1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 142 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为( )2 设矩阵 A 的秩为 R(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则( )（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C） A 通过初等行变换，必可以化为(I m O)的形式（D）非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多组解3 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=
2、b 所对应的齐次线性方程组，则( )（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解（D）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解二、填空题4 5 设矩阵 A 满足 A2+A4E=O，则(AE) 1 =_6 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足 ABA*=2BA*+E，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则|B|=_7 若向量组 1=(1a，1，1) T， 2=(1，1，a ，1) T， 3=(1，1，1，a) T 线性无关，则实数 a 的取值范围是 _8 设 3 阶
3、矩阵 A 的特征值为 12，12，13，则行列式 |(12A 2)1 +12A*=E|=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设行列式 不具体计算 D，试利用行列式的定义证明D=010 设矩阵 矩阵 A 满足关系式A(EC 1 B)TCT=E，化简此关系式并求矩阵 A11 已知 3 阶方阵 A 的行列式|A|=2，方阵 B= 其中 Aij 为 A 的(i ，j)元素的代数余子式，求 AB12 设 n 个 n 维列向量 1， 2， n 线性无关，P 为 n 阶方阵，证明：向量组P1，P 2，P n 线性无关 |P|013 r(AB)minr(A)，r(B)13 设 4 元齐次
4、线性方程组()为 又已知某齐次线性方程组()的通解为k1(0，1 ，10) T+k2(1，2，2，1) T14 求线性方程组() 的基础解系；15 问线性方程组() 和() 是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由16 设 X=(xij)33，问 a、b、c 各取何值时，矩阵方程 AX=B 有解? 并在有解时，求出全部解16 已知下列非齐次线性方程组()，() ：17 求解方程组() ，用其导出组的基础解系表示通解；18 当() 中的参数 m，n ，t 为何值时，方程组()与()同解19 设有向量组() ： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1
5、，1，a+2) T 和向量组()： 1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2， 1，a+4) T试问：当 a 为何值时，向量组() 与 ()等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?20 设矩阵 A= ，已知 A 有 3 个线性无关的特征向量，=2 是 A 的 2 重特征值试求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角形矩阵20 已知矩阵 A= 相似21 求 x 与 y 的值；22 求一个满足 P1 AP=B 的可逆矩阵 P23 若矩阵 A= 相似于对角矩阵 ，试求常数 a 的值；并求可逆矩阵 P，使P1 AP=24 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x1
6、2+3x22+332+2ax2x3(a0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32，求参数 a 及所用的正交变换矩阵 P25 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1，X n 分别为对应于1、 n 的特征向量，记 f(X)=X TAXX TX，X Rn， X0 证明：二次型 f(X)=XTAX在 XTX=1 条件下的最大(小)值等于实对称矩阵 A 的最大 (小)特征值25 已知矩阵 B= 相似于对角矩阵26 求常数 a 的值；27 用正交变换化二次型 f(X)=XTBX 为标准形，其中 X=(x1，x 2，x 3)T 为 3 维向量考研数学三（线性代数）模拟
7、试卷 142 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 记交换单位矩阵的第 1 列与第 2 列所得初等矩阵为 E(1，2)，记将单位矩阵第 2 列的 k 倍加到第 3 列所得初等矩阵为 E(3，2(k)，则由题设条件，有AE(1，2)=B ，BE(3 ，2(1)=C，故有 AE(1，2)E(3，2(1)=C，于是得所求逆矩阵为Q=E(1，2)E(3，2(1) 所以只有选项 D 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 此时有 m=R(A)R(A b)m， R(A)=R(A b)=mn，故方程组Ax=b 必有无穷多
8、组解【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 当 Ax=b 有无穷多个解时，设 x1、x 2 是 Ax=b 的两个不同解，则由A(x1 x2)=Ax1Ax 2=bb=0 知 x1x 2 为 Ax=0 的一个非零解【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 x 4【试题解析】 先把第 2，3，4 列都加到第 1 列并提出第 1 列的公因子 x，再将第1 列的 1 倍、(1) 倍、1 倍分别加至第 2，3，4 列，然后按第 4 行展开【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 12(A+2E)【试题解析】 O=A 2+A 4E=(AE)(A+2E)2E ， (AE)(A+2E)=2
9、E， (AE)12(A+2E)=E， (AE) 1 =12(A+2E)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 19【试题解析】 由于 A*A=|A|E=3E，用 A 右乘题设方程两端，得3AB=6B+A， 3(A2E)B=A，两端取行列式，得 27|A2E|B|=|A|，因|A2E|=1，|A|=3，得|B|=19【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 a1【试题解析】 由 1 2 3知 1， 2， 3 线性无关r(1， 2， 3)：3 a1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 1620【试题解析】 |A|= =112，A *=|A|A1 =112A 1 ，(1 2A 2)1 +12A*E=
10、2(A 1 )2+A1 E=f(A 1 )，其中 f(x)=2x2+x1，A 1 的特征值为2，2，3，故 f(A1 )的特征值为 f(2)=9，f(2)=9，f(3)=20，故|f(A 1 )|=9920=1620【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 按定义分别取自D 的第 3、第 4、第 5 行和 D 的 3 个不同列，而 D 的后 3 行中取自 3 个不同列的元素中最多有 2 个不为零，最少有 1 个为零，即 这 3 个数中至少有 1 个为零，因而 D 的展开式中每一项都为零，从而知 D=0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 化简
11、成 A(CB) T=E，故 A=(CB) T1 =(CB) 1 T【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 B 可看作是由 A*交换 1、3 两列得到的，故【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 向量组 P1，P 2，P n 线性无关 行列式|P1P2P n|0 |P|12 n|0(注意由条件有行列式| 12 n|0) |P|0【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 只要证 r(AB)r(A)，而且 r(AB)r(B) 显然 Bx=0 的解都是ABx=0 的解，由 r(A)r(B)，即得 r(B)r(AB)又 r(AB)=r(AB)T=r(BTAT)，利用已证的结论，有 r(BTAT)r(
12、AT)=r(A)，即得 r(AB)r(A)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(1，1，0，1) T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 有非零公共解，所有非零公共解为 c(1，1，1，1) T(c 为任意非零常数)将()的通解代入方程组( )，有 解得 k1=k 2，当k1=k 20 时，则向量 k1(0，11，0) T+k2(1，2，21) T=k2(0，1，1，0)T+( 1，2，2，1) T=k2(1，1，1，1) T 满足方程组()(显然是()的解)，故方程组()与() 有非零公共解，所有非零公共解是 c(1，1，1，1) T(
13、c 为任意非零常数)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由下列矩阵的初等行变换：可见，r(A)=rA B a=1，b=2 ，c=1，于是由上题知 Ax=B 有解 a=1，b=2，c=1此时，对矩阵 D 作初等行变换： 于是若将矩阵 B 按列分块为 B=b1 b2 b3，则得方程组 Ax=b1 的通解为：x 1=(1+k，k，k)T；方程组 Ax=b2 的通解为：x 2=(2+l，2+l ，l) T；方程组 Ax=b3 的通解为：x3=(1+m， 1+m，m) T，所以，当 a=1，b=2，c=1 时有解，全部解为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 x=(2，4
14、，5，0) T+k(1，1，2，1) T；【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 将() 的通解 x=(x1，x 2，x 3，x 4)=(2+k，4+k，5+2k，k) T 代入()的第 1 个方程，得2+k+m( 4+k)(5+2k)k= 5，即(34m)+(m2)k=5，由 k 的任意性得 m=2，将 x 代入()的第 2 个方程得 n=4，将 x 代入()的第 3 个方程得 t=6故当 m=2，n=4，t=6 时，()的解都是()的解，此时，由( )的增广矩阵的初等行变换：得()的通解为x=(2，4，5，0) T+c(1，1，2，1) T，可见()与()的通解相同，故当m=2， n=4
15、， t=6 时，() 与 () 同解【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 1 由于行列式| 1 2 3|=a+1，故当 a1 时，方程组x11+x22+x33=i(1，2，3)均有解(且有唯一解)，即向量组()可由()线性表示；又因行列式| 1 2 3|=60，同理可知向量组()可由()线性表示所以，当 a1时，向量组() 与()等价当 a=1 时，由于秩 1 2 3秩 1 2 3 1，故方程组 x11+x22+x33=1 无解，即向量 1 不能由向量组()线性表示，所以此时向量组()与() 不等价2 若( )与()等价，则秩()=秩()，而秩()=3， 秩()=3， 行列式 |1 2 3
16、|=a+10， a1；反之，若 a1，则()与()都是线性无关组，又因由 4 个 3 维向量构成的向量组 1， 2， 3， i 线性相关， i 可由1， 2， 3 线性表示(i=1，2，3)，即()可由( )线性表示，同理知()可由()线性表示，所以当 a1 时，()与( )必等价综上可知，()与()等价a 1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由于 =2 是 A 的 2 重特征值，故 3r(2EA)=2，或 r(2EA)x=2，y= 2；由 2+2+3=1+4+5，得 A 的另一特征值为3=6由 得属于 1=2=2 的线性无关特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T由
17、 6EA得属于 3=6 的线性无关特征向量3=(1，2，3) T，故得【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 x=0，y=1；【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=6， 3=2，由 r(6EA)=1 得 a=0【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 f 的矩阵 A= ，标准形的矩阵为 D= ，因P1 AP=PTAP=D，知 A 的特征值为 1，2，5，由 125=|A|=2(9a 2)， a=2计算可得属于 1，2，5 的单位特征向量分别可取为 (0，1，1) T，(1，0，0)T， (0，1， 1
18、)T，于是所用正交变换的矩阵可取为【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设 n 为 A 的最大特征值，X n 为对应的单位特征向量，即有AXn=nXn，X nTXn=1在 XTX=1 条件下，可知，X TAXn，又XnTAXn=XnTnXn=nXnTXn=n，故 XTAX=n=f(Xn)类似可证XTAx=1=f(X1)，其中 1 为 A 的最小特征值，X 1 为对应的单位特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 B 的特征值为 6，6，2，由 B 可相似对角化，有 1=r(6EA)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 f 的矩阵为 A=12(B+B T) 所求正交矩阵可取为它使 PTAP 故 f 在正交变换 X=PY 下化成的标准形为f=6y12+7y223y 32【知识模块】 线性代数
