1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 134 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 =（A）30m（B）一 15m（C） 6m（D）一 6m2 设 A 是 n 阶矩阵，则A *A=（A） （B） （C） （D） 3 设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) *=（A）2 nA *（B） 2n1A *（C） A *（D） A *4 设 A 是 m 阶矩，B 是 n 阶矩阵，且A=a ，B=b，若 C= ，则C =（A）一 3ab（B） 3mab（C） (一 1)mn3mab（D）(一 1)(m+1)n3mab5 x=一 2 是 =0 的（A）充分必要条件（B）充分
2、而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件6 设 n 维行向量 =( )，矩阵 A=E 一 T，B=E+2 T，则 AB=（A）0（B） E（C）一 E（D）E+ T7 设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（A）A *A=AA*（B） AmAp=ApAm（C） ATA=AAT（D）(A+E)(A 一 E)=(AE)(A+E)8 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1=（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -19 设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（A）AB=0 A=0
3、 或 B=0（B） AB0 A0 且 B0（C） AB=0 A=0 或B=0 （D）AB0 A0 且B0 10 （A）AP 1P2（B） AP1P3（C） AP3P1（D）AP 2P3二、填空题11 若 的代数余子式 A12=一 1，则代数余子式 A21=_12 若 A= (4，5，6)，则A=_ 13 设 A= ，则一 2A-1=_14 设 ， 1， 2， 3 都是 4 维向量，且A= ， 1， 2， 3=4 ，B=，2 1，3 2， 3=21，则A+B=_15 已知 Dn= ，若 Dn=anDn1+kDn2，则k=_16 若 A= ，则 A2=_，A 3=_17 若 A= ，则 A*=_，
4、(A *)*=_18 设 A= ，则 A-1=_19 设矩阵 A= ， B=A2+5A+6E，则( B)-1=_20 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A22A+E=0，则(A+2E) -1=_21 若 A= ，则 (A*)-1=_22 若 A-1= ，则(3A) *=_23 设 A= 不可逆，则 x=_24 设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB=2A+B，其中 A= ，则B 一2E=_25 设 A2 一 BA=E，其中 A= ，则 B=_26 设 XA=AT+X，其中 A= ，则 X=_27 已知 A= ，矩阵 X 满足 A*X=A-1+2X，其中 A*是 A 的伴随矩阵，则 X=_三、解
5、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 若行列式的某个元素 aij 加 1，则行列式的值增加 Aij29 若行列式的第 j 列的每个元素都加 1，则行列式的值增加 Aij30 若行列式的每个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和考研数学三（线性代数）模拟试卷 134 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故应选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为A *是一个数，由kA=k nA及A *= A n1 有 A *A=A * nA =(A) nA= 故应选 C【知识模块】 线性代数3
6、 【正确答案】 C【试题解析】 (2A) *=2A n1=(2nA) n1=2nA n1=2n(n1)A *或利用(kA) *=kn1A*，那么 (2A) *=2 n1A *=(2 n1)nA *=A *故应选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 用性质有 C= =(一 1)mn3AB=(一 1)mn3mA(一 1)nB=(一 1)(m+1)n3mab故应选 D【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 对于范德蒙行列式 D= =(x1)(一 2 一1)(一 2 一 x)=3(x1)(x+2)，因为 x=一 2 时，行列式的值为 0但 D=0 时，x 可以为
7、1所以 x=一 2 是 D=0 的充分而非必要条件故应选 B【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 AB=(E 一 T)(E+2T)=E+2T 一 T 一 2TT =E+T 一2T(T)注意 T= ，故 AB=E应选 B【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AA*=A*A=AE， A mAp=ApAm=Am+p， (A+E)(AE)=(AE)(A 十 E)=A2 一 E，所以(A)、(B)、(D) 均正确AA T=，故 C 不正确【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 (A -1+B-1)-1=(EA-1+B-1)=(B-1BA-1+B-
8、1)-1 =B-1(BA-1+AA-1)-1=B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B 故应选 C【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 A= 0，但 AB=0，所以 A，B 均不正确又如 A= ，有 AB0，但A=0 且B=0 可见 D 不正确由 AB=0 有AB=0，有A=B=0故A=0 或B=0应选C【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 把矩阵 A 的第 2 列加至第 1 列然后第 1，3 两列互换可得到矩阵B， 表示矩阵 A 的第 2 列加军第 1 列即 AP1，故应在(A) 、(B)中选择而 P3
9、= 表示第 1 和 3 两列互换，所以选 B【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 2【试题解析】 按代数余子式定义 A12=(一 1)1+2 =一(5x 一 4)=一 1 x=1故 A21=(一 1)2+1 =2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 0【试题解析】 利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)=1，所以A=0或作矩阵乘法 A= ，由 A 中两行元素成比例而知A=0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 4【试题解析】 用kA=k nA及A -1= ，可知一 2A-1=(一 2)3A -1=一 8 又A=2，从而2A -1=一
10、4【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 600【试题解析】 因 A+B=(+，3 1，4 2，2 3)，故 A+B=+，3 1，4 2，2 3 =24 ， 1， 2， 3+24， 1， 2， 3 =24A +24B=600【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1【试题解析】 =anDn1+(一 1)2n1(一 1) =anDn1+(一 1)2n22Dn2=anDn1+Dn2，从而 k=1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 0【试题解析】 用定义A 11=一 3，A 12=6，A 13=一 3，A 21=6，A 22=一12
11、，A 23=6，A 31=一 3，A 32=6，A 33=一 3，故 A*= 因为 r(A*)=1， A*的二阶子式全为 0，故(A *)*=0【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 因 B=(A+2E)(A+3E)，又( B)-1=5B-1，故【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (4E 一 A)【试题解析】 由(A+2E)(A 一 4E)+9E=A22A+E=0 有 (A+2E) (4EA)=E所以 (A+2E) -1= (4E 一 A)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数
12、22 【正确答案】 【试题解析】 因为(kA) *=kn1A*，故(3A) *=32A*，又 A*=A A -1，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 x=4 或 x=一 5【试题解析】 A 不可逆A=0而故 x=4 或x=一 5【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 一 2【试题解析】 由 AB 一 2A 一 B+2E=2E，有 A(B 一 2E)一(B 一 2E)=2E，则 (AE)(B 一 2E)=2E于是 A 一 EE 一 2E=2E=8，而A 一 E=一 4，所以 B 一 2E= 一 2【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【试题解析】 由于 BA=A2 一 E，又 A 可
13、逆，则有 B=(A2 一 E)A-1=AA-1故 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【试题解析】 由 XAX=AT 有 X(AE)=AT，因为 A 可逆，知 X 与 AE 均可逆故 X=AT(AE)-1= 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 【试题解析】 左乘 A 并把 AA*=AE 代入得 AX=E+2AX，移项得 (A E 一 2A)X=E故 X=(AE 一 2A)-1由A=4 知 X=(4E 一 2A)-1=【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28 【正确答案】 对修改后的行列式第 j 列为(a 1j，a ij+1，a nj)T=(a1j
14、，a ij，a nj)T+(0，1，0) T，对它分解(性质 )，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的值为 Aij【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 对修改后的行列式第 j 列为(a 1j+1，a ij+1，a nj+1)T=(a1j，a ij，a nj)T+(1，1，1) T，对它分解(性质 )，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的第 j 列元素都是 1，增加量就是它的值，等于 Aij【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设原来行列式的列向量依次为 1， 2， s，记=(1，1，1) T则改变后的行列式为 1+， 2+， s+对它分解(用性质，先分解第 1 列，分为 2 个行列式，它们都对第 2 列分解，成 4 个行列式，)分为 2n 个行列式之和，这些行列式的第 j 列或为 ，或为 ，考虑到当有两列为 时值为 0，除去它们， 1+， 2+， s+是 n+1 个行列式之和，它们是：恰有 1 列为 ，而其它各列都不是 (这样的有 n 个)，还有一个是 1， 2， s即原来行列式于是 1+， 2+， s+ 1， 2， ， s= 1， j+， n = Aij【知识模块】 线性代数
