1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 116 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则 ( )（A）AB（B） AB （C）若 A0 则B0（D）若A0 则B02 设 则( )（A）BP 1AP2（B） BP 2AP1（C） BP 21 AP1（D）BP 11 AP213 设 n 阶矩阵 A( 1， 2， n)，B( 1， 2， ， n)，AB( 1， 2， n)，记向量组(I)： 1， 2， n；(II)： 1， 2， n；()： 1， 2， n，若向量组( )线性相关，则 ( )（A）() ， ()都线性相关
2、（B） ()线性相关（C） ()线性相关（D）() ， ()至少有一个线性相关4 设向量组 1， 2， 3 为方程组 AX0 的一个基础解系，下列向量组中也是方程组 AX0 的基础解系的是( )（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 12 2 3（C） 12 2，2 2 3， 33 1（D） 1 2 3，2 13 222 3，3 15 25 35 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵二、填空题6 设 a(1，1，2) T， (2，1，1) T，A T，则 An_7 若矩阵 A ，B 是三阶非零矩阵，
3、满足 ABO ，则 t_8 设 n 维列向量 (a，0 ，0，a) T，其中 a0 ，又AE T，BE T，且 B 为 A 的逆矩阵，则 a_9 设 且 ， ， 两两正交，则 a_，b_10 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 AXb 的三个解向量，r(A)3，且1 2 则方程组 AXb 的通解为_11 设 AB，其中 ，则 x_，y_ 12 设 5x12x 22tx 324x 1x22x 1x32x 2x3 为正定二次型，则 t 的取值范围是_13 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 证明：D 15 设 A，B 满足 A
4、*BA2BA8E，且 A ，求 B16 设 A 为 n 阶矩阵，且 A22A8EO证明： r(4EA)r(2EA) n17 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关18 设 A 为 n 阶矩阵， 1， 1， 1 为 n 维列向量，其中 10，且A1 1，A 2 1 2，A 3 2 3，证明： 1， 1， 3 线性无关19 设 A( 1， 2， 3， 4， 5)，其中 1， 3， 5 线性无关，且2 31 3 5， 42 1 36 5，求方程组 AX0 的通解20 设 (1)若 aiaj(ij)，求 ATb 的解；(2) 若 a1a 3a0 ，a 2a 4a，求ATx
5、b 的通解21 设 0 为 A 的特征值 (1)证明：A T 与 A 特征值相等； (2)求 A2，A 22A3E的特征值； (3)若A0，求 A1 ，A *，EA 1 的特征值22 设 A，B 为 n 阶矩阵(1)是否有 ABBA； (2)若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA 23 设 A (1)证明 A 可对角化； (2) 求 Am24 设 且 AB(1) 求 a； (2) 求可逆矩阵 P，使得 P1 APB25 用正交变换法化二次型 f(x1，x 2，x 3)x 12x 22x 324x 1x24x 1x34x 2x3 为标准二次型26 用配方法化下列二次型为标准形： f(x 1
6、，x 2，x 3)x 122x 225x 322x 1x22x 1x32x 2x327 设 C 为正定矩阵，令 P ，(1)求 PTCP； (2)证明：D BA 1 BT 为正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 116 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以存在初等矩阵P1，P s， Q1，Q t 使得 BP sP1AQ1，而 P1，P s,Q1，Q t 都是可逆矩阵，所以 r(A)r(B)，若A0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B0，选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案
7、】 D【试题解析】 显然 B P 1AP22 因为 P11 P 1，所以选(D) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 若 1， 2， n 线性无关， 1， 2， n 线性无关则 r(A)n，r(B) n, 于是 r(AB)n因为 1， 2， n 线性相关，所以 r(AB)r( 1， 2 ， n)n ， 故 1， 2， n 与 1， 2， n 至少有一个线性相关，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 根据齐次线性方程组解的结构，四个向量组皆为方程组 AX0 的解向量组，容易验证四组中只有(C)组线性无关，选 (C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案
8、】 B【试题解析】 因为 A 与对角阵 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAP， 从而 A(P T)1 P1 (P 1 )TP1 ，A T (P 1 )TP1 T(p 1 )TAP1 A，选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 3 n1【试题解析】 T3，A 2 T T3 T3A，则 An3 n1 A3 n1 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 1【试题解析】 由 ABO 得 r(A)r(B)3 ，因为 r(B)1，所以 r(A)2，又因为矩阵 A 有两行不成比例，所以 r(A)2，于是 r(A)2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 1【试题解析】 由 AB(E
9、T)(E T T2a TE 且 TO，得12a0，解得 a1【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 a 4， b13【试题解析】 因为 ， 正交，所以 解得 a4，b13【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 Xk (k 为任意常数)【试题解析】 因为 r(A) 3，所以方程组 AXb 的通解为 k，其中 3 1( 2 3) ，于是方程组的通解为 Xk (k 为任意常数) 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 3，1【试题解析】 因为 AB，所以 解得 x3，y 1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 t2【试题解析】 二次型的矩阵为 A ，因为二次型为正定二次型，所以有50， 10
10、，A0，解得 t2【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由 A*BA2BA8E 得 AA*BA2ABA8A ，即2BA2ABA8A，整理得(AE)B4E，所以 B4(A E) 1【知识模块】 线性代
11、数16 【正确答案】 由 A22A8E0 得(4EA)(2EA)0，根据矩阵秩的性质得r(4EA) r(2EA)n又 r(4EA) r(2EA)r(4EA) (2EA)r(6E) n，所以有 F(4EA)r(2E A)2【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1， r(rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k 1，k r，使得 k11k rr0，于是 k11 k r10 r1 0 n0，因为 k 1，k r，0，0 不全为零，所以 1， n 线性相关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 A1 1 得(A E) 10； 由 A1 1 2 得(A E) 2
12、 1；由A3 2 3 得(AE) 3 2， 令 k 11k 21k 330， (1) (1)两边左乘 AE 得 k21 k32 0， (2) (2)两边左乘 AE 得 k310，因为 10，所以 k30，代入(2),(1)得 k10，k 20，故 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，又 2， 4 可由 1， 3， 5 线性表示，所以 r(A)3，齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有两个线性无关的解向量 由 2 31 3 5， 42 1 36 5 得方程组 AX0 的两个解为 1(3，1，1，0， 1)T， 2(2，0，1，1，6)
13、 T 故 AX0 的通解为k1(3， 1，1，0，1) Tk 2(2，0，1，1，6) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)D AT(a 4a 1)(a4a 2)(a4a 3)(a3a 1)(a3a 2)(a2a 1)，若aiaj，(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1D 2D 30，D 4D ，所以方程组的唯一解为 X(0，0，0，1) T；(2)当 a1a 3a0 ，a 2a 4a 时， 方程组通解为 Xk 1(a 2，0，1，0) Tk 2(0，a 2，0，1) T(0，a 2，O ，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代
14、数21 【正确答案】 (1)因为EA T(EA) TEA所以 AT 与 A的特征值相等(2)因为 A 0(0)，所以 A2 0A 02，(A 22A 3E)( 022 03) ，于是 A2，A 22A3E 的特征值分别为 02， 022 03(3)因为A 12 n0，所以 00，由 A 0 得 A1 ，由A*AA 得 A* ，于是 A1 ，A *，EA 1 的特征值分别为 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)一般情况下，AB 与 BA 不相似，如 因为 r(aB)r(BA)，所以 AB 与 BA 不相似(2)因为An!0，所以 A 为可逆矩阵，取 PA，则有P1 ABPBA，故 A
15、BBA【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1)由EA(1) 2(2)0 得 1 21， 32当1 时，由(EA)X0 得 1 对应的线性无关的特征向量为 当 2 时，由(2EA)X0 得 2 对应的线性无关的特征向量为 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)因为 AB，所以 tr(A)tr(B) ，即 2a01(1)2，于是 a0(2)由EA (1)(1)( 2)0 得 A，B 的特征值为11， 21， 32当 1 时，由(E A)X0 即(E A)X 0 得1(0，1，1) T；当 1 时，由(EA)X0 得 2(0，
16、1，1) T；当 2 时，由(2EA)X0 得 3(1，0，0) T，取 P1 ，则 当 1 时，由(EB)X0 即(E B)X0 得 2(0，1，2) T；当 1 时，由(EB)X0 得2(1，0，0) T；当 2 时，由(2EB)X0 得， 3(0 ，0，1) T，取 P2由 P1 AP1P 21 BP2 得(P 1P21 )1 A(P1P21 )B，取 PP 1P21 ，则P1 APB 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)X TAN，其中 ( 3)( 3) 20 得13， 2 33由(3EA)X0 得 13 对应的线性无关的特征向量为；由(3E A)X
17、0 得 2 33 对应的线性无关的特征向量为 则f(x1，x 2，x 3)X TAX YT(QTAQ)Y3Y 123y 223y 32【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 令 ，则(x 1，x 2，x 3)X TAX，f(x 1，x 2，x 3)x 1x22x 225x 322x 1x22x 1x32x 2x3(x 1x 2x 3)2(x 22x 3)210x 32，且 f(x1， x2，x 3) YT(PTAP)Yy 12y 2210y 33【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)因为 C 为正定矩阵，所以 ATA ，D TD ， (2)因为C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以 为正定矩阵，故 A 与 DBA 1 BT 都是正定矩阵【知识模块】 线性代数
