1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 130 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶矩阵，A 2=A，则下列成立的是( )（A）A=O（B） A=E（C）若 A 不可逆，则 A=O（D）若 A 可逆，则 A=E2 若向量组 1， 2， 3， 4 线性相关，且向量 4 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，则下列结论正确的是( ) （A） 1， 2， 3 线性无关（B） 1， 2， 3 线性相关（C） 1， 2， 4 线性无关（D） 1， 2， 4 线性相关3 设 A 是 mn 矩阵，且 mn，下列命题正确的是( )（A）A 的行向量组一定线
2、性无关（B）非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多组解（C） ATA 一定可逆（D）A TA 可逆的充分必要条件是 r(A)=n4 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，且非齐次线性方程组 AX=b 有两个不同解1， 2，则下列命题正确的是( )（A）AX=b 的通解为 k11+k22（B） 1+2 为 AX=b 的解（C）方程组 AX=0 的通解为 k(1 2)（D）AX=b 的通解为 k11+k22+ (1+2)5 与矩阵 相似的矩阵为( )6 设 则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同二、填空题7 设 A，B 都是三阶矩阵，A
3、相似于 B，且EA=E2A =E3A=0 ，则B 1 +2E=_.8 设 ，BO 为三阶矩阵，且 BA=0，则 r(B)=_9 设 A0 且 A*的特征值为1，2，2，则a11+a22+a33=_。10 设 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 A 是正交矩阵，且A0证明：E+A=012 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB，且 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，B=2，求13 设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A=T14 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维列向量，证明
4、： 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是15 设齐次线性方程组 其中 ab0，n2讨论 a，b 取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解15 设 1， 2， 3， 4 为四元非齐次线性方程组 BX=b 的四个解，其中 r(B)=216 求方程组() 的基础解系；17 求方程组()BX=0 的基础解系；18 ( )与()是否有公共的非零解 ?若有公共解求出其公共解19 证明：r(A)=r(A TA)19 设矩阵20 若 A 有一个特征值为 3，求 a；21 求可逆矩阵 P，使得 PTA2P 为对角矩阵21 设 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 为三个三维线性无关的列
5、向量，且满足A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+222 求矩阵 A 的特征值；23 判断矩阵 A 可否对角化24 (1)若 A 可逆且 AB ，证明：A *B *； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP25 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵26 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 阶实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是 r(B)=n考研数学三（线性代数）模拟试卷 130 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A2=A，所以 A(EA)=O，由矩阵秩的性质得 r(
6、A)+r(EA)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(EA)=0，A=E，选 D【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 若 1， 2， 3 线性无关，因为 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以1， 2， 3， 4 线性无关，矛盾，故 1， 2， 3 线性相关，选 B【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 若 ATA 可逆，则 r(ATA)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 r(A)=n；反之，若 r(A)=n，因为 r(ATA)=r(A)，所以 ATA 可逆，选 D【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为非齐次线性方程组 AX=b
7、的解不唯一，所以 r(A)n，又因为A*O，所以 r(A)=n1， 2 1，为齐次线性方程组 AX=0 的基础解系，选 C【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项 D 中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量6 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B 都是实对称矩阵，由EA=0 ，得 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=9，由EB=0，得 B 的特征值为 1=1， 2=3=3，因为A，B 惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A
8、，B 合同但不相似，选 C【知识模块】 二次型二、填空题7 【正确答案】 60【试题解析】 因为EA=E2A= E 3A=0 ，所以 A 的三个特征值为，1 又 AB，所以 B 的特征值为 ，1 从而 B1 的特征值为1，2，3，则 B1 +2E 的特征值为 3，4，5，故B 1 +2E=60【知识模块】 行列式8 【正确答案】 1【试题解析】 BA=O=r(A)+r(B)3，因为 r(A)2，所以 r(B)1，又因为 BO，所以 r(B)=1【知识模块】 矩阵9 【正确答案】 2【试题解析】 因为A *=A 2=4，且A0，所以A =2，又AA*=A E=2E，所以 A1 1，1，根据逆矩阵
9、之间特征值的倒数关系，则 A 的特征值为 2，1，1，于是a11+a22+a33=21+1=2【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量10 【正确答案】 4【试题解析】 由EA= =(+1)(1) 2=0 得1=1， 2=3=1因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(EA)=1，解得a=4【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 因为 A 是正交矩阵，所以 ATA=E，两边取行列式得 A 2=1，因为A0，所以A=1由E+A = ATA+A =(A T+E)A=AA T+E=A T+E =(A+E) T=E+A得E+A=0 【知
10、识模块】 行列式12 【正确答案】 因为 AB，所以 A，B 特征值相同，设另一特征值为 1，由B = 123=2 得 3=1A+E 的特征值为 2，3，2，(A+E) 1 的特征值为因为 B 的特征值为 1，2，1，所以 B*的特征值为 即为 2，1，2，于是B *=4，(2B)*= 4B*=4 3B *=256，故【知识模块】 行列式13 【正确答案】 设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例，令故 A=T，显然 ， 为非零向量设 A=T，其中 ， 为非零向量，则 A 为非零矩阵，于是 r(A)1，又 r(A)=r(T)r()=1，故 r(A)=1【知识模块】 矩阵1
11、4 【正确答案】 令 A=(1， 2， n)，ATA= r(A)=r(ATA)向量组 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是 r(A)=n，即 r(ATA)=n 或A TA0，从而 1， 2， n 线性无关的充分必要条件是【知识模块】 向量15 【正确答案】 =a+(n1)b(ab) n1 (1)当ab，a(1n)b 时，方程组只有零解； (2)当 a=b 时，方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0，其通解为 X=k1(1，1，0，0) T+k2(1，0，1，0)T+n1 (1，0，0，1) T(k1，k 2，k n 为任意常数)；(3)令当 a=(1n)b 时，r(A)=n1，显然(1，
12、1，1) T 为方程组的一个解，故方程组的通解为 k(1，1，1) T(k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 方程组()的基础解系为【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 因为 r(B)=2所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解向量， 为方程组()的基础解系；【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 方程组(I)的通解为 k11+k22= 方程组()的通解为取 k2=k，则方程组( )与方程组 ()的公共解为 k(1，1，1，1) T(其中 k 为任意常数)【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 只需证明 AX=0 与 ATAX=0
13、 为同解方程组即可 若 AX0=0，则ATAX0=0 反之，若 ATAX0=0，则 X0TATAX0=0=(AX0)T(AX0)=0=AX0=0，所以AX=0 与 ATAX=0 为同解方程组，从而 r(A)=r(ATA)【知识模块】 线性方程组【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量20 【正确答案】 E 一 A=( 21) 2(a+2)+2a 1，把 =3 代入上式得a=2，于是【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 由AEA 2=0 得 A2 的特征值为 1=2=3=1， 4=9当 =1 时，由(EA 2)X=0 得 1=(1， 0，0，0) T， 2=(0，1，0 ，0) T
14、， 3=(0，0，1，1) T；当=9 时，由(9EA 2)X=0 得 4=(0，0，1，1) T将 1， 2， 3 正交规范化得1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 将 4 规范化得令 P=(1， 2， 3， 4)=【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 因为 1， 2， 3 线性无关，所以 1+2+30， 由 A(1+2+3)=2(1+2+3)，得 A 的一个特征值为 1=2； 又由 A(1 2)=( 1 2)，A( 2 3)=( 2 3)，得 A 的另一个特征值为 1=1 因为 1， 2， 3 线性无关，所以1 2
15、 与 2 3 也线性无关，所以 2=1 为矩阵 A 的二重特征值，即 A 的特征值为 2，1，1.【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 因为 1 2， 2 3 为属于二重特征值1 的两个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 (1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且A= B 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B， 而A*=AA 1 ，B *=B B1 ， 于是由 P1 AP=B，得(P 1 AP)1 =B1 ，即P1 A1 P=B1 ， 故 P1 A A 1 P=A B
16、1 或 P1 A*P=B，于是 A*B * (2)因为 AB，所以存在可逆阵 P，使得 P1 AP=B，即 AP=PB， 于是AP=PBPP1 =P(BP)P1 ，故 APBP 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 AT=A，B T=B，从而(A+B) T=A+B，即A+B 为对称矩阵对任意的 X0，X T(A+B)X=XTAX+XTBX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 XTAX0，X TBX0，因此 XT(A+B)X 0，于是 A+B 为正定矩阵【知识模块】 二次型26 【正确答案】 因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以 BTAB 为对称矩阵，设BTAB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X TBTABX=(BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 反之，设r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0， 所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 二次型
