1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 115 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）ABO 的充分必要条件是 AO 或 BO（B） ABO 的充分必要条件是 AO 且 BO（C） ABO 且 r(A)n，则 BO（D）若 ABO，则A0 或B02 设 则 A，B 的关系为( )（A）BP 1P2A（B） BP 2P1A（C） BP 2AP1（D）BAP 2P13 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（A）
2、 1， 2， 3，k 1 2 线性无关（B） 1， 2， 3，k 1 2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1k 2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1k 2 线性相关4 设 1， 2， 3， 4 为四维非零列向量组，令 A( 1， 2， 3， 4)，AX0 的通解为 Xk(0 ，1，3，0) T，则 A*X0 的基础解系为( )（A） 1， 3（B） 2， 3， 4（C） 1， 2， 4（D） 3， 45 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAX 与 XTA1 X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标
3、准形都相同二、填空题6 设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A *)*1 _( 用 A*表示)7 设 A 为四阶矩阵，A *8，则 _8 设 A _.9 设向量组 1， 2， 3 线性无关，且 1a 24 3，2 1 2 3， 2 3 线性相关，则 a_ 10 设 BO 为三阶矩阵，且矩阵 B 的每个列向量为方程组 的解，则k_，B_11 设 A 为三阶实对称矩阵，且 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则a_12 设二次型 2x12x 22x 322x 1x2ax 23 的秩为 2，则 a_13 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )三、解答题解答应写出文字说明、证明过
4、程或演算步骤。14 计算 D 15 设四阶矩阵 B 满足( A*)1 BA1 2ABE，且 A 求矩阵 B16 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2AE证明：A A *17 设 1， m 为 n 个 m 维向量，且 mn证明： 1， n 线性相关18 设 1， 2， ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交证明：向量 为零向量19 设 A 是 34 阶矩阵且 r(A)1，设(1，2，1， 2)T，(1，0，5，2)T， (1，2， 0，1) T，(2，4，3，a1) T 皆为 AX0 的解(1)求常数 a； (2)求方程组 AX0 的通解20 就 a，b 的不同取值，讨论方程组
5、解的情况21 设 ATAE，证明：A 的实特征值的绝对值为 122 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为 A 的特征向量? 说明理由23 设非零 n 维列向量 ， 正交且 A T证明：A 不可以相似对角化24 设 AB， (1) 求 a，b； (2) 求可逆矩阵 P，使得 P1 APB25 设二次型 f(x1，x 2，x 3)X TAX，tr(A) 1，又 B 且 ABO(1)求正交矩阵 Q，使得在正交变换 XQY 下二次型化为标准形(2)求矩阵 A26 设
6、 A 是 n 阶正定矩阵，证明：EA1.27 二次型 f(x1，x 2，x 3)x 12ax 22x 324x 1x28x 1x34x 2x3 经过正交变换化为标准形 5y 12by 224y 32，求： (1)常数 n，b； (2) 正交变换的矩阵 Q考研数学三（线性代数）模拟试卷 115 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 取 ，显然 ABO，故(A)，(B)都不对，取 A ，但A0 且B0，故(D)不对；由 ABO 得 r(A)+r(B)n，因为 r(A)n，所以 r(B)0，于是 BO，所以选(C) 【知识模块】 线
7、性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 P 1E 12，P 2E 23(2)，显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列，再将第 1 及第 2 列对调，所以 BAE 23(2)E12AP 2P1，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 k1 2 一定不可以由向量组 1， 2， 2 线性表示，所以1， 2， 3，k 1 2 线性无关，选(A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AX0 的基础解系只含一个线性无关的解向量， 所以 r(A)3，于是 r(A*)
8、1 因为 A*AAE0，所以 1， 2， 3， 4 为 A*X0 的一组解， 又因为 23 30，所以 2， 3 线性相关，从而 1， 2， 3 线性无关，即为 A*X0 的一个基础解系，选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A1 合同，所以 XTAX 与 XTA1 X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 由 A*AA 1 得(A *)*A * (A*)1 A n 1(AA 1 )1 A n2 A，【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 8【试题解析】
9、因为 A 为四阶矩阵，且A *8，所以A *A 38，于是A2又 AA*AE2E，所以 A*2A 1 ，故 3A *4A 1 6A 1 (2)A 1 (2)4A 1 16 8【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 令 A( 1， 2， 3)，因为A2 ，所以 A*AA E2E，而A*A(A *1，A *2，A *3)，所以【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 5【试题解析】 ( 1a 24 3,21 2 3， 2 3)( 1,2,3) 因为 1， 2， 3线性无关，而 1a 24 3，2 1 2 3， 2 3 线性相关，所以【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1，0【试题
10、解析】 令 A ，因为 B 的列向量为方程组的解且 BO，所以ABO ，且方程组有非零解，故A0，解得 K1因为 ABO，所以 r(A)r(B)3 且 r(A)1，于是 r(B)23，故B0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有63a36a0，a3【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 A ，因为该二次型的秩为 2，所以A0，解得 a 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然(B)，(C)，(D) 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A
11、 不一定与单位矩阵合同，选 (A)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A4， BA1 2ABE AA 1 )1 BA1 2ABE【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 AA*AE，又已知 A2 AE，所以 AA*A 2 而 A 可逆，故 AA *【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 A( 1， n)，r(A)minm，n mn，因为矩阵的秩与矩阵的行向量组与列向量组的秩相等，所以向量组 1， n 的秩不超过 m，于是向量组 1， n 线性相关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】
12、 令 A ，因为 1， 2， n 与 正交，所以 A0，即 为方程组 AX0 的解，而 1， 2， n 线性无关，所以 r(A)n，从而方程组AX0 只有零解，即 0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)因为 r(A)1，所以方程组 AX0 的基础解系含有三个线性无关的解向量，故(1，2，1，2) T，(1，0，5，2) T，(1，2，0，1)T， (2，4， 3，a1) T 线性相关，即 0，解得 a6(2)因为(1，2，1，2)T， (1，0，5， 2)T，(1，2，0，1) T 线性无关，所以方程组 AX0 的通解为Xk 1(1，2，1，2) Tk 2(1，0，5，2) Tk
13、3(1， 2，0，1) T(k1，k 2，k 3 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 a(ab)(1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为，x 30；(2)当 a0 时， 因为 r(A)r ，所以方程组无解；(3)当ab0 时， 方程组有无穷多个解，通解为 Xk (k 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 AXX，则 XTATX T，从而有XTATAXX TAX 2XTX， 因为 ATAE， 所以( 21)X TX0，而XTXX 20，所以 21，于是A1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 AXX 得 A2XA(AX)A(X)AX 2X
14、可知 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2XX，其中 A ，A 2O ，A 2 的特征值为0，取 X ，显然 A2X0X，但 AX ，即 X 不是 A 的特征向量，因此结论未必成立【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AXX，显然 ATX 2X， 因为 ， 正交，所以 A2 T T0，于是2X0，而 XO，故矩阵 A 的特征值为 1 2 n0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0E A)r(A)1，所以 72 一 r(0EA)n1n，所以 A 不可相似对角化【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 EA( 2) 2(
15、a3)3(a1)f()，因为 2 为 A的二重特征值，所以 a 5，于是EA( 2)2(6)，故 b6 (2)由(2EA)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为 由(6E A)X0 得 6 对应的线性无关的特征向量为 令 P 则 P1 APB【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)由 ABO 得 为 0 的两个线性无关的特征向量，从而0 为至少二重特征值，又由 tr(A)1 得 31，即 1 20， 31令 31对应的特征向量为 因为 ATA，所以 解得 31 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值 10， 20， n0，因此 AE 的特征值为 111， 211， n11，故A E ( 11)(21)( n1)1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)令 ，则 f(x1，x 2，x 3)X TAX，矩阵 A 的特征值为15， 2b， 34， (2)将 1 25 代入(EA)X0，即(5E A)X0，由 5EA 得 1 25 对应的线性无关的特征向量为 1 将34 代入(EA)X0，即(4EA)X0，由 4EA 得 34 对应的线性无关的特征向量为 所求的正交变换矩阵为 Q 【知识模块】 线性代数
