1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 139 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 则必有( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B2 设 n 维列向量组 1， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组 1， m 线性无关的充分必要条件为( )（A）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（B）向量组 1， m 可由向量组 1， m 线性表示（C）向量组 1， m 与向量组 1， m 等价（D）矩阵 A=1 m与矩阵 B=1 m等价3 已知 Q= ，P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则( )（A
2、）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 24 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x224x 324x 1x22x 2x3 的标准形是( )（A）2y 12y 223y 32（B） 2y12y 223y 32（C） 2y12+y22（D）2y 12+y22+3y32二、填空题5 6 方程 f(z)= =0 的全部根是_7 已知 =(1， 2，3) ，=(1，12，13)，矩阵 A=T，n 为正整数，则An=_8 设 3 阶方阵 A、B 满足 A2BAB=E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，若 A=
3、，则|B|=_9 已知向量组 1=(1，2，1，1)， 2=(2，0，t，0)， 3=(0，4，5，2)的秩为2，则 t=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 B 是元素全都为 1 的 n 阶方阵(n1)证明：(EB) 1 =E B11 设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A2=E，B 2=E，|A|+|B|=0，证明：|A+B|=0 11 12 求 An(n=2，3，)；13 若方阵 B 满足 A2+ABA=E ，求 B14 设 4 阶实方阵 A=(aij)44 满足： (1)a ij=Aij(i，j=1， 2，3，4，其中 Aij 是 aij 的代数余子式)； (2)
4、a 110，求|A|15 设矩阵 矩阵 X 满足关系式 AX+EA 2+X，求矩阵 X16 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 AkX=0 有解向量 ，且Ak1 0，证明：向量组 ，A，A k1 线性无关17 设向量组() ： 1， 2， ， r 线性无关，向量组()可由向量组()：1， 2， s 可由() 线性表示： j=a1j1+a2j2+arjr(j=1，2，s)证明：向量组() 线性无关 矩阵 A=(aij)rs 的秩为 s18 已知线性方程组 的一个基础解系为：(b11，b 12，b 1，2n )T，(b 21，b 22，b 2，2n )T，(b n1，b n2，
5、b n，2n )T试写出线性方程组 的通解，并说明理由19 取何值时，方程组 无解、有唯一解、有无穷多组解? 在有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解19 已知线性方程组20 a，b，c 满足何种关系时，方程组仅有零解 ?21 a，b，c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解22 已知 3 阶矩阵 A 的第 1 行是(a，b，c) ，矩阵 B= (k 为常数)，且AB=O，求线性方程组 Ax=0 的通解23 已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 A= 的逆矩阵 A1 的特征向量，试求常数k 的值及与 对应的特征值24 已知矩阵 A=(aij)nn 的秩为 n1，
6、求 A 的伴随矩阵 A*的特征值和特征向量24 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=( 1，2，3) T，都是 A 的属于特征值 6 的特征向量25 求 A 的另一特征值和对应的特征向量；26 求矩阵 A27 设矩阵 Ann 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B2考研数学三（线性代数）模拟试卷 139 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 注意依次对 A 施行下列两种初等行变换，即得矩阵 B：先将 A 的第1 行加到第 3 行，再
7、将所得矩阵的 1、2 两行互换两次初等行变换所对应的初等方阵依次为 P2、P 1，故有 B=P1P2A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 当 A=1 m与 B=1 m等价时， A 与 B 有相同的秩由已知条件知 A 的秩为 m，故 B 的秩亦为 m，即 1， m 线性无关；若 1， m 线性无关，则矩阵 A 与 B 有相同的秩 m，A 与 B 义都是 nm 矩阵，故 A 与 B 有相同的秩标准形(矩阵)P ，于是 A 与 P 等价，B 也与 P 等价，由等价的性质即知 A与 B 等价综上可知 D 正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 PQ=O 说明 Q
8、 的每一列都是齐次方程组 Px=0 的解向量，当 t1时矩阵 Q 的秩为 2，故此时有 3r(P)2，即 r(P)1，又 PO，有 r(P)1，故当 t1时必有 r(P)=1【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 f 即不正定(因 f(0，0，1)=40)，也不负定(因 f(1，0，0)=20)，故 B、 D 选项都不对；又 f 的秩=矩阵 的秩=3，故 C 选项不对，只有A 选项正确或用配方法：f=2(x 1x 2)2x 224x 322x 2x3=2(x1x 2)2(x 2+x3)23x 32=2y12y 223y 32，其中所作满秩线性变换为故 A 正确【知识模块】 线性
9、代数二、填空题5 【正确答案】 1x 2y 2z 2【试题解析】 将第 2 列的(x)倍、第 3 列的(y)倍、第 4 列的(z)倍都加到第1 列，则化成了上三角行列式【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 x=0，x=1f(z)=5x(x1)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【试题解析】 A n=(T)(T)( T)(T)=T(T)( T)=T3n1 =3n1 T【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 12【试题解析】 (A 2E)B=A+E， (A+E)(AE)B=A+E，因 A+E 可逆，两端左乘(A+E)1 ，得(AE)B=E，两端取行列式，得|A E|B|=1，因|AE|=2，
10、得|B|=12【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 3【试题解析】 由知其秩为 2t=3【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由(E B)(E)B=EO=E(其中 B2=nB)，(EB) 1 =E B【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A 2=E， |A|=1，同理有|B|=1，又|A|=|B| ， |A|B|=1|A+B|=|AE+EB|=|AB 2+A2B|=|A(B+A)B|=|A|B+A|B|=|A+B|， |A+B|=0【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A 2=4E A2m=(A2)m=4mE
11、，A 2m+1=A2mA=4mA(m=1，2，) ；【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A 2=4E， A1 =14A，B=A 1 (E+AA 2)=A1 +EA= A+EA=E A=14(4E3A)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 a ij=Aij(i， j=1，2，3，4)，AT=A*， |A|=|AT|=|A*|A3|， |A|=0，1，1，又|A|= a1jA1j= a1j20， |A|=1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (AE)X=A 2E，且 AE 可逆 X=(AE) 1 (AE)(A+E)=A+E【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设有一组数 0，
12、1， k1 使 0+1A+ k1 Ak1 =0，两端左乘 Ak1 ，由于 Akm =0(m=0，1，2，)， 0Ak1 =0，又Ak1 0， 0=0，同理可证 1= k1 =0，故 ，A，A k1 线性无关【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 不妨设 i(i=1，r)及 j(j=1，s) 均为 n 维列向量，则题设的线性表示或可写成矩阵形式： 1 2 s=1 2 rA，或 B=PA，其中 B=1 2 s为 ns 矩阵，P= 1 2 r为 nr 矩阵，且 P 的列线性无关于是可证两个齐次线性方程组 Bx=0 与 Ax=0 同解：若 Bx=P(Ax)=0，因 P 的列线性无关，得Ax=0；若
13、Ax=0，两端左乘 P，得 PAx=Bx=0，所以 Bx=0 与 Ax=0 同解， sr(B)=sr(A)， r(B)=r(A)， ()线性无关 (B)=s r(A)=s【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 记方程组()、() 的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的()的基础解系中的 n 个向量就是 B 的 n 个行向量的转置向量，因此，由()的已知基础解系可知 AB T=O 转置即得 BAT=O 因此可知 AT 的 n 个列向量即 A 的 n 个行向量的转置向量都是方程组()的解向量 由于 B 的秩为 n，故()的解空间的维数为 2nn=n，所以() 的任何 n 个线性无关的解就是(
14、)的一个基础解系已知()的基础解系含 n 个向量，故 2nr(A)=n，得 r(A)=n，于是 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成()的一个基础解系，因此()的通解为 yc1(a11，a 12，a 1，2n )T+c2(a21，a 22，a 2，2n )T+cn(an1，a n2，a n，2n )T(c1，c 2，c n 为任意常数)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 当 2 且 1 时有唯一解；当 =2 时无解；当 =1 时有无穷多组解，通解为 x=(200) T+c1(1，1，0) T+c2(1，0，1) T【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答
15、案】 系数行列式|A|=(ba)(ca)(cb)，故当 a，b，c 两两不相等时，方程组仅有零解【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 当 a=bC 时，全部解为 x=k1(1，1，0) T；当 a=cb 时，全部解为 x=k2(1，0，1) T；当 b=c=a 时，全部解为 x=k3(0，1，1) T；当 a=b=c 时，全部解为 x=k4(1，1，0) T+k5(1，0，1) T【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由于 AB=O，知 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解，因此 Ax=0至少有 r(B)个线性无关解，所以 Ax=0 的基础解系至少含 r(B)个向量，即 3r(A)r
16、(B)，或 r(A)3r(B)又由 a，b，c 不全为零，可知 r(A)1当 k9 时，r(B)=2，有 1r(A)1，于是 r(A)=1；当 k=0 时，r(B)=1，有 1r(A)2于是 r(A)=1 或r(A)=2当 k9 时，由 AB=O 可得 由于 1=(1，2，3)T， 2=(3，6， k)T 线性无关，故 1， 2 为 Ax=0 的一个基础解系，于是 Ax=0 的通解为 x=c11+c22，其中 c1，c 2 为任意常数当 k=9 时，分别就 r(A)=2 和 r(A)=1 讨论如下：如果 r(A)=2则 Ax=0 的基础解系由一个向量构成又因为 A =0，所以Ax=0 的通解为
17、 x=c1(1，2，3) T，其中 c1 为任意常数如果 r(A)=1，则 Ax=0 的基础解系由两个向量构成又因为 A 的第一行为(a，b，c)且 a，b，C 不全为零，所以 Ax=0 等价于 ax1+bx2+cx3=0不妨设 a0，则 1=(b，a，0) T， 2=(c ，0，a)T 是 Ax=0 的两个线性无关的解，从而 1， 2 可作为 Ax=0 的基础解系故 Ax=0的通解为 x=c11+c22，其中 c1，c 2 为任意常数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 A1 =， =A，亦即解之即得 k=2，=1；或k=1，=14 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 A*
18、A=|A|E=0，知 A 的 n1 个线性无关的列向量都是方程组A*x=0 的解向量，即 =0 至少是 A*的 n1 重特征值，而上述 n1 个列向量即为对应的线性无关特征向量又由全部特征值之和等于 A*的主对角线上元素之和A11+A22+Am，故 A*的第 n 个特征值为 Aii，由于 r(A*)=1，故 A*的列成比例，不妨设(A 11，A 12，A 1n)T0，则存在常数 k2，k n，使于是有Aii=A11+k2A12+knA1n，且使因此，(A11， A12，A 1n)T 为 A*的对应于特征值 Aii 的特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为
19、1=2=6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1， 2， 3 的一个极大无关组为 1， 2，故1， 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量由 r(A)=2 知|A|=0，所以 A 的另一特征值为 3=0设 3=0 对应的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，则有iT=0(i=1， 2)，即 解得此方程组的基础解系为 =(1，1，1) T，即 A 的属于特征值 3=0 的特征向量为 k=k(1， 1，1) T(k 为任意非零常数)【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 令矩阵 P=1 2 3，则有 P1 AP计算可得【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因 A 正定，故有正交阵 P，使 且i0(i=1，2，n)则 B 正定，且使 A=B2【知识模块】 线性代数
