1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 126 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A)n，r(B)n 的充分必要条件是 r(AB)n（C） AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)（D）AB 的充分必要条件是 E 一 AE B；2 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为 ( )（A）（B）（C） |A|（D）|A| n-13 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=0， 3=1，则下列结论
2、不正确的是( ) （A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值一 1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量4 设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1， 2，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1+3（B） 33 一 1（C） 1+22+33（D）2 1 一 32二、填空题5 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 则|4A *+3E|=_6 设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0，则(A *)2+3A*+2E 有特征值_7 已知 有三个线性无关的
3、特征向量，则 a=_8 设 A 为三阶实对称矩阵，且 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 求矩阵 的特征值与特征向量9 设 为 A 的特征向量10 求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量11 A 可否对角化? 若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵12 设 求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化13 设 已知 A 有三个线性无关的特征向量，且 =2 为矩阵 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵14 设 ATA=E，证明：A 的实特征值的绝对值为14 设 为 A 的特征值15 证明
4、：A T 与 A 特征值相等；16 求 A2，A 2+2A+3E 的特征值；17 若|A|0，求 A-1，A *， EA-1 的特征值18 设 X1，X 2 分别为 A 的属于不同特征值 1， 2 的特征向量证明：X 1+X2 不是A 的特征向量19 求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化19 设向量 =(a1，a 2，a n)T，其中 a10，A= T20 求方程组 AX=O 的通解；21 求 A 的非零特征值及其对应的线性无关的特征向量22 设 A=T，求 |6EAn|23 设 A 为三阶矩阵，A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，其对应的线性无关的特征向量分别 向量 求 An
5、.24 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的特征值，其对应的特征向量为 X，证明： 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 2 有特征值 ，其对应的特征向量为 X，X 是否一定为A 的特征向量? 说明理由24 设 A，B 为 n 阶矩阵25 是否有 ABBA；26 若 A 有特征值 1，2，n，证明：ABBA26 设 为 n 维非零列向量，27 证明：A 可逆并求 A-1；28 证明： 为矩阵 A 的特征向量考研数学三（线性代数）模拟试卷 126 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P-
6、1AP=B， 于是 P-1(EA)P=EP-1AP=E 一 B，即 E 一 AE=B ； 反之，若 EAEB，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1(EA)P=EB， 整理得 EP-1AP=EB，即 P-1AP=B，即 AB，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A*AX=A*X，从而有 A*X=选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=一 1， 2=0， 3=1 得|A|=0，则 r(A)1+2+3=tr(A)=0，所以(B)正确；因为 A 的三个特征值都为单值，所以 A 的非零特征值的个数与矩阵
7、A 的秩相等，即 r(A)=2，从而 AX=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量，(D)是正确的；(C)不对，因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，一般矩阵不一定有此性质，选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)1， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值 0 为二重特征值，若 1+3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(1+3)=0(1+3)，注意到 A(1+3)=01 一 23=一 23，故一 23=0(1+3)或 01+(0+2)3=0， 因为 1， 3 线性无关，所以有 0=0， 0+
8、2=0，矛盾，故1+3 不是特征向量，同理可证 33 一 1 及 1+22+33 也不是特征向量，显然 21一 32 为特征值 0 对应的特征向量，选 (D)【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 A*的特征值为 4A*+3E 的特征值为5，1，2，于是|4A *+3E|=10【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 因为 A 可逆，所以 00，A *对应的特征值为 于是(A *)2+3A*+2E 对应的特征值为【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 由 得 1=1， 2=3=2， 因为 A 可对角化，所以 r(2E 一 A)=1， 由得 a=一 10【知识模块】 线性代数8 【正确答
9、案】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6+3a+36a=0，a=3【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 由|EA=( 一 1)2( 一 4)一 0 得 1=2=1， 3=4 当 =1 时，由(EA)X=0 得属于特征值 =1 的线性无关的特征向量为 全部特征向量为 k11+k21(k1，k 2 不同时为 0)； 当 =4 时，由(4EA)X=0 得属于特征值 =4 的线性无关的特征向量为 全部特征向量为 k3(k0)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 由 A= 得 即 解得a=1，b=1，=3 由
10、 得1=0， 2=2， 3=3【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化 将 1=0 代入(EA)X=0 得 1=0 对应的线性无关特征向量为 将 2=2 代入(E A)X=0 得 2=2 对应的线性无关特征向量为 将 3=3 代入(E A)X=0 得3=3 对应的线性无关特征向量为 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由 得 =2(三重)，因为r(2EA)=1，所以 =2 只有两个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由 1=2=2 及 1+2+3=tr(A)=10 得 3=6 因为矩阵 A
11、有三个线性无关的特征向量，所以 r(2EA)=1， 由得 a=2，b=一 2 将 1=2=2 代入(EA)X=0， 由 得 1=2=2 对应的线性无关的特征向量为 将 3=6 代入(E 一 A)X=O， 由得 3=6 对应的线性无关的特征向量为 令 则 P 可逆且【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 设 AX=X，则 XTAT=XT，从而有 XTATAX=XTAX=2XTX，因为 ATA=E， 所以( 2 一 1)XTX=0，而 XTX=X|20，所以 2=1，于是|=1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为|EA T|=|(EA)T|=|EA|，所以 AT
12、与 A 的特征值相等【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因为 A=0(0)， 所以 A2=0A=02，(A 2+2A+3E)=(02+20+3)， 于是 A2，A 2+2A+3E 的特征值分别为 02， 02+20+3【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为|A|= 12 n0，所以 00，由 A=0 得 由A*A=|A| 得 于是 A-1，A *，E 一 A-1 的特征值分别为【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 反证法 不妨设 X1+X2 是 A 的属于特征值 的特征向量，则有A(X1+X2)一 (X1+X2)， 因为 AX1=1X1，AX 2=2X2，所以( 1 一 )X
13、1+(2)X2=0， 而 X1，X 2 线性无关，于是 1=2=，矛盾，故 X1+X2 不是 A 的特征向量【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 令 T=k，则 A2=kA， 设 AX=X，则 A2X=2X=kX，即 (k)X=0， 因为 X0，所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1+ n=tr(A)且 tr(A)=k 得 1= n-1=0， n=k 因为 r(A)=1，所以方程组(0EA)X=0 的基础解系含有n1 个线性无关的解向量，即 =0 有 n=1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 因为 r(A)=1
14、，所以 AX=0 的基础解系含有 n 一 1 个线性无关的特征向量，其基础解系为 则方程组AX=0 的通解为 k11+k22+kn-1n-1(k1，k 2，k n-1 为任意常数) 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 A2=kA，其中 所以 A 的非零特征值为k， 因为 A=T=k，所以非零特征值 k 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 方法一 由 得|6EAn|=62(62n) 方法二 A= T，由|EA|= 2( 一 2)=0 得 1=2=0， 3=2， 因为6EAn 的特征值为 6，6，62 n，所以|6EA n|=62(6 一 2n) 方法
15、三 因为 A 是实对称矩阵且 1=2=0， 3=2，所以存在可逆阵 P，使得 AnP -1AnP，则|6E 一 An|=16EP-1AnP|=62(62n)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 方法一 方法二 令=x11+x22+x33，解得 x1=2，x= 2 一 2，x 3=1，则 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 AX=X 得 A2X=A(AX)=A(X)=AX=2X 可知 2 是 A2 的特征值，X 为特征向量若 A2X=X，其中 A2=O，A 2 的特征值为 =0，取显然 A2X=OX，但 即 X 不是 A 的特征向量，因此结论未必成立【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 一般情况下，AB 与 BA 不相似，如 因为 r(AB)r(BA)，所以 AB 与BA 不相似【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为|A|=n!0，所以 A 为可逆矩阵，取 P=A，则有 P-1ABP=BA，故 ABBA 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为所以 A 可逆且 A-1=A【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 所以 是矩阵 A 的特征向量，其对应的特征值为一 1【知识模块】 线性代数
