1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 143 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n(n2)阶可逆矩阵，变换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，A *，B *分别为A，B 的伴随矩阵，则( )（A）交换 A*第 1 列与第 2 列得 B*（B）交换 A*第 1 行与第 2 行得 B*（C）交换 A*第 1 列与第 2 列得B *（D）交换 A*第 1 行与第 2 行得B *2 若向量组 1， 2， 3 线性无关； 1， 2， 4 线性相关，则( )（A） 1 必可由 2， 3， 4 线性表示（B） 2 必不可由 1， 3， 4 线性表示（C
2、） 4 必可由 1， 2， 3 线性表示（D） 4 必不可由 1， 2， 3 线性表示3 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为r，则( )（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解二、填空题4 5 设 A 为 n 阶方阵，且|A|=a0 ，则|A *|=_6 设 A= ，B=P 1 AP，其中 P 为三阶可逆矩阵，则B2004 2A2=_7 设 3 阶方阵 A 的特征值 1， 2， 3 互不相同， 1， 2， 3
3、依次为对应于1， 2， 3 的特征向量，则向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关的充分必要条件是 1， 2， 3 满足_ 8 设 n 阶方阵 A 的特征值为 2，4，2n，则行列式 |3EA|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 证明(其中 ab)三对角行列式(其中未写出的元素均为 0)10 设矩阵 A 的伴随矩阵 矩阵 B 满足关系式ABA1 =BA1 +3E，求矩阵 B11 设矩阵 A= ，矩阵 B 满足(A *)1 BA*=BA*+8A，其中 A*为 A 的伴随矩阵，求矩阵 B12 设向量 可由向量组 1， 2， n 线性表示，证明：表示唯一的充分必
4、要条件是向量组 1， 2， n 线性无关13 若 r(Amn)=n，则对任何 Bnp，有 r(AB)=r(B)即用列满秩矩阵 A(A 的秩等于 A的列数，则称 A 为列满秩矩阵)左乘 B，不改变矩阵的秩14 设 A 为 mn 矩阵证明：对任意 m 维列向量 b，非齐次线性方程组 Ax=b 恒有解的充分必要条件是 r(A)=m15 已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1：ax+2by+3c=0 l 2：bx+2cy+3a=0 l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=016 设 为可逆方阵 A 的一个特征值，证明： (1)1 为 A1 的特征值； (2
5、)|A|为 A 的伴随矩阵 A*的特征值16 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2， 3=3，对应的特征向量依次为 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，4) T， 3=(1，3，9) T，又 =(1，1，3) T17 将向量 用 1， 2， 3 线性表出；18 求 A*(n 为正整数 )19 设矩阵 A= 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 对应的特征值，其中 A*是矩阵A 的伴随矩阵试求 a、b 和 的值20 已知二次曲面方程 x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4 可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程 2+42=4求 a，b 的值和正交矩阵 P21 设 1、 n 分别
6、为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1，X n 分别为对应于1、 n 的特征向量，记 f(X)=XTAXX TX，X Rn， X0 求二元函数 f(x，y)=(x2+y20)的最大值及最大值点21 已知线性方程组 有非零解，而且矩阵 是正定矩阵22 求常数 a 的值；23 求当 xTx=2 时，X TAX 的最大值，其中 X=(x1，x 2，x 3)T 为 3 维实向量24 设二次型 f(x1，x 2，x 3)经正交变换 化成了标准形f=4y12+y222y 32，求二次型 f(x1，x 2，x 3)24 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=(1a)x 12+(1a)x 22+2x
7、32+2(1+a)x1x2 的秩为 225 求 a 的值；26 求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形；27 求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解考研数学三（线性代数）模拟试卷 143 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 记交换 n 阶单位矩阵的第 1 行与第 2 行所得初等方阵为 P，则有PA=B， |B|=|A|，P 1 =P且由 A 可逆知 B 可逆于是由 B*=|B|B1 ，得B*=|A|(PA) 1 =(|A|A 1 )P1 =A *P，或 A*P=B *，再由初等列变换与初等方阵的
8、关系知，交换 A*的第 1 列与第 2 列得B *，因此选项 C 正确【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 由部分组与整体组线性相关性的关系，知 1， 2 线性无关，而1， 2， 4，线性相关， 1=11+22=11+22+03，即 4 可由 1， 2， 3 线性表示【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 当 r=m，即 mn 矩阵 A 的行向量组线性无关时，增广矩阵 A=A b的 m 个行向量也线性无关，即知有 r(A)=r( )=m，故 Ax=b 有解【知识模块】 线性代数二、填空题4 【正确答案】 1a+a 2a 3+a4a 5【试题解析】 先把第 2，
9、3，4，5 行都加至第 1 行，再按第 1 行展开，得D5=1 aD4，一般地有 Dn=1aD n1 (n2)，并应用此递推公式【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 a n1 【试题解析】 由 AA*=|A|E 两端取行列式，得|A|A *|=|A|n， |A*|=|A|n1 =an1 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【试题解析】 由于 A2 A4=(A2)2=E，A 2004=(A4)501=E501=E，故 B20042A 2=p1 A2004P2A 2=E2A 2【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 230【试题解析】 设 k11+k2A(1+2)+k3A2(1+2+3)=0
10、，由 Aj=jj(j=1，2，3)，得k11+k2(11+22)+k3(121+222+323)=0，即(k 1+1k2+12k3)1+(2k2+22k3)2+(32k3)3=0，因属于不同特征值的特征向量线性无关，得齐次线性方程组故向量组 1，A( 1+2)，A2(1+2+3)线性无关 方程组(*)只有零解 方程组(*)的系数行列式= 2320，故所求条件为 230【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (1) n1 135(2n3)【试题解析】 由条件知存在可逆矩阵 P，使 P1 AP=diag(2，4，2n)，故有P1 (3EA)P=3EP 1 AP=3Ediag(2，4，2n)=dia
11、g(1，1，32n)，两端取行列式，得|3E A|=1(1)(3 2n)=( 1)n1 135(2n3)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 先按第 1 行展开，并将(1，2)元素的余子式按第 1 列展开，得递推关系式 Dn=(a+b)Dn1 abD n2 ， DnaD n1 =b(Dn1 aD n2 )，DnaD n1 =bn2 (D2aD 1)=bn，对称地有 DnbD n1 =an，再由方程组亦可用数学归纳法证明【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 由|A *|=|A|n1 ，有|A| 3=8，得|A|=2给题设方程两端右乘 A，得
12、AB=B+3A，两端左乘 A*并利用 A*A=|A|E=2E，得 2B=A*B+6E， (2EA *)B=6E， B=6(2EA *)1【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 |A|=1，(A *)1 =1|A|A=A ，故题设方程即 ABA*=BA*+8A，两端右乘 A 并利用 A*A=|A|E=E，得 AB=B+8A2， (AE)B=8A 2， B=8(AE) 1A2【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由条件有 k11+k22+knn= 必要性设表示唯一，若11+22+ nn=0，与 两端分别相加，得(k 1+1)1+(k2+2)2+(kn+n)n= ，由表示唯一，比较与，得 kj
13、=kj+j(j=1，2，n)j=0(j=1，2，n)， 1， 2， n 线性无关充分性：设 1， 2， n线性无关，若还有 s11+s22+snn=，得(k 1s 1)1+(k2s 2)2+(kns n)n=0，由 1， 2， n 线性无关，得 kj=sj(j=1，2，n)，即式必为式，故表示唯一【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 若 Bx=0，两端左乘 A，得 ABx=0，这说明方程组 Bx=0 的解都是方程组 ABx=0 的解；反之，若 ABx=0，即 A(Bx)=0，因 A 的列向量组线性无关，故方程组 Ax=0 只有零解，因此由 A(Bx)=0 得 Bx=0，这说明 ABx=0
14、的解都是Bx=0 的解以上两方面说明方程组 Bx=0 与方程组 ABx=0 同解，由 r(A)=r(B)即得r(AB)=r(B)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 必要性：由必要性假定，对 j=(0，0，10，0) T(第 j 个分量为 1，其余分量均为零)，方程组 Ax=j 有解 cj，即 Acj=j(j=1，2，m)，故有Ac 1 Ac2Acm=1 2 m=Em，记矩阵 c=c1 c2cm，则有 Ac=Em，故有m=r(Em)=r(Ac)r(A)m， r(A)=m；充分性：若 r(A)=m，则 A 的行向量组线性无关，故增广矩阵 b的行向量组也线性无关， )=m，由有解判定定理知方程
15、组 Ax=b 有解，其中 b 为任意 m 维列向量【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 考虑由三直线方程联立所得线性方程组则三直线交于一点)=2，其中 必要性由r( |=3(a+b+c)(ab) 2+(bc) 2+(ca) 2=0，又 a、b、c 不全相等(否则三直线重合，从而有无穷多交点，与必要性假定交于一点矛盾)， a+b+c=0充分性若 a+b+c=0，由必要性证明知| )3又系数矩阵 A 中有一个 2 阶子式方程组(*)有惟一解，即三直线交于一点【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 为 A 的特征值，知存在非零列向量 x，使 Ax=x，由此知0，否则 =0，则有 Ax=0，
16、 |A|=0，这与 A 可逆矛盾，故 0用 A1 左乘Ax=x 两端，再用 1 两端，得 A1 x=1x ，由定义即知 1 为 A1 的一个特征值且 x 为对应的特征向量因 A1 =1|A|A *，故由 A1 x=1x，即1|x|A *=1x， A*x=|x|x ，所以，|A| 为 A*的一个特征值且 x 为对应的特征向量【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 =2 1 22+3；【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A i=ii， Ani=ini(i=1，2，3)A n=An(212 2+3)=2An12A n2+An3=21n12 2n2+3n3【知识模块】 线
17、性代数19 【正确答案】 由 A 可逆知 A*可逆， 0，|A|0由 A*= 两端左乘 A 并利用 AA*=|A|E，得|A|=A A=|A|，即 比较两端对应分量，得关于 a、b 和 的方程组 解之得 a=2，b=1，=1；或a=2，b=2，=4【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 有P1 AP=PTAP=D， 1=0， 2=1， 3=4，对于 1=0，由 0EAA得属于 1 的特征向量(1，0，1) T；对于 2=1，由 EA得属于 2 的特征向量(1，1，1) T；对于 3=4，由4EA 得属于 3 的特征向量(1，1，1)T将以上特征向量再单位化，得所求的正交矩阵可取为【知识模块】
18、 线性代数21 【正确答案】 32，在 x=1，y= 1 处取到【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由方程组的系数行列式=a(a+1)(a3)=0， a 的取值范围为：0，1，3，再由矩阵 A 正定，得 a=3【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 的最大特征值为 10，设对应的单位特征向量为髻 (即 A=10，且 T=1)对二次型 XTAX，存在正交变换 X=PY 化其为标准形：XTAX=1y12+2y22+3y3210(y12+y22+y32)，当 XTX=YTY=y12+y22+y32=2 时，有XTAX103=20，又 X0= 满足 X0TX0=2，则
19、 X0TAX0=( )=2T(A)=2T(10)=20(T)=20，综上可知 XTAX=20【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 f=X TAx(A 为实对称矩阵)，所用正交变换的矩阵为p1 AP=PTAP=diag(4，1，2)， A=Pdiag(4，1，2)P Tf(x1，x 2，x 3)=2x12+x224x 1x24x 2x3【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由于二次型 f 的秩为 2，即对应的矩阵=4a=0，得 a=0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 当 a=0 时，A= 计算可得 A 的特征值为1=2=2， 3=0解齐次线性方程组(2EA)
20、x=0，得 A 的属于 1=2 的线性无关的特征向量为 1=(1，1，0) T， 2=(0，0，1) T 解齐次线性方程组(0E A)x=0，得 A 的属于 3=0 的线性无关的特征向量为 3=(1，1，0) T 易见 1， 2， 3 两两正交将1， 2， 3 单位化得 A 的标准正交的特征向量为 e1= (1，1，0) T，e 2=(0，0，1)T， e3= (1 ，1，0) T 取 Q=(e1，e 2，e 3)，则 Q 为正交矩阵令 x=Qy，得 f 的标准形为 f(x1，x 2，x 3)=1y12+2y22+3y32=2y12+2y22【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 1 在正交变换 x=Qy 下，f(x 1，x 2，x 3)=0 化成 2y12+2y22=0，解之得 y1=y2=0，从而 =y3e3=k(1，1，0) T，其中 k 为任意常数2 由于 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，所以 其通解为 x=k(1，1，0) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数
