1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 129 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2， 3， 1， 2 都是四维列向量，且A= 1， 2， 3， 1=m，B= 1， 2， 2， 3=n，则 3， 2， 1， 1+2为 ( )（A）m+n（B） mn（C） (m+n)（D）nm2 设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) *等于( ) （A）kA *（B） knA*（C） kn1 A*（D）k n(n1) A*3 设 Q 为三阶非零矩阵，且 PQ=O，则( )（A）当 t=6 时，r(Q)=1（B）当 t=6 时，r(Q)=2（C）当 t6 时
2、，r(Q)=1（D）当 t6 时，r(Q)=24 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A） 1， 2， m 中任意两个向量不成比例（B） 1， 2， m 是两两正交的非零向量组（C）设 A=(1， 2， m)，方程组 AX=0 只有零解（D） 1， 2， m 中向量的个数小于向量的维数5 设 A 是 ms 阶矩阵，B 为 sn 阶矩阵，则方程组 BX=0 与 ABX=0 同解的充分条件是( )（A）r(A)=s（B） rA)=m（C） r(B)=s（D）r(B)=n6 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2=E，则1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若
3、 r(E+A)n，则1 一定是矩阵 A 的特征值（C）若矩阵 A 的各行元素之和为1，则1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则1 一定是 A 的特征值二、填空题7 设 则 A31+A32+A33=_8 设 B 为三阶矩阵，r(B *)=1 且 AB=O，则 t=_9 设 则 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为_，其余的向量用极大线性无关组表示为_10 设 A 为三阶实对称矩阵， 1=(a，a，1) T 是方程组 AX=0 的解，2=(a，1，1a) T 是方程组(A+E)X=0 的解，则 a=_11 f(x1，x 2， x3，x 4)=X
4、TAX 的正惯性指数是 2，且 A22A=0，该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 D= 求 Ak1+Ak2+Akn13 设 A 为 n 阶矩阵，证明： 其中 n214 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，A 是 n 阶矩阵证明：A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 A 可逆15 设向量组 1， 2， n1 为 n 维线性无关的列向量组，且与非零向量 1， 2正交证明： 1， 2 线性相关15 设16 求() ，()的基础解系；17 求() ，()的公共解18 设 A 是 ms 阶矩阵，B 是 sn 阶矩阵，且 r(B)
5、=r(AB)证明：方程组 BX=0 与ABX=0 是同解方程组19 证明：r(AB)minr(A) ，r(B)20 当 a，b 取何值时，方程组 无解、有唯一解、有无数个解?在有无数个解时求其通解20 设矩阵 为 A*对应的特征向量21 求 a，b 及 对应的 A*的特征值；22 判断 A 可否对角化22 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=AB，若 1， 2， 3 为 A 的三个不同的特征值，证明：23 AB=BA；24 存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP，P 1 BP 同时为对角矩阵25 设 P 为可逆矩阵， A=PTP证明：A 是正定矩阵26 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零
6、证明：A 为正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 129 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 3， 2， 1， 1+2= 3， 2， 1， 1+ 3， 2， 1， 2 = 1， 2， 3， 1 1， 2， 3， 2 = 1， 2， 3， 1 + 1， 2， 2， 3=nm ，选 D【知识模块】 行列式2 【正确答案】 C【试题解析】 因为(kA) *的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n1 阶子式，所以(kA) *=kn1 A*，选 C【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 QO，所以 r(Q
7、)1，又由 PQ=O 得，r(P)+r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选 C【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 C【试题解析】 向量组 1， 2， m 线性无关，则 1， 2， m 中任意两个向量不成比例，反之不对，故 A 不对；若 1， 2， m 是两两正交的非零向量组，则 1， 2， m 一定线性无关，但 1， 2， m 线性无关不一定两两正交，B 不对； 1， 2， m 中向量个数小于向量的维数不一定线性无关，D 不对，选C【知识模块】 向量5 【正确答案】 A【试题解析】 设 r(A)=s，显然方程组 BX=O 的解一定为方程组 ABX=0 的解
8、，反之，若 ABX=0，因为 r(A)=s，所以方程组 AY=0 只有零解，故 BX=0，即方程组BX=0 与方程组 ABX=0 同解，选 A【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(E+A) n，则E+A=0，于是1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为1，则 根据特征值特征向量的定义，1 为 A 的特征值；若 A 是正交矩阵，则 ATA=E，令 AX=X(其中 X0)，则 XTAT=XT，于是 XTATAX=2XTX，即( 21)X TX=0而 XTX0，故 2=1，再由特征值之积为负得1 为 A 的特征值选 A【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题7
9、 【正确答案】 0【试题解析】 A 31+A32+A33=A31+A32+A33+0A34+0A0=35【知识模块】 行列式8 【正确答案】 6【试题解析】 因为 r(B*)=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=6【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 1， 2，且【试题解析】 ( 1， 2， 3， 4)=则向量组1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组为 1， 2，且【知识模块】 向量10 【正确答案】 1【试题解析】 因为 A 为实对称矩阵，所以不同特征值对应的特征向量正交，因为AX=0 及(A+EX
10、)=0 有非零解，所以 1=0， 2=1 为矩阵 A 的特征值， 1=(a， a，1) T， 2=(a，1，1a) T 是它们对应的特征向量，所以有 1T2=a2a+1a= 0，解得 a=1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量11 【正确答案】 y 11+y22【试题解析】 A 22A=O=r(A)+r(BA)=4=A 可以对角化， 1=2， 2=0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1=2， 2=0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为y11+y22【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 令C=(n)，A=(1) n+1n!，则得A*=AA
11、1 =(1) n+1n!A1 ，所以 Ak1+Ak2+Akn=【知识模块】 行列式13 【正确答案】 AA *=A*A=AE当 r(A)=n 时， A 0，因为A *= A n1 ，所以A *0，从而 r(A*)=n；当 r(A)=n1 时，由于 A 至少有一个 n1 阶子式不为零，所以存在一个 Mij0，进而 Aij0，于是 A*O，故r(A*)1，又因为 A=0，所以 AA*=AE=O ，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A*)n，而 r(A)=n1，于是得 r(A*)1，故 r(A*=1；当 r(A)n1 时，由于 A 的所有n1 阶子式都为零，所以 A*=O，故 r(A*)=0【知识模
12、块】 矩阵14 【正确答案】 令 B=(1， 2， n)，因为 1， 2， n 为 n 个 n 维线性无关的向量，所以 r(B)=n (A1，A 2，A n)=AB，因为 r(AB)=r(A)所以A1，A 2，A n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 A 可逆【知识模块】 向量15 【正确答案】 令 因为 1， 2， n1 与 1， 2 正交，所以A1=0，A 2=0，即 1， 2 为方程组 AX=0 的两个非零解，因为 r(A)=n1，所以方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量，所以 1， 2 线性相关【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】
13、 =()的基础解系为=()的基础解系为【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 () 的通解=k1=2k2，故()，( )的公共解为( k，k，2k，k) T=k(1，12，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 首先，方程组 BX=0 的解一定是方程组 ABX=0 的解令 r(B)=r且 1， 2， nr 是方程组 BX=0 的基础解系，现设方程组 ABX=0 有一个解 1不是方程组 BX=0 的解，即 B00，显然 1， 2， nr ， 0 线性无关，若1， 2， nr ， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，k nr ，k 0，使得 k11+
14、k22+knr nr ，k 00=0，若 k0=0，则 k11+k22+knr nr ，=0，因为1， 2， nr 线性无关，所以 k1=k2=knr =0，从而 1， 2， nr ， 0 线性无关，所以 k00，故 0 可由 1， 2， nr 线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B0=0，矛盾，所以 1， 2， nr ， 0 线性无关，且为方程组ABX=0 的解，从而 nr(AB)n=r+1，r(AB)r1 ，这与 r(B)=r(AB)矛盾，故方程组 BX=0 与 ABX=0 同解【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 令 r(B)=r，BX=0 的基础解系含有 nr 个线性无关的解
15、向量，因为 BX=0 的解一定是 ABX=0 的解，所以 ABX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即nr(AB)nr(B) ，r(AB)r(B)； 又因为 r(AB)T=r(AB)=r(BTAT)R(AT)=r(A)，所以 r(AB)Minr(A)，r(B)【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 (1)当 a1且 ab 时，方程组有唯一解；(2)当 a=6 时，因为所以方程组有无数个解，再由得原方程组的通解为(3)当 a=1 时，当 a=1，b36 时，方程组无解；当a=1，b=36 时，方程组有无数个解，由【知识模块】
16、线性方程组【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A=1，则有A =12，设 A 的另外两个特征值为 2， 3，由 得 2=3=2 对应的 A*的特征值为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 因为 r(2EA)=2 ，所以 2=3=2 只有一个线性无父的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 由 AB=AB 得 ABAB+E=E，(E+A)(EB)=E，即 EB 与 E+A 互为逆矩阵，于是 (EB)(B+A)E=(E+A)(EB)，故 AB=
17、BA【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 因为 A 有三个不同的特征值 1， 2， 3 所以 A 可以对角化，设A 的三个线性无关的特征向量为 1， 2， 3，则有 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，BA( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，AB( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，于是有 ABi=iBi，i=1，2，3 若 Bi0，则 Bi是 A 的属于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 Bi=ii；若 Bi=0，则 i是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情
18、况B 都可以对角化，而且 i 是 B的特征向量，因此，令 P=(1， 2， 3)，则 P1 AP，P 1 BP 同为对角阵【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 显然 AT=A，对任意的 X0，X TAx=(PX)T(PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以 PX0，于是 XTAX=(PX)T(PX)=PX 20，即 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 二次型26 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX， 因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=XTAX 1y12+2y22+ nyn2，其中i0(i=1，2，n)，对任意的 X0，因为 X=QY，所以 Y=QTX0，于是f=1y12+2y22+ nyn20，即对任意的 X0 有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 二次型
