1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 127 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 PAP-1 为对角阵（D）存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵2 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵3 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A=T，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（
2、A）1（B） 2（C） 3（D）44 设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) （A）C TAC（B） A-1+B-1（C） A*+B*（D）AB二、填空题5 设 AB，其中 则x=_，y=_6 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1=3， 2=3=5，且 1=3 对应的线性无关的特征向量为 则 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为_7 设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T，则 A 的特征值为_8 设 是矩阵 的特征向量，则a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设矩阵 有一个特征值为 39 求 y；10 求可逆矩阵 P，
3、使得(AP) T(AP)为对角矩阵10 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=0，设(1，1，一 1)T 为 A 的非零特征值对应的特征向量11 求 A 的特征值；12 求矩阵 A13 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=8， 2=3=2，矩阵 A 的属于特征值 1=8 的特征向量为 属于特征值 2=3=2 的特征向量为 求属于2=3=2 的另一个特征向量14 设 n 阶矩阵 A 满足(aEA)(bEA)=O 且 ab证明：A 可对角化15 设非零 n 维列向量 ， 正交且 A=T证明： A 不可以相似对角化15 设16 证明 A 可对角化；17 求 Am18 设 有三个
4、线性无关的特征向量，求 x，y 满足的条件19 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 Ak=0证明：A 不可以对角化20 设 A 为三阶矩阵，A 1=ii(i=1，2，3)， 求A21 设 的逆矩阵 A-1 的特征向量，求 x，y，并求 A-1对应的特征值 22 设 |A|=-1, 为 A*的特征向量，求 A*的特征值 及 a， b，c 和 A 对应的特征值 22 设 AB，23 求 a，b；24 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B24 设 且 AB25 求 a；26 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B26 设 有三个线性无关的特征向量27 求 a；28 求 A 的特征向量；
5、29 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角阵30 (1)设 A， B 为 n 阶矩阵，|EA|=|E 一 B|且 A，B 都可相似对角化，证明：AB (2)设 矩阵 A，B 是否相似?若A，B 相似，求可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B考研数学三（线性代数）模拟试卷 127 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然(B)，(C)，(D) 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 (A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的
6、充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以 A=T0，则 r(A)1， 又因为 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A2X=TTX=0=2X 得 =0， 因为 r(0E 一 A)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 显然
7、四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A-1，B -1 及 A*，B *都是正定的，对任意 X0，X T(CTAC)X=(CX)TA(CX)0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A-1+B-1与 A*+B*都是正定矩阵，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 因为 AB，所以 即 解得 x=3，y=1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2=3=5 对应的特征向量为 由 得 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 因
8、为 A2=3A，令 AX=X，因为 A2X=2X，所以有( 2 一 3)X=0，而 X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1+2+3=tr(A)=(，)，所以1=3， 2=3=0【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 由 A= 得 即 解得=5，a=2，b=3【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 因为 3 为 A 的特征值，所以|3EA|=0，解得 y=2【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 (AP) T(AP)=PTATAP=PTA2P， |EA 1=0|得 1=1， 2=9， 当 =1 时，由(E 一A1
9、)X=0 得 =9 时，由(9E A1)X=0 得 单位化得则 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A 2 一 3A=O |A|3EA|=0 =0，3，因为 r(A)=1，所以1=3， 2=3=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 设特征值 0 对应的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则 x1+x2 一 x3=0，则0 对应的特征向量为 2=(一 1，1，0) T， 3=(1，0，1) T，令 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 1T2=一 1+k=0 k 一 1 1=8 对应的特征向量为 令
10、2=3=2 对应的另一个特征向量为 由不同特征值对应的特征向量正交，得 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由(aE A)(bEA)=0，得|aE A|bEA|=0 ，则|aEA|=0 或者|bEA|=0又由(aEA)(bE A)=0，得 r(aEA)+r(bEA)n.同时 r(aEA)+r(bEA)r(aEA)一(bEA)=r(a 一 b)E=n所以 r(aEA)+r(bEA)=n(1)若|aE A|0，则 r(aEA)=n，所以 r(bEA)=0，故 A=bE(2)若|bEA|0，则 r(bEA)=n，所以 r(aEA)=0，故 A=aE(3)若|aE A|=0 且|bEA|=0，则
11、 a，b 都是矩阵 A 的特征值方程组(aEA)X=0 的基础解系含有 nr(aEA) 个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(aEA)个；方程组(bE A)X=0 的基础解系含有 n 一 r(bEA)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(bEA)个因为 n 一 r(aEA)+n 一 r(bEA)=n所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AX=X，显然 A2X=2X，因为 ， 正交，所以 A2
12、=TT=O，于是 2X=0，而X0，故矩阵 A 的特征值为 1=2= n=0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0EA)=r(A)1，所以 n 一 r(OEA)n 一 1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由|EA|=( 一 1)2(+2)=0 得 1=2=1， 3=一 2 当 =1 时，由(EA)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 当 =一 2时，由(一 2EA)X=0 得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为 因为A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 于是【知识模块】 线性代数18 【正确
13、答案】 由 得 1=一1， 2=3=1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(E一 A)=1， 由 得 x+y=0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 方法一 令 AX=X(x0)，则有 AkX=kX，因为 Ak=O，所以kX=0，注意到 X0，故 k=0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0 因为 r(0EA)=r(A)1，所以方程组 (0E 一 A)X=0 的基础解系至多含 n 一 1 个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可对角化 方法二 设矩阵 A 可以对角化，即存在可逆阵 P，使得 两边 k 次幂得 从而有 1=2= n=0， 于是 P-1AP=O，
14、进一步得 A=O，矛盾，所以矩阵 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 令 则 于是 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 令 A=0，即 解得 0=4，x=10，y= 一9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量，由得 解得 因为|A|=一 1，所以 a=2，于是 a=2，b=一 3，c=2 ，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 方法一 因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值， 1=2=2，因为A 相似于对角阵，所以 r(2E-A)=1，而 于是 a=5，
15、再由 tr(A)=tr(B)得 b=6 方法二 |EA|=( 一 2)2 一(a+3)+3(a 一 1)=f()， 因为 =2 为 A 的二重特征值，所以 a=5， 于是|EA|=( 一 2)2( 一 6)，故b=6【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由(2E A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为由(6EA)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为令 则 P-1AP=B【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(一 1)+2，于是 a=0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 得 A
16、，B 的特征值为 1=一 1， 2=1， 3=2 当 =一 1 时，由(一 EA)X=0 即(E+A)X=0 得1=(0，一 1，1) T； 当 =1 时，由(E 一 A)X=0 得 2=(0，1，1) T； 当 =2 时，由(2EA)X=0 得 3=(1，0， 0)T，取 则 当=一 1 时，由(一 EB)X=0 即(E+B)X=0 得 1=(0，1，2) T； 当 =1 时，由(EB)X=0 得 2=(1，0，0) T； 当 =2 时，由(2EB)X=0 得 3=(0，0，1) T，取则 由 P1-1AP1=P2-1BP2 得(P 1P2-1)-1A(P1P2-1)=B， 取 则 P-1A
17、P=B【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由 得矩阵 A 的特征值为 1=一 2， 2=3=1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(EA)=1， 由 得 a=一 1【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 将 =一 2 代入(E 一 A)X=0，即(2E+A)X=0， 由得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为将 =1 代入(EA)X=0，即(EA)X=0， 由得 =1 对应的线性无关的特征向量为【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 令 则【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)因为|EA|=|EB|，所以 A，B
18、有相同的特征值，设为1， 2， n， 因为 A，B 可相似对角化，所以存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 由 P1-1AP1=P2-1BP2 得(P1P2-1)-1A(P1P2-1)=B， 取 P1P2-1=P，则 P-1AP=B，即 AB (2)由得 A 的特征值为1=2， 2=3=1； 由 得 B 的特征值为 1=2， 2=3=1； 由 得 r(EA)=1，即 A 可相似对角化； 再由 得 r(E 一 B)=1，即 B 可相似对角化， 故 AB 由 得 A 的属于 1=2 的线性无关特征向量为 由得 A 的属于 2=3=1 的线性无关的特征向量为令 由 得 B 的属于 1=2的线性无关特征向量为 由 得 B 的属于 2=3=1 的线性无关的特征向量为 令 再令则 P-1AP=B【知识模块】 线性代数
