1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 121 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(AB) *A *B *（B） (AB)*B *A*（C） (AB) *A *B（D）(AB) *一定可逆2 设，则 B1 为( ) （A）A 1 P1P2（B） P1 A1 P2（C） P1P2 A1（D）P 2A1 P1 3 下列命题正确的是( )（A）若向量 1， 2 ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 1， 2， n 中任一向量都可由其余向量
2、线性表示（C）若向量 1， 2， n 线性无关，则 1 2， 2 3， n 1 一定线性无关（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A 一定可逆4 设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX0 与 ABX0 同解的充分条件是( ) （A）r(A)s（B） r(A) m（C） r(B)s（D）r(B) n5 设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P(3 2， 3，2 1)，则 P1 AP 等于( )6 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆
3、矩阵 P，使得 P1 APB（B）存在正交矩阵 Q，使得 QTAQB（C） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQB二、填空题7 设 A，B 都是三阶矩阵，A 且满足(A *)1 BABA+2A 2，则B_ 8 设 ，则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_9 设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征 向量，若 1，A( 1 2)，A 2(1 2 3)线性无关，则1， 2， 3 满足 _10 f(x1，x 2， x3，x 4)X TAX 的正惯性指数
4、是 2且 A22A 0，该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算 D2n 12 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P(1)计算 PQ；(2)证明 PQ 可逆的充分必要条件是 TA1 b13 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量，使得 A T14 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无 关的充分必要条件是 A 可逆15 设 1， 2， 1， 2 为三维列向量组，且 1， 2 与 1， 2 都线性无关(1)证明：至少
5、存在一个非零向量可同时由 1， 2 和 1， 2 线性表示；(2)设，求出可由两组向量同时线性表示的向量16 A，B 为 n 阶矩阵且，r(A)r(B) n证明：方程组 AX0 与 BX0 有公共的非零解17 设 的一个基础解系为，写出 的通解并说明理由18 证明：r(A)r(A TA)19 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A2A，r(A) r(0 rn) 求5E A 20 设矩阵 A (1)若 A 有一个特征值为 3，求 a；(2)求可逆矩阵 P，使得 PTA2P 为对角矩阵21 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量 (1)证明：，A 线性无关； (2)若 A2A6 0，求 A 的特
6、征值，讨论 A 可否对角化22 设方程组 ，有无穷多个解，为矩阵 A 的分别属于特征值11， 22， 31 的特征向量(1)求 A； (2)求A *3E 23 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX0 的通解为 ，设 ，求 24 设 P 为可逆矩阵， AP TP证明：A 是正定矩阵25 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵26 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)n考研数学三（线性代数）模拟试卷 121 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】
7、 B【试题解析】 因为(AB) *AB(AB)1 ABB 1 A1 BB 1 AA 1 B *A*，所 以选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 BAE 14E23 或 BAE 23E14 即 BAP 1P2 或 BAP 2P1，所以 B1 P21 P11 A1 或 B 1 P 11 P21 A1 ，注意到 Eij1 E ij，于是 B1 P2P1A1 或 B1 P 1P2A1 ，选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2，A n)A( 1， 2， 3)，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 2， N)可逆，于是 r(
8、A1，A 2，A n)r(A) ，而A1，A 2，A n 线性无关，所以 r(A) n，即 A 一定可逆，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A) s，显然方程组 BX0 的解一定为方程组 ABX0 的解，反之，若 ABX0，因为 r(A)s，所以方程组 AY0 只有零解，故 BX0，即方程组 BX0 与方程组 ABX0 同解，选(A) 【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32， 3，2 1 也是特征值 1，2，1 的特征向量，所以P1 AP ，选 (C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆
9、矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQB，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 A3，A *AA 1 3A 1 ，则(A *)1 BABA2A 2 化为 ABABA2A 2，注意到 A 可逆，得 BBA 2A 或B3BA 6A，则 B 6A(E3A) 1 ，E3A ，(E3A) 1 则 B6A(E3A) 1 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 1， 2;【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)，则向量组1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为 1， 2，且【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 令 x11x 2A(1
10、 2)x 3A2(1 2 3)0，即(x 1 1x2 12x3)1 (2x2 22x3)2 33x30，则有 x1 1x2 12x30, 2x2 22x30， 33x30，因为 x1，x 2，x 3 只能全部为零，所以【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 y 12y 22【试题解析】 A 22AO r(A)r(2EA)4 A 可以对角化， 12， 20，又二次型的正惯性指数为 2，所以 12， 20 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 y12y 22【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)
11、PQ(2)PQA(b TA1 )，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0，即TA1 b【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设 r(A) 1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，故 A T，显然 ， 为非零向量设 A T，其中 ， 为非零向量，则A 为非零矩阵，于是 r(A)1，又 r(A)r( T)r()1，故 r(A)1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 令 B( 1， 2， n)，因为 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量， 所以 r(B)n(A 1，A 2，A n) AB，因为 r(AB)r(A) ，所以A1，A 2，A 3 线性无关的充 分必要条件是 r(A
12、)n，即 A 可逆【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)因为 1， 2， 1， 2 线性相关，所以存在不全为零的常数k1，k 2，l 1，l 2，使得 k11k 21l 11l 210，或 k11k 22l 11l 22令k 11k 22l 11l 22，因为 1， 2 与 1， 2 都线性无关，所以 k1，k 2 及l1，l 2 都不全为零，所以 0(2) 令 k11k 21l 11l 220，所以 k 13k 2k 10 2【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 方程组 X0 的解即为方程组 AX0 与 BX0的公共解因为 r(A)r(B) n，所以方程组 X0 有非零解，故方
13、程组AX0 与 BX0 有公共的非零解【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 则()可写为 BY0，因为1， 2， n 为(I)的基础解系，因此 r(A)n， 1， 2， n 线性无关，A1A 2A n0 A(1， 2， n)O ABTO BATO 1T， 2T， nT 为 BY0 的一组解，而 r(B)n， 1T， 2T， nT 线性无关，因此 1T， 2T， nT 为 BY0 的一个基础解系【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 只需证明 AX0 与 ATAX0 为同解方程组即可若 AX00，则 ATAX00 反之，若 ATAX00，则 X0ATATAX0 (AX0)T(AX0)0 A
14、X00，所以 AX0 与 ATAX0 为同解方程组，从而 r(A)r(A TA).【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 A2A A(EA) O r(A)r(EA) n A 可以对角化由 A2A，得AEA0，所以矩阵 A 的特征值为 0 或 1因为 r(A)r 且 0rn，所以 0 和 1 都为 A 的特征值，且 1 为 r 重特征值，0为 nr 重特征值，所以 5EA 的特征值为 6(r 重)，5(nr 重)，故5EA 5 nr 6r【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)EA( 21) 2(a2)2a 1，把 3 代入上式得a2，于是 A (2)由E A 20 得A2 的特
15、征值为 1 2 31， 49当 1 时，由 (EA 2)X0 得1 (1，0，0 ，0) T， 2(0，1，0，0) T， 3(0，0，1，1) T；当 9 时，由(9EA 2)X0 得 4(0 ，0，1，1) T将 1， 2， 3 正交规范化得1(1 ，0，0，0) T， 2 (0，1，0，0) T， 3 将 4 规范化得4 令 P( 1， 2， 3， 4)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)若 ， A 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1k 2A 0，显然 k20，所以 A ，矛盾，所以 ，A 线性无关(2) 由A2A60，得(A 2A6E)0，因为 0，所以
16、r(A2A6E) 2，从而A 2A6E0，即3EA2EA0，则3E A 0或2EA 0若3EA0，则 3EA 可逆，由(3EA)(2EA)0，得 (2EA)0，且 A2，矛盾；若2EA0 ，则 2EA 可逆，由(2E A)(3EA)0，得(3EA)0，即 A3 ，矛盾，所以有 3EA0且2EA 0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值3，2，故 A 可对角化【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为方程组有无穷多个解，所以a 22a 10，解得 a1令 P( 1， 2， 3)(2)A2 ，A *对应的特征值为 ，即 2，1，2，A *3B对应的特征值为 5，2，1，所以A *3E10【知识模块】
17、 线性代数23 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有一个特征值为 i5，其对应的特征向量为 1 A1 51又 AX0 的通解为则 r(A)1 2 30，其对应的特征向量为A2 0，A 30令 x11x 22x 33，解得x18，x 21，x 32，则 A8A 1A 22A 38A 1 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 显然 ATA，对任意的 X0，X TAX(PX) T(PX)，因为 X0 且 P可逆，所以 PX 0，于是 XTAX(PX) T(PX)PX 20，即 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A 所对
18、应的二次型为 fX TAX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 XQY，使得 fX TAX 1y12 2y22 nyn2，其中i0(i 1，2，n) ，对任意的 XO，因为 XQy，所以 YQ TX0，于是f 1y12 2y22 nyn20，即对任意的 X0 有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为(B TAB)TB TAT(BT)TB TAB，所以 BTAB 为对称矩阵， 设BTAB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X TBTABX (BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX 0 只有零解，所以 r(B)n 反之，设r(B)n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X(BX) TA(BX)0， 所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
