1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 114 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A1 B 1 为对称矩阵（C） AB 为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵2 设 A，B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵，则 的逆矩阵为( )3 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可由向量组
2、 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A( 1， 2， ， m)与矩阵 B( 1， 2， m)等价4 设 A 是 mn 阶矩阵，则下列命题正确的是( )（A）若 mn，则方程组 AXb 一定有无穷多个解（B）若 mn，则方程组 AXb 一定有唯一解（C）若 r(A)n，则方程组 AXb 一定有唯一解（D）若 r(A)=m,则方程组 AX=b 一定有解5 下列说法正确的是( )（A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次
3、型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的二、填空题6 设三阶矩阵 A(， 1， 2)，B(， 1， 2)，其中 ， 1， 2 是三维列向量，且A3，B4，则5A2B_ 7 设 A 为三阶矩阵，且A4，则 _8 设 n 阶矩阵 A 满足 A2A3E，则(A3E) 1 _9 设 线性相关，则 a _10 设 1， S 是非齐次线性方程组 AXb 的一组解，则 k11k SS，为方程组 AXb 的解的充分必要条件是_11 已知 A 有三个线性无关的特征向量，则 a_12 设 则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为_13 没 A 为三阶矩阵，方程组 AX0 的基础解系为 1， 2，
4、又 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 计算行列式 15 设 A 且 AXAEA *X，求 x16 设 A，B 为 n 阶矩阵， (1)求 PQ； (2)证明：当 P 可逆时，Q 也可逆17 设 1， 2， ， n(n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时，1 2， 2 3， n 1 线性无关18 设向量组 线性相关，但任意两个向量线性无关，求参数 t19 设 1， 2， 3 为四维列向量组， 1， 2 线性无关，3 312 2，A( 1， 2， 3)，求 AX0 的一个基础解系20
5、 设 A 且 AX0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，求 AX0 的通解21 设 A ，已知 A 有三个线性无关的特征向量，且 2 为矩阵 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵22 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 11， 22， 33，其对应的线性无关的特征向量分别为 ，求 An23 设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)O 且 ab证明：A 可对角化24 设 为 A*的特征向量，求 A*的特征值 及 a，b，c 和 A 对应的特征值 25 设二次型 f(x1，x 2，x 3)X TAX，A 的主对角线上元素之和为 3，又ABBO，其中 B (1)求正交
6、变换 XQY 将二次型化为标准形；(2) 求矩阵 A26 设二次型 f(x1，x 2，x 3)x 124x 222x 322tx 1x22x 1x3 为正定二次型，求 t 的范围27 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1，x 2，x 3)2x 1x22x 1x36x 2x3考研数学三（线性代数）模拟试卷 114 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由(AB) TA TB TAB，得 AB 为对称矩阵；由(A 1 B 1 )T(A 1 )T(B -1)T A 1 B 1 ，得 A1 B 1 为对称矩阵；由 (kA)TkA
7、 TkA，得 kA 为对称矩阵，选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 都是可逆矩阵，因为 ,所以 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 2， m 线性无关，所以向量组 1， 2， 的秩为m，向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为若 r(A)m(即 A 为行满秩矩阵)，则 r m，于是 r(A)r，即方程组 AXb 一定有解，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 fx 1x2，令 则 fy 129
8、y 22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C) 不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 0，不能保证其正惯性指数为 n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 63【试题解析】 由 5A2B(5，5 1，5 2)(2 ，2 1，2 2)(52 ，3 1，3 2)，得 5A2B52 ，3 1，3 2952， 1， 2 9(5 1， 2， 22 ， 1， 2)63【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【试题解析】 由 A*AA
9、 1 4A 1 得 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (A4E)【试题解析】 由 A2A3E，得 A2A3EO ，(A3E)(A4E)9E ，(A3E) (A4E)E，则(A 3E) 1 (A4E).【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 3 【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 k 1k 2k s1【试题解析】 k 1k 2 ks1显然 k11k 22k ss 为 方程组 AXb 的解的充分必要条件是 A(k11k 22k ss)b， 因为 A1A 2A sb ，所以(k 1k 2k s)bb ，注意到 b0，所以
10、 k1k 2k s1，即k11k 22k ss 为方程组 AXb 的解的充分必要条件是k1k 2k s1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 10【试题解析】 由EA (1)(2) 20 得 11， 2 32，因为A 可对角化，所以 r(2EA)1，【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 正交规范化的向量组为【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX0 有非零解，所以 r(A) n，故 0 为矩阵 A 的特征值，1， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若1 3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(1 3
11、) 0(1 3)，注意到A(1 3)0 12 3，故2 3 0(1 3)或 01( 02) 30，因为 1， 3 线性无关，所以有 00， 020，矛盾，故 1 3 不是特征向量，同理可证33 1 及 12 23 3 也不是特征向量，显然 213 2 为特征值 O 对应的特征向量，选(D) 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 AXAEA *X 得(A E)XA *AEA *AA *(EA)A *，因为EA30，所以 EA 可逆，于是 XA *，由A6 得 X6A 1 ，【知识模块】 线性代数1
12、6 【正确答案】 (1) (2)因为P AB，所以当 P 可逆时，AB0，而 PQ AB E ，即 PQE，于是 Q 可逆且 Q1 P.【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设有 x1，x 2，x n，使 x1(1 2)x 2(2 3)x n(n 1)0，即(x 1x n)1(x 1x 2)2(x n1 x n)n0，因为 1， 2， n 线性无关，所以有 ，该方程组系数行列式 Dn1(1) n1 ，n 为奇数x1x n0 1 2， 2 3， n 1 线性无关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 向量组 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是 1， 2， 30，而 1， 2， 3 (
13、t 1)(t5)，所以 t1 或者t5，因为任意两个向量线性无关，所以 t5【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 r(A) 2 可知 AX0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，而 31 22 30,因此 为 AX0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 r(A)2，所以 t1，方程组的通解为 (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 1 22 及 1 2 3tr(A)10 得 36因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA) 1， 得 a2,b2将 1 22 代入(EA)XO，由 2EA 得 1 22 对应的线性无
14、关的特征向量为 将36 代入(EA)XO，【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由(aE A)(bEA)0，得aE A bE A0，则aEA0 或者bEA0又由(aEA)(bEA)0，得 r(aEA)r(bEA)n同时 r(aEA)r(bE A)r(aE A)(bEA) r(ab)E n所以 r(aEA)r(bE A)n(1)若aE A 0，则 r(aEA)n，所以 r(bE A)0，故 AbE (2)若bEA0，则 r(bEA)n，所以 r(aEA) 0，故 AaE(3)若aE A 0 且bEA0，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值方程组(aEA
15、)X 0 的基础解系含有 nr(aE A)个线性无关的解向量，即特征值a 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(aEA)个；方程组(bE A)X0 的基础解系含有 nr(bE A)个线性无关的解向量，即特征值b 对应的线性无关的特征向量个数为 nr(6EA) 个因为 nr(aEA) nr(bEA)n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量，由 得 因为A1，所以 a2，于是 a2，b3，c 2， 1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)由 ABBO 得(EA)BO，从而
16、r(EA)r(B)3，因为r(B)2，所以 r(EA)1，从而 1 为 A 的特征值且不低于 2 重，显然 1不可能为三重特征值，则 A 的特征值为 1 21， 35由(E A)BO 得 B的列组为(E A)X0 的解，故 为 1 2 1 对应的线性无关解令 为35 对应的特征向量，【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 二次型的矩阵为 A 因为该二次型为正定二次型，所以有解得【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 令 ，或 XP 1Y，其中 P1 且 P1 可逆，则 f(x1，x 2，x 3)2y122y 228y 1y34y 2y32(y 12y 3)22(y 2y 3)26y 32， f(x1，x 2，x 3)X TAX ZT(PTAP)Z2z 122z 226z 32【知识模块】 线性代数
