1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 112 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 ，AE T，BE2 T，则 AB 为( )（A）O（B） E（C） E（D）E T2 设 A 为四阶非零矩阵，且 r(A*)1，则( )（A）r(A)1（B） r(A) 2（C） r(A) 3（D）r(A)43 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11k 22k mm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2，
2、 ， m 的任意一个部分向量组线性无关4 设 A 为 n 阶矩阵，且A0，则 A( )（A）必有一列元素全为零（B）必有两行元素对应成比例（C）必有一列是其余列向量的线性组合（D）任一列都是其余列向量的线性组合5 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P11 AP1，P 21 BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P1 (AB)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB6 设 则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）
3、不合同也不相似二、填空题7 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A啊， Bb，则_8 A2B 2(AB)(AB)的充分必要条件是_ 9 设 A ，则(A *)1 _10 设 A ，B 为三阶非零矩阵，且 ABO，则 r(A)_11 设 A 为 N 阶矩阵，A 的各行元素之和为 0 且 r(A)n1，则方程组 AX0 的通解为_12 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 ，1，则 4A*3E_13 设 是矩阵 A 的特征向量，则 a_，b_14 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为( )三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 A，B
4、为 N 阶矩阵，且 A2A，B 2B，(AB) 2A B证明：ABO16 设 n 阶矩阵 A 满足 A22A3EO求：(1)(A2E) 1 ； (2)(A4E) 1 17 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明：1 2 3， 12 23 3， 14 29 3 线性无关18 设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 ABE 证明：B 的列向量组线性无关19 设 的三个解，求其通解20 (1)a，b 为何值时， 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合?(2)a，b 为何值时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合?21 设 为 A 的特征向量(I)求 a，b 及 A
5、 的所有特征值与特征向量()A 可否对角化?若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵22 设向量 (a 1，a 2，a n)T，其中 a10，A T (1) 求方程组 AX0 的通解；(2)求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量23 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)1，A 23AO，设(1，1，1) T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值； (2) 求矩阵 A24 设 A 为三阶矩阵，A ii i(i1，2，3) ， ，求 A25 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)x 12x 2x3 为标准二次型26 设 A 为 n 阶实对称可逆矩
6、阵，f(x 1，x 2，x n) xixj(1)记X(x 1，x 2，x n)T，把二次型 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式；(2)二次型 g(X)X TAX 是否与 f(x1，x 2，x n)合同?考研数学三（线性代数）模拟试卷 112 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由 T ，得 AB(E T)(E2 T)E，选(C) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r(A*) 1，所以 r(A)413 ，选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1，
7、2， m， 线性无关可以保证1， 2， m 线性无关，但 1， 2， m 线性无关不能保证1， 2， m， 线性无关；(B)不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k1， k2，k m，有 k11k 22k mm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2， ，k m 使得 k11k 22 k mm0 不能保证1， 2， m 线性无关；(C) 不对，向量组 1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 线性无关，但其维数等于其个数，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为A0，所以 r(A)n ，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是
8、其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQB，选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 由E A0 得 A 的特征值为 1，3，5，由E B0得 B 的特征值为 1，1，1，所以 A 与 B 合同但不相似，选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 (1) mnab【试题解析】 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A
9、 的行对调 m 次，则【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 ABBA【试题解析】 A 2B 2(AB)(AB)A 2BA ABB 2 的充分必要条件是ABBA【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 A10，因为 A*AA 1 ，所以 A*10A 1 ，故(A *)1 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 2【试题解析】 因为 ABO，所以 r(A)r(B)3 ，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 k (其中 k 为任意常数)【试题解析】 因为 A 的各行元素之
10、和为零，所以 A 0，又因为 r(A)n 1所以 为方程组 AX0 的基础解系，从而通解为 k (其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 10【试题解析】 A ，A *的特征值为 ，4A *3E 的特征值为 5，1，2，于是4A *3E10【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2，3【试题解析】 由 A 得 解得 5，a2，b 3【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆，所以 0，令 AXX，则 A*AXA *X，从而有A*X X，选(B)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 由
11、A2A，B 2B 及(AB) 2ABA 2B 2AB BA 得ABBAO 或 ABBA ，AB BA 两边左乘 A 得 ABABA，再在ABBA 两边右乘 A 得 ABABA，则 ABBA ，于是 ABO【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1)由 A22A3EO 得 A(A2E)3E， A(A2E) E，根据逆矩阵的定义，有(A2E) 1 A(2) 由 A22A 3E O 得(A4E)(A 2E)5EO，则(A4E) 1 (A2E)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 A( 1， 2， 3)，B( 1 2 3， 12 23 3， 14 29 3)则 可逆，所以 r(B)r(A)
12、3，故 1 2 3， 12 23 3， 14 29 3 线性无关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 首先 r(B)minm，n n，由 ABE 得 r(AB)n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)n，于是 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 因为 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，又原方程组有三个线性无关解，所以 4r(A) 13，即 r(A)2，于是原方程组的通解为k1(2 1) 1k 1 (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 x 11x 22x 33x 44 (*) (1)当 a1，b0 时
13、，因为r(A)2r 3，所以方程组(*)无解，即 不能表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合；(2)当 a1 时， 可唯一表示为 1， 2， 3， 4 的线性组合【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 () 由 A 得 ，即 解得a1，b1， 3由E A ( 2)(3)0 得10， 22， 33( )因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化将10 代入(EA)X0 得 10 对应的线性无关特征向量为 1 将 22 代入(EA)X0 得 22 对应的线性无关特征向量为 2 将 33 代入(EA)X0 得 33 对应的线性无关特征向量为 3【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (
14、1)因为 r(A)1，所以 AX0 的基础解系含有 n1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 ，则方程组 AX0 的通解为k11 k22 k n1 n1 (k1，k 2，k n1 为任意常数)(2)因为 A2kA，其中k(，) 0所以 A 的非零特征值为 k，因为 A Tk，所以非零特征值 k 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)A 2 3AO A3E A 0 0，3，因为 r(A)1，所以 13， 2 30(2)设特征值 0 对应的特征向量为 (x1，x 2，x 3)T，则x1x 2x 30，则 0 对应的特征向量为 2(1， 1，0) T， 3(1，0，1) T，令【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)f(X) (x 1，x 2，x n) 因为 r(A)n，所以A0，于是A*A 1 ，显然 A*，A 1 都是实对称矩阵(2)因为 A 可逆，所以 A 的 n 个特征值都不是零，而 A 与 A1 合同，故二次型 f(x1，x 2，x n)与 g(X)X TAX 规范合同【知识模块】 线性代数
