、B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA。 所以应选 B。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 A 作两次初等行变换可得到矩阵 B，而 AP3P2，AP 1P3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵 A 第一行的 2 倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到 B；或者把矩阵 A 的第一、二两行互换后，再把第二行的 2 倍加至第三行也可得到 B。而
11、 P2P3，A 正是后者，所以应选 B。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 记 B=（ 1， 2， s），则（A 1，A 2，A s）=AB 。若向量组 1， 2， s 线性相关，则 r（B）s，从而 r（AB）r（B）s，向量组A1，A 2，A s 也线性相关，故应选 A。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*O 可知，A *中至少有一个非
12、零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵 A 中至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有 r（A ）n 一 1。又因 Ax=b 有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有 r（A ）n ，从而r（A）=n 一 1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选 B。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 令 k11+k2A（ 1+2）=0，则（k 1+k21） 1+k222=0。 因为 1， 2线性无关，所以 k1+k21=0，且 k21=0。 当 20 时，显然有 k1=0，k 2=0，此时1， A（ 1+2）线性无关；反过来，若 1，A （ 1+2）线性
13、无关，则必然有20（否则， 1 与 A（ 1+2）= 11 线性相关），故应选 B。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 如果 是 2A 的特征向量，即（2A）=，那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量。由于（E A）x=0 与（E AT）x=0 不一定同解，所以 不一定是 AT 的特征向量。例如 上例还说明当矩阵A 不可逆时，A *的特征向量不一定是 A 的特征向量；A 2 的特征向量也不一定是 A的特征向量。所以应选 D。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 若 P1AP= ，P=（ 1， 2， 3），则有 AP=P，即（A 1，A 2，
14、A 3）= （ 11， 22， 33），可见 i 是矩阵 A 属于特征值i（i=1，2，3）的特征向量，又因矩阵 P 可逆，因此 1， 2， 3 线性无关。若 是属于特征值 的特征向量，则一 仍是属于特征值 的特征向量，故选项 A 正确。若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 与 的线性组合仍是属于特征值 的特征向量。本题中， 2， 3 是属于 =5 的线性无关的特征向量，故 2+3， 223 仍是 =5 的特征向量，并且 2+3， 223 线性无关，故选项 B 正确。对于选项 C，因为 2， 3 均是 =5 的特征向量，所以 2 与 3 谁在前谁在后均正确。故选项 C 正确。由于 1， 2 是
15、不同特征值的特征向量，因此 1+2， 12 不再是矩阵A 的特征向量，故选项 D 错误。所以应选 D。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 将二次型中的括号展开，并合并同类项可得 f（x 1，x 2，x 3）=5x1x2+5x2x2 一 4x3x2+14x1x2+4x1x34x2x3，则该二次型矩阵为可知，矩阵 A 的特征根为12，一 6，0。因此该二次型的正惯性指数 p=1，负惯性指数 q=1，所以选 B。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值1， 2， n 都大于零。设 Apj=j
16、pj，则 A1pj= pj，A 1 的 n 个特征值（j=1，2，n ）必都大于零，这说明 A1 为正定阵，x TA1x 为正定二定型。同理，x TB1x 为正定二次型，对任意 n 维非零列向量 x 都有 xT（A+B）x=xTAx+xTBx0， 这说明 xT（A+B）x 为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 xTABx 未必为正定二次型。【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 一 2（x 3+y3）【试题解析】 将后两列加到第一列上=一 2（ x3+y3）。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 18【试题解析】 由|2E+A|=0，可得|一 2E 一 A|
17、=0，即 =一 2 是 A 的一个特征值。因A 与 B 相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知， 1=1， 2=一 1 也是 A 的特征值，所以 A、B 的特征值均为 1=1， 2=一 1， 3=一 2，则 E+2B 的三个特征值分别为 3，一 1，一 3。从而可得|A|= 123=2，|E+2B|=3（一 1）X （一 3）=9 ，故|A+2AB|=|A（ E+2E）|=|A|E+2B|=18 。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 已知 A= （B+E）且 B2=E，则即 A2=A。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 |A|=1，|B|=（21）（3
18、1）（3 2）=2，所以 A，B 均可逆，则也可逆。由 A*A=AA*=|A|E 可得|A *|=|A|21=1，同理可得|B *|=|B|31=4，且【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A2 一 A=A（AE），且矩阵 可逆，所以 r（ A2 一 A）=r （AE），而 r（AE）=1 ，所以 r（A 2 一 A）=1 。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1， 2， 4【试题解析】 用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有（ 1， 2， 3， 4）因为矩阵中有三个非零行，所以向量组的秩为 3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在1，2，4 列，
19、所以 1， 2， 4 是向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 一 1【试题解析】 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即 =12（k+1）=0 ，因此得 k=一 1。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1+k1（ 2 一 1）+k 2（ 3 一 1），k 1，k 2 为任意常数【试题解析】 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 2一 1， 3 一 1 是 Ax=0 的两个非零解，且它们线性无关。又 n 一 r（A）=2，故2 一 1， 3 一 1 是 Ax=0 的
20、基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1+k1（ 2 一 1）+k2（ 3 一 1），k 1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 7【试题解析】 因为非零列向量 ， 的秩均为 1，所以矩阵 T 的秩也为 1，于是T 的特征值为 0，0，tr （ T），其中 tr（ T）= T=一 6。所以 A=E 一 T 的特征值为 1，1，7，则 A 的最大的特征值为 7。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 t（一 1，0，1） T，t0【试题解析】 设所求的特征向量为 =（x 1，x 2，x 3） T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有 所以对应于特征值2
21、 的特征向量是 t（一 1，0，1） T，t0。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 a 0【试题解析】 B T=（一 aE+ATA） T=一 aE+ATA=B，故 B 是一个对称矩阵。 B 正定的充要条件是对于任意给定的 x0，都有 x TBx=xT（一 aE+ATA）x=一axTx+xTATAx=一 axTx+（Ax） TAx0， 其中（Ax） T（Ax）0，x Tx0，因此 a的取值范围是一 a0，即 a0。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22 【正确答案】 （）由 AA*=A*A=|A|E 及 A*=|A|A1 有（）由下三角形行列式及分块矩
22、阵行列式的运算，有=|A|2（b 一 TA1）。因为矩阵 A 可逆，行列式|A|0，故|Q|=|A| （b 一 TA1）。由此可知，Q 可逆的充分必要条件是 bTA10，即 TA1b。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 r（A）=r（ T+T）r（ T）+r（ T）r（ ）+r （）2。 因为 A=T+T，A 为 33 矩阵，所以 r（A）3。 因为 ， 为三维列向量，所以存在三维列向量 0，使得 T=0， T=0， 于是 A= T+T=0， 所以 Ax=0 有非零解，从而 r（A）2。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 （）假设 *， 1， nr 线性相关，则存在不全为零的数c0
23、，c 1，c nr，使得 c 0*+c11+cnrnr=0， （1）用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A（c 0*+c11+cnrnr）= c0A*+c1A1+cnrAnr=c0b， 其中 b0，则c0=0，于是（1）式变为 c 11+c nr=0， 1， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， nr 线性无关，因此 c1=c2=cnr=0，与假设矛盾。 所以*， 1， nr 线性无关。 （）假设 *， *+1， *+nr 线性相关，则存在不全为零的数 c0，c 1，c nr 使 c 0*+c1（ *+1）+c nr（ *+nr）=0， 即 （c 0+c1+cnr） *+c11+
24、cnrnr=0。 （2）用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A（c 0+c1+cnr） *+c11+cnrnr =（c 0+c1+cnr）A *+c1A1+cnrAnr =（c 0+c1+cnr） b， 因为 b0，故 c0+c1+cnr=0，代入（2）式，有 c11+cnrnr=0， 1， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故1， nr 线性无关，因此 c1=c2=cnr=0，则 c0=0。与假设矛盾。 综上，向量组*， *+1， *+nr 线性无关。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 该方程组是四元非齐次线性方程组，如果 C 存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作
25、初等行变换，得 当a=一 1，b=0 时，线性方程组有解，即存在 C，使 ACCA=B。此时增广矩阵变换为 所以通解为 （其中 c1，c 2 为任意常数）。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由于 1， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，故有Ai=b（i=1 ，s ）。 因为 k1+k2+ks=1，所以 Ax=A（k 11+k22+kss）=k1A1+k2A2+ksAs =b（k 1+ks）=b， 由此可见 x 也是方程组的解。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 （）设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的定义，有（AE） p=0，即 从而有方程组解得 a=一
26、 3，b=0，且 p 所对应的特征值 =一 1。（）A 的特征多项式 得 A 的特征值为=一 1（三重）。若 A 能相似对角化，则特征值 =一 1 有三个线性无关的特征向量，而 故 r（A+E）=2，所以齐次线性方程组（A+E）x=0 的基础解系只有一个解向量，A 不能相似对角化。【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）由 A1=1 得 A21=A1=1，依次递推，则有A31=1，A 51=1，故 B1=（A 5 一 4A3+E） 1=A51 一 4A31+1=一 21，即 1 是矩阵 B 的属于特征值一 2 的特征向量。由关系式 B=A5 一 4A3+E 及 A 的三个特征值 1=1，
27、 2=2， 3=一 2 得 B 的三个特征值为 1=一 2， 2=1， 3=1。设 1， 2 为B 的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2， 3 正交，即 1T2=0， 1T3=0。因此 2， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 得其基础解系为B 的全部特征向量为其中 k10，k 2，k 3 不同时为零。（）令P=（ 1， 2， 3）【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩 C1，使得 B1=CTA1C1。同理，存在可逆矩 C2，使得 B2=C2TA2C2。【知识模块】 线性代数
