1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 133 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为两个 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A+B= A+B（B）若 AB=0，则 A=0 或 B=0（C） AB =A B（D）AB=AB2 设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（A）(A+B) *=A*+B*（B） (AB)*=B*A*（C） (AB) *=A*B *（D）(A+B) *一定可逆3 设则 B1 为( )（A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A 1（D）P 2A1 P14 下列命题正确的是( ) （A）若向量 1，
2、2， ， n 线性无关，A 为 n 阶非零矩阵，则A1，A 2，A n 线性无关（B）若向量 1， 2， n 线性相关，则 1， 2， n 中任一向量都可由其余向量线性表示（C）若向量 1， 2， n 线性无关，则 12， 2+3， n+1 一定线性无关（D）设 1， 2， n 是 n 个 n 维向量且线性无关， A 为 n 阶非零矩阵，且A1，A 2，A n 线性无关，则 A 一定可逆5 设 A 为 mn 阶矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（A）r(A)=m（B） r(A)=n（C） A 为可逆矩阵（D）r(A)=n 且 b 可由 A 的列向量组线性表示6 设 A，
3、B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B（C） r(A)=r(B)（D）以上都不对二、填空题7 =_8 设 n 为非零向量， 为方程组 AX=0 的解，则a=_，方程组的通解为_9 若 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，A 是三阶方阵，且A1=1+2，A 1=2+3， A 3=3+1，则A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 计算 (ai0，i=1，2，n)10 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，11 计算 PQ；12 证明 PQ 可逆的充分必要条件是
4、 TA1 b13 设 是 n 维单位列向量，A=E T证明：rn14 设 A，B 分别为 mn 及 ns 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n15 设向量组() 1， 2， 3；() 1， 2， 3， 4； () 1， 2， 3， 5，若向量组()与向量组 ()的秩为 3，而向量组()的秩为 4证明：向量组1， 2， 3， 5 4 的秩为 416 设 A 为 n 阶矩阵，若 Ak1 0，而 Ak=0证明：向量组 ，A ，A k1 线性无关17 A，B 为 n 阶矩阵且 r(A)+r(B)n证明：方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解18 设写出 的通解并说明理由18 设 A，
5、B，C ，D 都是 n 阶矩阵，r(CA+DB)=n.19 证明20 设 1， 2， r 与 1 ， 2 ， s 分别为方程组 Ax=0 与 Bx=0 的基础解系，证明： 1， 2， r， 1 ， 2 ， s 线性无关21 设 A 为 n 阶矩阵，A 110证明：非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解的充分必要条件是 A*b=022 设 问 a，b，c 为何值时，矩阵方程 AX=B有解?有解时求出全部解23 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A2=A，r(A)=r(0 rn)求5E+A24 设 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，并求 A201024 设 A 为三阶矩阵， 1
6、， 2， 3 是三维线性无关的列向量，且A1= 1+22+23，A 2=21 22 3，A 3=212 2 325 求矩阵 A 的全部特征值； 26 求A *+2E26 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1=2 是 A的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T27 求 A 的其他特征值与特征向量；28 求 A29 设 求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 P 及对角阵30 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P TAP 为正定矩阵31 设齐次线性方程组为正定矩阵，求a，并求当 时 XTAX
7、 的最大值考研数学三（线性代数）模拟试卷 133 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A，C 显然不对，设 显然 A，B 都是非零矩阵，但 AB=O，所以 AB=0 ，B 不对，选 D【知识模块】 行列式2 【正确答案】 B【试题解析】 因为(AB) *=AB(AB)1 =A BB 1 A1 =BB 1 AA 1 =B*A*，所以选 B【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 C【试题解析】 B=AE 14E23 或 B=AE23E14 即 B=AP1P2 或 B=AP2P1，所以B1 =P21 P11 A1 或 B1 =P11
8、P21 A1 ，注意到 Eij1 =Eij，于是 B1 =P2P1A1 或B1 =P1P2A1 ，选 C【知识模块】 矩阵4 【正确答案】 D【试题解析】 (A 1，A 2，A n)=A(1， 2， n)，因为 1， 2， n 线性无关，所以矩阵( 1， 2， n)可逆，于是 r(A1，A 2，A n)=r(A)，而A1，A 2，A n 线性无关，所以 r(A)=n，即 A 一定可逆，选 D【知识模块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 AX=b 有解的充分必要条件是 b 可由矩阵 A 的列向量组线性表示，在方程组 Ax=b 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n，
9、选 D【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 D【试题解析】 令 显然 A，B 有相同的特征值，而 r(A)r(B)，所以 A，B，C 都不对，选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 因为 Eij1 =Eij，所以 Eij2=E，于是【知识模块】 矩阵8 【正确答案】 a=3，k( 3，1，2) T【试题解析】 AX=0 有非零解，所以A=0，解得 a=3，于是方程组 AX=O 的通解为 k(3，1，2) T【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 2【试题解析】 令 P=(1， 2， 3)，因为 1， 2， 3 线性无关，所以 P 可逆，由AP=
10、(A1，A 2，A 3)=(1， 2， 3) 得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 =a1a2an1 +an(a2a2an2 +an1 Dn2 )=a1a2an1 1+a1anan2 an+anan1 Dn2【知识模块】 行列式【知识模块】 矩阵11 【正确答案】 【知识模块】 矩阵12 【正确答案】 PQ=A 2(b TA1 )，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0 ，即 TA1 b【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 A 2=(E T)(E T)=E2 T+T.T，因为 为单位列向量，所以 T=1，于是 A2=A由 A(EA
11、)=O 得 r(A)+r(EA)N，又由 r(A)+r(EA) rA+(EA)=r(E)=n ，得 r(A)+r(EA)=n 因为 EA= TO，所以 r(EA)=r(T)=r()=1，故 r(A)=n1n【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 令 B=(1， 2， s)，因为 AB=O，所以 B 的列向量组1， 2， s 为方程组 AX=0 的一组解，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 nr(A) ，所以向量组 1， 2， s 的秩不超过 nr(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此 r(B)nr(A)，即 r(A)+r(B)n【知识模块】 矩阵15 【正确答
12、案】 因为向量组()的秩为 3，所以 1， 2， 3 线性无关，又因为向量组()的秩也为 3，所以向量 4 可由向量组 1， 2， 3 线性表示因为向量组( )的秩为 4，所以 1， 2， 3， 5 线性无关，即向量 5 不可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故向量 5 4 不可由 1， 2， 3 线性表示，所以 1， 2， 3， 5 4 线性无关，于是向量组 1， 2， 3， 5 4 的秩为 4【知识模块】 向量16 【正确答案】 令 l0+l1A+l k1 Ak1 =0(*)(*)两边同时左乘 Ak1 得l0Ak1 =0因为 Ak1 0。所以 l0=0；(*)两边同时左乘 Ak2 得 l
13、1Ak1 =0因为Ak1 0所以 l1=0依次类推可得 l2=lk1 =0所以 ，A，A k1 线性无关【知识模块】 向量17 【正确答案】 方程组 的解即为方程组 AX=0 与 BX=0 的公共解因为 有非零解，故方程组 AX=0 与 BX=0 有公共的非零解【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 令 则()可写为 AX=0， 则()可写为BY=0，因为 1， 2， n 为(I) 的基础解系，因此 r(A)=n， 1， 2， n 线性无关，A 1=A2=A n=0=A(1， 2， n)=O=ABT=O=BAT=O =1T， 2T， ， nT 为 BY=0 的一组解，而 r(B)=n， 1
14、T， 2T， nT 线性无关，因此 1T， 2T， nT 为 BY=0 的一个基础解系【知识模块】 线性方程组【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 因为 n=r(CA+DB)=【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 因为 只有零解，从而方程组AX=0 与 BX=0 没有非零的公共解，故 1， 2， r 与 1 ， 2 ， s 线性无关【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 设非齐次线性方程组 AX=b 有无穷多个解，则，r(A)n，从而A =0，于是 A*b=A*AX=A X=0 反之，设 A*b=0，因为 b0，所以方程组 A*X=0 有非零解，从而 r(A*)n，又 A110
15、，所以 r(A*)=1，且 r(A)=n1 因为 r(A*)=1，所以方程组 A*X=0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量，而A*A=0，所以 A 的列向量组 1， 2， n 为方程组 A*X=0 的一组解向量 由A110，得 2， n 线性无关，所以 2， n 是方程组 A*X=0 的基础解系 因为 A*b=0，所以 b 可由 2， n 线性表示，也可由 1， 2， n 线性表示，故 r(A)= =n1n，即方程组 AX=b 有无穷多个解【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 令 X=(X1，X 2，X 3)，B=( 1， 2， 3)，方程组 AX=B 等价于则 AX=B 有解的
16、充分必要条件是 r(A)=r(AB)，由 r(A)=r(AB)得 a=1， b=2，c=2，此时AX1=1 的通解为AX2=2 的通解为AX3=3 的通解为则 X=(X1，X 2，X 3)=其中 k1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 因为 A2=A=A(EA)=O=r(A)+r(BA)=n=A 可以对角化由A2=A，得A.EA=0所以矩阵 A 的特征值为 =0 或 1因为 r(A)=r 且0r n，所以 0 和 1 都为 A 的特征值且 =l 为 r 重特征值=0 为 nr 重特征值，所以 5E+A 的特征值为 =6(r 重)=5(nr 重 )故5E+A=
17、5 nr 6r【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵所以 A 的特征值为1=2=1 3=4=1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有于是 a=0，b=0当 =1 时，由(EA)X=0 得 当 =1 时，由(EA)X=0 得 令所以P1 A2010P=E，从而 A2010=E【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 A( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) 因为 1， 2， 3 线性无关，所以( 1， 2， 3)可逆，故由EA=EB=(+5)(1) 2=0，得 A 的特征值为5，1
18、，1【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 因为A=5，所以 A*的特征值为 1，5，故 A*+2E 的特征值为 3，33从而A *+2E=27 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 因为 A 的每行元素之和为 5，所以有 即 A 有特征值 2=5，对应的特征向量为 又因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)3，从而 A有特征值 0，设特征值 0 对应的特征向量为 根据不同特征值对应的特征向量正交得 解得特征值 0 对应的特征向量为【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量
19、29 【正确答案】 =(+a1)(a)(a1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1=1a， 2=a， 3=1+a(1)当1aa，1a1+a，a1+n ，即 a0 且 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1=1a 时，由(1a)E AX=0 得 2=a时，由(aEA)X=0 得 2= 3=1+a 时，由 (1+a)EAX=0 得(2)当 a=0 时， 1=3=1，因为 r(EA)=2，所以方程组(EA)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化(3)当因为的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征
20、向量30 【正确答案】 首先 AT=A，因为(P TAP)T=PTAT(PT)T=PTAP，所以 PTAP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 TA0，即 XT(PTAP)X0，故 XT(PTAP)X为正定二次型，于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 二次型31 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a3)=0，即 a=1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 aij0(i=1，2，3)，所以a=3当 a=3 时，由 =(1)(4)(10)=0 得 A 的特征值为 1，4 ，10因为 A 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 Q，使得f=XTAX y12+4y22+10y3210(y12+y22+y32)而当 时，y12+y22+y32=YTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=X 2=2 所以当 时，X22AX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1=y2=0，y 3= )【知识模块】 二次型
