1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 119 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，必有AB0（B）当 mn 时，必有AB0（C）当 nm 时，必有AB0（D）当 nm 时，必有AB02 设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)mn，则( )（A）A 的任意 m 个列向量都线性无关（B） A 的任意 m 阶子式都不等于零（C）非齐次线性方程组 Axb 一定有无穷多个解（D）矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E m*1134O)3 设矩阵 A( 1， 2， 3， 4)经行初等变换为矩阵
2、 B( 1， 2， 3， 4)，且1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关，则( )（A） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示（B） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，但表示法不唯一（C） 4 能由 1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一（D） 4 能否由 1， 2， 3 线性表示不能确定4 设 A，B 是满足 ABO 的任意两个非零阵，则必有 ( )（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关5 设 A
3、是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解（C）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解（D）当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解6 与矩阵 A 相似的矩阵为( )二、填空题7 设 A 为三阶正交阵，且A0，BA4，则EAB T_8 设 A ，B 为三阶矩阵，r(B *)1 且 ABO，则 t_9 设 A ，A0 且 A*的特征值为1，2，2，则a11a 22a 33_10 设 A 有三个线性无关的特征向量，则 a_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
4、骤。11 设 A 是正交矩阵，且A0证明：EA012 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 11， 22 为 A 的两个特征值，B 2，求13 设 是 n 维单位列向量，AE T证明：r(A)n14 设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 ABO 证明：r(A) r(B)n15 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维 向量总可由 1， 2， n 线性表示16 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B且 ABO，求方程组 AX0 的通解17 问 a，b，c 取何值时，(I)，()为同解方程
5、组 ?18 设 A 为 n 阶矩阵，A 110证明：非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解的充分必要条件 是 A*b019 设 问 a，b，c 为何值时，矩阵方程AXB 有解?有解时求出全部解20 设 A 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A201021 设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B(A *)24E 的特征值为 0，5，32 求 A1 的特征值并判断 A1 是否可对角化22 (1)若 A 可逆且 AB ，证明：A *B *； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP23 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)r(B) n证明
6、： A，B 有公共的特征向量24 设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)n证明：A TA 的特征值全大于零25 设二次型 f2x 122x 22ax 332x 1x22b 1x3 2x2x3 经过正交变换 XQY 化为标准 形 Fy 12y 224y 32，求参数 a，b 及正交矩阵 Q考研数学三（线性代数）模拟试卷 119 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)minm，n，且r(AB)minr(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n)，故当 mn 时，r(A
7、B)n m，于是AB0，选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 显然由 r(A)mn ，得 r(A) mn，所以方程组 AXb有无穷多个解选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性无关，而 1， 2， 3， 4 线性相关，所以 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表 示，又 A( 1， 2， 3， 4)经过有限次初等行变换化为B( 1， 2， 3， 4)，所以方程组 x 11x 22x 33 4 与 x11 x 22x 33 4 是同解方程组，因为方程组 x11x 22 x 33 4 有唯一解，所以方程组x11x 22x
8、33 4 有唯一解，即 4 可由 1， 2， 3 唯一线性表示，选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 设 A，B 分别为 mn 及 ns 矩阵，因为 ABO，所以 r(A)r(B)n，因为 A， B 为非零矩阵，所以 r(A)1，r(B)1 ，从而 r(A)n，r(B) n ，故 A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关，选(A)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX0 有非零解，选(A)【知识模块
9、】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D) 中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 4【试题解析】 A0 A1EAB TAA TAB TA(AB)TABB A4【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*) 1，所以 r(B)2，又因为 ABO，所以 r(A)r(B)3 ，从而 r(A)1， 又 r(A)1，r(A)1，于是 t6【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 2【试题解析】 因为A *A
10、24，且A0，所以A2，又AA*AE2E，所以 A1 A*，从而 A1 的特征值为 ，1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为 2，1，1，于是a11a 22a 332112【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 4【试题解析】 由EA (1)( 1) 20 得11， 2 31因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(EA)1，解得a4【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为 A 是正交矩阵，所以 ATAE，两边取行列式得A 21，因为A0，所以 A1 由EAA TAA(A TE)AAA TE A TE (A E)
11、 TE A 得EA 0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 3，由B 1232 得 31AE 的特征值为 2，3，2，(AE) 1 的特征值为，则(AE) 1 因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B*的特征值为 ，即为 2，1，2，于是B *4，(2B)*4B *4 3B *256，故【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A 2(E T)(E T)E2 T T T，因为 为单位列向量， 所以 T1，于是 A2A由 A(EA)O 得 r(A)r(EA)n ，又由 r(A)r(E A)rA(EA) r(E)n，得 r(A)r(E A
12、)n因为 EA TO，所以 r(EA) r( T)r() 1，故 r(A)n1n【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 令 B( 1， 2， s)，因为 ABO，所以 B 的列向量组1， 2， s 为方程组 AX 0 的一组解，而方程组 AX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 nr(A) ，所 以向量组 1， 2， s 的秩不超过nr(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)r(B)n【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意的 n 维向量 ，因为1， 2， n， 一定线性相关，所以 可由 1， 2， n
13、唯一线性表示，即任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示反之，设任一 n 维向量总可由1， 2， n 线性表示， 则e1，e 2，e n 可由 1， 2， n 线性表示，故 1， 2， n 的秩不小于e1，e 2，e n 的秩，而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 ABO 得 r(A)r(B)3 且 r(A)1(1) 当 k9 时，因为 r(B)2，所以 r(A)1，方程组 AX0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B 的第 1、3 两列，故通解为 k1 (
14、k1，k 2 为任意常数)；(2)当 k9 时，r(B) 1，1r(A)2，当 r(A)2 时，方程组 AX0 的通解为 C (C为任意常数)；当 r(A)1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0，由 A，得通解为 k1 (k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 ()的通解为 k (k为任意常数)，把( )的通解代入( )，得【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解，则 r(A)n，从而A0，于是 A*bA *AXAX0反之，设 A*b0，因为 b0，所以方程组 A*X0 有非零解，从而 r(A*)n，又 A110，所以
15、 r(A*)1，且 r(A)n1因为 r(A*)1，所以方程组 A*X0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量，而 A*A0，所以 A 的列向量组 1， 2， ， n 为方程组 A*X0 的一组解向量由 A110，得 2， n 线性无关，所以 2， n 是方程组 A*X0 的基础解系因为 A*b0，所以 b 可由 2， n 线性表示，也可由1， 2， n 线性表示，故 r(A) n1n，即方程组 AXb 有无穷多个解【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 X(X 1，X 2，X 3)，B( 1， 2， 3)，方程组 AXB 等价于则 AXB 有解的充分必要条件是 r(A)r(A B)
16、，AX1 1 的通解为 X1k 1 AX2 2 的通解为 X2k 2AX3 3 的通解为 X3k 3则 X(X 1，X 2， X3)，其中 k1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为1 21， 3 41因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有 r(EA)r于是 a0，b 0当 1 时，由(EA)X0 得 1 ，当 1 时，由(EA)X0 得 3 ，所以P1 A100PE，从而 A2010E【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1， 2， 3，因为 B(A *)24E 的
17、三个特征值为 0，5，32，所以(A *)2 的三个特征值为 4，9， 36，于是 A*的三个特征值为2，3，6又因为A *36A 31 ，所以A6得 13， 22， 31，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A1 的特征值为 因为 A1 的特征值都是单值，所以 A1 可以相似对角化【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且AB 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P1 APB， 而A*AA 1 ，B *BB 1 ， 于是由 P1 APB ，得(P 1 AP)1 B 1 ，即P1 A1 PB 1 ， 故 P1 AA 1
18、PAB 1 或 P1 A*PB *，于是 A*B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P1 APB，即 APPB， 于是APPBPP 1 P(BP)P 1 ，故 APBP【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 r(A)r(B) n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 0 为 A，B公共的特征值，A 的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 AX0 的非零解；B的属于特征值 0 的特征向量即为方程组 BX0 的非零解，因为 r(A)r(B)n，所以方程组 有非零解，即 A，B 有公共的特征向量【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵，r(A TA)n
19、，对任意的 X0， X T(ATA)X(AX) T(AX)，令 AX ，因为 r(A)n，所以 0，所以 (AX) T(AX) T 20，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型， ATA 为正定矩阵，所 以ATA 的特征值全大于零【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 二次型 f2x 122x 22ax 322x 1x22bx 1x32x 2x3 的矩阵形式为fX TAX 其中 A ，因为 QTAQB ，所以AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为1，1，4而EA 3(a 4) 2(4a b 22)(3a 2b2b 22) ，所以有 3(a4) 2(4ab 22)(3a2b2b 22)(1) 2(4)，解得a2，b1当 1 21 时，由(E A)X0 得 1 由34 时，由(4EA)X0 得 3 显然 1， 2， 3 两两正交，单位化为【知识模块】 线性代数
