1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 137 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列矩阵中，正定矩阵是2 矩阵 A= 合同于3 设 A= ，则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同也不相似4 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（A）A，B 有相同的特征值（B） A，B 有相同的秩（C） A，B 有相同的行列式（D）A，B 有相同的正负惯性指数5 二次型 xTAx 正定的充要条件是（A）负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=E（C） A 的特征值全大于零（D）存在 n 阶
2、矩阵 C，使 A=CTC二、填空题6 设 A 是 n 阶矩阵，r(A)n，则 A 必有特征值_，且其重数至少是_7 设 A 是 n 阶可逆矩阵，A 是 d 的特征值，则(A *)2+E 必有特征值_8 已知一 2 是 A= 的特征值，则 x=_9 设 A 是秩为 2 的 3 阶实对称矩阵，且 A2+5A=0，则 A 的特征值是_10 已知 =(1，1，一 1)T 是矩阵 A= 的特征向量，则x=_11 设 A 是 3 阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A 必有特征向量_12 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 1=(1，2，1) T 与 2=(1，一1，1) T 分别是
3、=0 与 =1 的特征向量，则 =2 的特征向量是_13 已知 A= 相似，则x=_，y=_14 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量，则a=_15 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2 的矩阵是_16 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x22+x1x3 的负惯性指数 q=_17 若二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3 的秩为 2，则 t=_18 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3 经正交变换化为标准形y12+2y32，则 a=_。19 设三元二次型 x12+x22+5x32+
4、2tx1x22x1x3+4x2x3 是正定二次型，则t_20 已知 A= ，矩阵 B=A+kE 正定，则 k 的取值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知 A= ，求 A 的特征值、特征向量，并判断 A 能否相似对角化，说明理由22 已知 A= ， A*是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量23 已知 A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵24 已知 A 是 3 阶不可逆矩阵，一 1 和 2 是 A 的特征值，B=A 2 一 A 一 2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由25 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A
5、 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A26 已知 AB，A 2=A，证明 B2=B27 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关，如1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=328 求正交变换化二次型 x12+x22+x324x1x24x2x34x1x3 为标准形29 二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx322x1x26x2x3+6x1x3 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的变换30 设 A 是 n
6、阶实对称矩阵，若对任意的 n 维列向量 恒有 TA=0，证明 A=031 若 A 是 n 阶正定矩阵证明 A-1，A *也是正定矩阵32 设 A 是 mn 实矩阵，r(A)=n，证明 ATA 是正定矩阵33 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A+2E2 n34 已知 A= 0考研数学三（线性代数）模拟试卷 137 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 正定的必要条件 aii0，可排除(A) 、(D) (B)中 2=0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由矩
7、阵 A 的特征多项式E 一 A = =(1)( 一 3)(+2)，知矩阵 A 的特征值为 1，3，一 2即二次型正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=1故应选 B【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由E 一 A= 3 一 32，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0 又因 A是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB 因为 A，B 有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以 AB故应选 A【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是充分条件特征值一样 有相同的正、负惯性指数 合同但不是必要条件例如 A= ，特征值不同，但 AB (B)是必要条件由 C
8、TAC=B，C 可逆 r(A)=r(B)，但不是充分条件例如 A=，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同 (C)既不必要也不充分例如 A= ，行列式不同但合同，又如A= ，虽行列式相同但不合同故应选 D【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 是正定的必要条件。若 f(x1，x 2，x 3)=x12+5x32，虽 q=0，但 f 不正定。 (B) 是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不和单位矩阵E 相似，但二次型 xTAx 正定 (D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A 与E 合同，例如 C= ，则 xTAx 不正定故应选
9、C。【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 =0，=0【试题解析】 r(A)n A=0 =0 必是 A 的特征值 由 r(A)nAx=0 有非 0 解设 1， 2， nr(A)是 Ax=0 的基础解系，则 Aj=0=0j，即 j(j=1，2，n r(A)是 =0 的特征向量 因此 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量从而 =0 至少是矩阵 A 的 nr(A)重特征值 注意：k 重特征值至多有k 个线性无关的特征向量【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 +1【试题解析】 A 的特征值为 A *的特征值为 (A*)2+E 的特征值为 +1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 一
10、4【试题解析】 因为一 2 是矩阵 A 的特征值，所以由 2EA=一 12(x+4)=0x=一 4【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 一 5，一 5，0【试题解析】 因为 A 是实对称矩阵，故 A 又 r(A)=2，所以 r( )=2设A=(0)，由 A2+5A=0 得 2+5=0因此 A 的特征值为 0 或一 5从而 A所以矩阵 A 的特征值是：一 5，一 5，0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 4【试题解析】 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 因为各行元素之和都是 5，即所以矩阵 A 必有特征向量 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 t(一 1，0，
11、1) T，t0【试题解析】 设 =2 的特征向量是 =(x1，x 2，x 3)，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 x3=t，x 2=0，x 1=一 t所以=2 的特征向量是 t(一 1，0，1) T，t0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 0，1【试题解析】 由 AB，知a ii=bii，且一 1 是 A 的特征值，即 x=0，y=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 A 的特征多项式EA= =(+1)3，知矩阵 A 的特征值是 =一 1(三重根)，因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量，故从而 a=一 1【知识模块】 线性代数15 【正确
12、答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=a12x12+a22x22+a32x32+2a1a2x1x22+2a1a3x1x3+2a2a3x2x3，二次型矩阵 A= 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1【试题解析】 令() ： 0，故()是坐标变换，那么经此变换二次型化为 f=y 12+2(y1+y3)(y1y3)=2y12+y22 一 2y32 所以负惯性指数 q=1【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 r(f)=2，即 r(A)=2因A中有 2 阶子式 0，故 r(A)=2 A=0由【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 0【试题解析】 二次型及其标准形
13、的矩阵分别是 A= 在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵 不仅合同，而且相似于是由【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (一 ，0)【试题解析】 二次型矩阵 A= ，顺序主子式 1=1， 2= =1t20， 3= A= 5t24t0，所以 t(一 ，0)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 k0【试题解析】 由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为k+3，k ，k又 B 正定 k0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 由特征多项式EA= =( 一 2)(+1)2，得到矩阵 A 的特征值 =2，=一 1 由(2E
14、A)x=0 得基础解系 1=(5，一2，9) T，即 =2 的特征向量是 k11(k10) 由(一 EA)x=0 得基础解系 2=(1，一1，0) T，即 =一 1 的特征向量是 k22(k20) 因为矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 A= =B 一 E，而 r(B)=1，则有AE一 B =362所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0 故矩阵 A 的特征值是 5，一1，一 1又行列式A=5，因此 A*的特征值是 1，一 5，一 5 矩阵 B 属于 =6的特征向量是 1=(1，1，1) T，属于 =0 的特征向量是 2
15、=(一 1，1，0) T 和 3=(一1，0，1) T因此 A*属于 =1 的特征向量是 k11(k10)，属于 =一 5 的特征向量是k22+k33(k2，k 3 不全为 0)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由特征多项式EA= =( 一 1)2(+2)，知矩阵 A 的特征值为 =1=2=1， 3=一 2 因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(EA)=1而 所以 x=6 当 =1 时，由(E一 A)x=0 得基础解系 1=(一 2，1，0) T， 2=(0，0 ，1) T 当 =一 2 时，由(一 2E一 A)x=0 得基础解系 3=(一 5，1，3) T 那么，令 P=(1， 2，
16、 3)=【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为矩阵 A 不可逆，有A=0，从而 =0 是 A 的特征值由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值，则 A 于是 P-1AP= 那么 P-1A2P= -1因此 P-1BP=P-1A2PP-1AP 一 2E= 所以矩阵 B 的特征值是 =1=2=0， 3=一 2，且 B 可以相似对角化【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 r(A)=2 知A=0，所以 =0 是 A 的另一特征值 设矩阵 A属于 =0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 解出此方程组的基础解系 =(一1，1，1) T 那
17、么 A(1， 2，)=(6 1，6 2，0) ，用初等变换法解此矩阵方程得【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 AB，有 P-1AP=B，那么 B2=P-1A2P=P-1AP=B【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，即 A( 1+2+3)=(1+2+3) 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，于是 ( 1)1+(2)2+(3)3=0 因为 1， 2， 3 线性无关，故 1=0， 2=0， 3=0 即 1=2=3【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 二次型矩阵 A= ，由特征多项式EA=(+3)( 一 3)
18、2，得特征值为 1=2=3， 3=一 3 由(3EA)x=0 得基础解系 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1，O，1) T，即 =3 的特征向量是1， 2 由(一 3E 一 A)x=0 得基础解系 3=(1，1， 1)T 对 1， 2 经 Schmidt 正交化，有 1=1， 2=2 一 。单位化，得那么，令 x=Qy，其中Q=(1， 2， 3)，则有 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yT y=3y12+3y22 一 3y32【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 二次型矩阵 A= ，由二次型的秩为 2，即矩阵 A的秩 r(A)=2，则有 A=24(c 一 3)=0 c=3用配
19、方法求规范形和所作变换 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+3x32 一 2x1x2+6x1x36x2x3 =3(x3+x1+x2)23(x1 一 x2)2+5x12+5x22 一 2x1x2 =3(x1x2+x3)2+2x12+2x22+4x1x2 =3(x1x2+x3)2+2(x1+x2)2 令则 f(x1，x 2，x 3)=y12+y22，为规范二次型所作变换为【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 n 维向量 恒有 TA=0，那么令 1=(1，0，0，0) T，有1TA1=(1，0，0，0) =a11=0类似地，令i=(0， 0，0，1，0，0) T(第 i 个分量为 1
20、)，由 iTAi=aii=0 (i=1，2，n)。 令 12=(1，1，0，0) T，则有 12TA12=(1，1，0，0)=a11+a22+2a120故 a12=0类似可知aij=0(i，j=1，2，n)所以 A=0【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 因 A 正定，所以 AT=A那么(A -1)T=(AT)-1=A-1，即 A-1 是实对称矩阵 设 A 的特征值是 1， 2， n，那么 A-1 的特征值是 ，由A 正定知 0(i=1，2，n)因此 A-1 的特征值 0(i=1 ，2，n)从而 A-1 正定 A *=AA -1，A0，则 A*也是实对称矩阵，并且特征值为都大于 0从而 A
21、*正定【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 由(A TA)T=AT(AT)T=ATA，知 ATA 是实对称矩阵又 r(A)=n， 0，恒有 A0从而 (ATA)=(A)T(A)=Aa20故 ATA 正定【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 设矩阵 A 的特征值是 1， 2， n因为 A 正定，故特征值i0(i=1，2，n)又 A+2E 的特征值是 1+2， 2+2， n+2，所以 A+2E=( 1+2)(2+2)( n+2)2 n【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 令 C1= ，C=C 1C2，则 C 是可逆矩阵，且 CTAC=CTTAC1C2=C1T ，则AB由于 A 正定，故 B 正定，从而 B 的顺序主子式 0【知识模块】 线性代数
