1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 122 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，B 是四阶矩阵，且|A|=2，|B|=6，则 为( )（A）24（B）一 24（C） 48（D）一 482 设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且|E+A|=0，则|2E+A 2|为( )（A）0（B） 54（C）一 2（D）一 243 设 n 维行向量 A=E 一 T，B=E+2 T，则 AB 为( )（A）O（B）一 E（C） E（D）E+ T4 设 A，B 为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）若 A，B 可逆，则 A+B 可逆（
2、B）若 A，B 可逆，则 AB 可逆（C）若 A+B 可逆，则 AB 可逆（D）若 A+B 可逆，则 A，B 都可逆5 设 A，B 为 n 阶对称矩阵，下列结论不正确的是 ( )（A）AB 为对称矩阵（B）设 A，B 可逆，则 A-1+B-1 为对称矩阵（C） A+B 为对称矩阵（D）kA 为对称矩阵6 设 A，B 皆为 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（A）AB=O 的充分必要条件是 A=O 或 B=O（B） ABO 的充分必要条件是 AO 且 BO（C） AB=O 且 r(A)=n，则 B=O（D）若 AB0，则|A|0 或|B|07 n 阶矩阵 A 经过若干次初等变换化为矩阵 B，则
3、 ( )（A）|A|B|（B） |A|B|（C）若 |A|=0 则|B|=0（D）若|A|0 则|B|08 设 A 为 mn 阶矩阵，C 为 n 阶矩阵，B=AC，且 r(A)=r，r(B)=r 1，则( )（A）rr 1（B） rr 1（C） rr1（D）r 与 r1 的关系依矩阵 C 的情况而定二、填空题9 设 则 x2 项的系数为_10 设 A 为三阶矩阵，A 的第一行元素为 1，2，3，|A|的第二行元素的代数余子式分别为 a+1，a 一 2，a 一 1，则 a=_11 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b ，则12 设三阶方阵 A=A1，A 2，A 3
4、，其中 Ai(i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式|A|=一 2，则行列式|A 1 一 2A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1|=_13 设三阶矩阵 A=(， 1， 2)，B=(， 1， 2)，其中 ， 1， 2 是三维列向量，且|A|=3，|B|=4 ，则|5A 一 2B|_14 设 A 为 n 阶可逆矩阵(n2)，则(A *)*-1=_(用 A*表示)15 设 =(1，一 1，2) T，=(2，1，1) T，A= T，则 An=_16 且 n2，则 An 一 2An-1=_17 设 则(A+3E) -1(A2 一 9E)=_18 A2 一 B2=(A+B)(AB)的充分必要
5、条件是_19 设 A 是三阶矩阵，且|A|=4，则20 设 A 为三阶矩阵，且|A|=4，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 计算行列式22 计算23 证明：23 设24 计算 D；25 求 M31+M33+M3426 设 求： (1)|一 2B|； (2)AB BA27 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A2=A，B 2=B，(A+B) 2=A+B证明：AB=O28 设 AX=A+2X，其中 求 X29 设 且 AX+|A|E=A*+X，求 X30 设四阶矩阵 B 满足 求矩阵B考研数学三（线性代数）模拟试卷 122 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个
6、选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又|E+A|=0，所以A 有特征值一 1，于是 2E+A2 的特征值为 18，3，于是|2E+A 2|=54，选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 得 AB=(ET)(E+2T)=E，选(C) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 若 A，B 可逆，则|A|0，I |B|0，又|AB|=|A|B|，所以|AB|0，于是 AB 可逆，选(B)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】
7、 A【试题解析】 由(A+B) T=AT+BT=A+B，得 A+B 为对称矩阵；由(A -1+B-1)T=(A-1)T+(B-1)T=A-1+B-1，得 A-1+B-1 为对称矩阵；由(kA) T=kAT=kA，得 kA 为对称矩阵，选(A)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 取 显然 AB=0，故(A)，(B)都不对，取 显然 但|A|=0 且|B|=0 ，故(D) 不对；由AB=O 得 r(A)+r(B)n，因为 r(A)=n，所以 r(B)=0，于是 B=O，所以选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A 经过若干次初等变换化为 B，所以
8、存在初等矩阵P1，P s， Q1，Q t，使得 B=P sP1AQ1Qt，而 P1，P s，Q 1，Q t都是可逆矩阵，所以 r(A)=r(B)，若|A|=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即|B|=0 ，选(C)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 r1=r(B)=r(AC)r(A)=r，所以选 (C)【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 按行列式的定义 f(x)的 3 次项和 2 次项都产生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且该项带正号，所以 x2 项的系数为 23【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 由(a+1)+2(a 一 2)+3(a 一
9、 1)=0 得 a=1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 将 B 的第一行元素分别与 A 的行对调 m 次，然后将 B 的第二行分别与 A 的行对调 m 次，如此下去直到 B 的最后一行与 A 的行对调 m 次，则 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由(一 A1 一 2A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1)=(A1A2，A 3)得|一 A1 一 2A2，2A 2+3A3，一 3A3+2A1| 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由 5A 一 2B=(5，5 1，5)一(2，2 1，2 2)=(5 一 2，3 1，3 2)，得 |5A 一 2|=|5 一 2，3 1，3
10、 2|=9|5 一 2， 1， 2| =9(5|， 1， 2|一2|， 1， 2|)=63【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由 A*=|A|A-1 得 (A *)=|A*|(A*)-=|A|n-1(|A|A-1)-1=|A|n-2A， 故【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 T=3，A 2=TT=3T=3A，则【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A2=2A 得 An=2n-1A，A n-1=2n-2A，所以 An 一 2An-1=O【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (A+3E) -1(A2 一 9E)=(A+3E)-1(A+3E)(A 一 3E)=A 一 3E=【
11、知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A 2 一 B2=(A+B)(AB)=A2+BAABB2 的充分必要条件是AB=BA【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 A*=|A|A-1=4A-1 得【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 M 31+M33+M34=1A31+0A32+1A33+(一 1)A34
12、【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)| 一 2B|=(一 2)3|B|=一 8； 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 A2=A，B 2=B 及(A+B) 2=A+B=A2+B2+AB+BA 得 AB+BA=0 或AB=一 BA，AB=-BA 两边左乘 A 得 AB=一 ABA，再在 AB=一 BA 两边右乘 A 得ABA=一 BA，则 AB=BA，于是 AB=0【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由 AX=A+2X 得(A 一 2E)X=A，其中 因为|A2E|=一 10，所以 X=(A 一 2E)-1A， 【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 由 AX+|A|E=A*+X 得 (A E)X=A*一|A|E=A *一 AA*=(EA)A* 因为|E A|=一 30，所以 EA 可逆，于是 X=一 A*， 由|A|=6 得 X=一 6A-1， 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
