1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 146 及答案与解析一、填空题1 微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0 满足 y(1)=2 的特解是_2 设 p(x)，q(x)与 f(x)均为连续函数，f(x)0设 y1(x)，y 2(x)与 y3(x)是二阶非齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=f(x) 的 3 个解，且 则式 的通解为_3 微分方程 满足初值条件 y(0)=0，y(0)= 的特解是_4 设 f(x)在( 一，+)内有定义，且对任意 x(一，+)，y(一，+) ，f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex 成立，已知 f(0)存在等于 a，a0，则 f(x)=_5 微分方程的通解
2、_(一定不一定)包含了所有的解6 微分方程(y 2+1)dx=y(y 一 2x)dy 的通解是_7 设一阶非齐次线性微分方程 y+P(x)y=Q(x)有两个线性无关的解 y1，y 2，若y1+y2 也是该方程的解，则应有 +=_8 微分方程 的通解为_9 特征根为 r1=0， 的特征方程所对应的三阶常系数齐次线性微分方程为_10 满足 f(x)+xf(一 x)=x 的函数 f(x)=_11 已知 01f(tx)dt= +1，则 f(x)=_12 设 y“前的系数为 1 的某二阶常系数线性非齐次微分方程的两个特解分别为y1*=(1 一 x+x2)ex 与 y2*=x2ex，则该微分方程为_13
3、微分方程 y“+4y=2x2 在原点处与直线 y=x 相切的特解为_14 微分方程 的通解是 y=_15 一阶线性差分方程 2yt+1+8yt=5tet 的通解为 yt=_16 已知某商品的需求函数为 Q=Q0e-P，Q 0 为市场饱和需求量当价格 P=8 元件时，需求量为 ，这种商品的进货价为 5 元件，当 P=_元件时，可使利润最大二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求解 +(yx)dy=018 设 (x)是以 2 为周期的连续函数，且 (x)=(x)，(0)=0 (1)求方程 y+ysin x=(x)ecosx 的通解； (2)方程是否有以 2 为周期的解? 若有，请
4、写出所需条件；若没有，请说明理由19 设有方程 y+P(x)y=x2，其中 P(x)= 试求在 (一，+)内的连续函数y=y(x)，使之在 (一，1)和(1 ，+)内都满足方程，且满足初值条件 y(0)=220 求微分方程(4 一 x+y)dx 一(2 一 x-y)dy=0 的通解21 求微分方程 的通解22 求微分方程 (x0)的通解23 求微分方程 y“一 2y一 e2x=0 满足条件 y(0)=1，y(0)=1 的特解24 求微分方程 y“+2y+y=xex 的通解25 设 y(x)是方程 y(4)一 y“=0 的解，且当 x0 时，y(x)是 x 的 3 阶无穷小，求y(x)26 求一
5、个以 y1=tet，y 2=sin 2t 为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解27 求解 y“=e2y+ey，且 y(0)=0，y(0)=2 28 求方程 =(1 一 y2)tan X 的通解以及满足 y(0)=2 的特解29 求微分方程 的通解，并求满足 y(1)=0 的特解30 求(y 3 一 3xy2 一 3x2y)dx+(3xy2 一 3x2yx3+y2)dy=0 的通解31 求微分方程 y“+2y+2y=2e-xcos2 的通解32 求 y“y=e|x|的通解33 利用变换 y=f(ex)求微分方程 y“-(2ex+1)y+e2xy=e3x 的通解34 求二阶常系数线
6、性微分方程 y“+y=2x+1 的通解，其中 为常数35 (1)用 x=et 化简微分方程36 已知某商品的需求量 D 和供给量 S 都是价格 p 的函数：D=D(p)= S=S(p)=bp，其中 a0 和 b0 为常数价格 p 是时间 t 的函数且满足方程 =kD(p)一S(p)(k 为正常数 )假设当 t=0 时价格为 1，试求： (1)需求量等于供给量时的均衡价格 pe；(2)价格函数 p(t)；(3) 37 求差分方程 yt+1+3yt=3t+1(2t+1)的通解38 求差分方程 yt+1 一 ayt=2t+1 的通解39 设 y=y(x)是区间 (一 ，)内过点 的光滑曲线(y(x)
7、的一阶导数连续)当一 x0 时，曲线上任一点处的法线都过原点；当 0x 时，y(x)满足y“+y+x=0求 y(x)的表达式40 设 f(x)在区间(一，+)内具有连续的一阶导数，并设 f(x)=2 0xf(xt)t2dt+sin x， 求 f(x)考研数学三（线性代数）模拟试卷 146 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 将方程改写为 将 x 看成 y 的函数，此方程为 x 对y 的一阶线性方程，代入通解公式，得再由初始条件 x=1 时，y=2 ，得 C=5，所以【知识模块】 微积分2 【正确答案】 y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)+y1，其中 C1，C
8、2 为任意常数【试题解析】 由非齐次线性方程的两个解，可构造出对应的齐次方程的解，再证明这样所得到的解线性无关便可y 1 一 y2 与 y2 一 y3 是式对应的齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的两个解现证它们线性无关事实上，若它们线性相关，则存在两个不全为零的常数 k1 与 k2 使 k 1(y1 一 y2)+k2(y2 一 y3)=0 设 k10，又由题设知 y2 一 y30，于是式可改写为 矛盾若 k1=0，由 y2 一 y30，故由式 推知 k2=0 矛盾这些矛盾证得 y1 一 y2 与 y2y3 线性无关 于是 Y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2 一 y3)为式
9、 的通解，其中 C1，C 2 为任意常数，从而知 y=C 1(y1 一 y2)+C2(y2-y3)+y1 为式 的通解【知识模块】 微积分3 【正确答案】 x=e ye-y 一【试题解析】 熟悉反函数的导数的读者知道原方程可化为 x 关于 y 的二阶常系数线性方程将式代入原方程，原方程化为 解得 x 关于 y 的通解为 当 x=0 时，y=0 代入上式，得 0=C 1+C2再将式两边对 y 求导，有解得 C1=1，C 2=一 1，于是得特解 x=ey 一 e-y 一【知识模块】 微积分4 【正确答案】 axe x【试题解析】 由 f(0)存在，设法去证对于一切 x， f(x)都存在，并求出 f
10、(x)将y=0 代入 f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex，得 f(x)=f(x)+f(0)e x，所以 f(0)=0令x0，得 f(x)=f(x)+exf(0)=f(x)+aex，所以 f(x)存在解此一阶微分方程，得 f(x)=e x(aex.e-xdx+C)=ex(ax+C) 因 f(0)=0，所以 C=0，从而得 f(x)=axex【知识模块】 微积分5 【正确答案】 不一定【试题解析】 例如方程(y 2 一 1)dx=(x 一 1)ydy，经分离变量有 于是即通解为 y2 一 1=C(x-1)2，C0，但显然方程的全部解还应包括 y=1(实际上在分离变量时假定了 y2 一 10)
11、【知识模块】 微积分6 【正确答案】 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 原方程化为 由通解公式得其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分7 【正确答案】 1【试题解析】 由 y1+P(x)y1=Q(x)及 y2+P(x)y2=Q(x)得 (y 1+y2)+P(x)(y1+y2)=(+)Q(x) 又因 y1+y2 满足原方程，故应有(+)Q(x)=Q(x)，即 +=1【知识模块】 微积分8 【正确答案】 ，其中 C1，C 2 为任意常数【试题解析】 由 y“= 两边积分得 ，再积分得其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分9 【正确答案】 【试题解析】 特征方程为 即 r3一 r2+
12、 =0，其对应的齐次线性微分方程即为所求方程【知识模块】 微积分10 【正确答案】 +xarctan x+C，其中 C 为任意常数【试题解析】 在原方程中以一 x 代替 x 得 f(一 x)一 xf(x)=一 x与原方程联立消去 f(一 x)项得 f(x)+x2f(x)=x+x2，即 积分得 f(x)=+xarctan x+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分11 【正确答案】 Cx+2 ，其中 C 为任意常数【试题解析】 将所给方程两边同乘以 x，得 01f(tx)d(tx)= 令 u=tx，则上式变为 0xf(u)du= +x两边对 x 求导得用一阶非齐次线性微分方程通解公式计算得
13、 f(x)=Cx+2，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分12 【正确答案】 y“一 2y+y=2ex【试题解析】 y=y 1*y2*=(1 一 x+x2)ex 一 x2ex=(1 一 x)ex=exxex 为对应的二阶常系数线性齐次微分方程的一个解由二阶常系数线性齐次微分方程的特解与对应的特征根的关系，推知 r=1 为该二阶常系数线性齐次微分方程对应的特征方程的二重根，于是特征方程为 (r 一 1)2=r22r+1=0， 对应的齐次微分方程为 y“一 2y+y=0 由 y2*=x2ex 知，此非齐次微分方程的形式为 y“ 一 2y+y=Aex， 其中常数 A待定，以 y2*=x2ex 代
14、入，得 x 2ex+4xex+2ex 一 2(x2ex+2xex)+x2ex=Aex，所以 A=2答案即为所求【知识模块】 微积分13 【正确答案】 【试题解析】 由题意，在原点处切线的斜率为 y| x=0=1， 且 y|x=0=0 特征方程r2+4=0，对应齐次微分方程的通解为 C1cos 2x+C2sin 2x.又微分方程的一个特解为 因而非齐次方程的通解为 Y=C1cos 2x+C2sin 2x+ 将代入上式，得特解为【知识模块】 微积分14 【正确答案】 ，C 1，C 2 为任意常数【试题解析】 此为欧拉方程题中含有 ln x，故知 x0作变换 x=et，从而有于是原方程变成按二阶常系
15、数线性非齐次方程常规方法解之，得通解为【知识模块】 微积分15 【正确答案】 ，C 为任意常数【试题解析】 先解一阶线性齐次差分方程 2yt+1+8yt=0对应的特征方程为 2r+8=0，特征根 r=-4，所以对应的齐次方程的通解为 Yt=C(-4)t，C 为任意常数 再设该非齐次线性差分方程的一个特解为 y t*=(At+B)et，于是 y t+1*=A(t+1)+Bet+1=Aet+e(A+B)et，代入原给的一阶线性非齐次差分方程，得 2Aet+e(A+B)et+8(At+B)et=5tet，比较两边同类项，得 2Ae+8A=5，2e(A+B)+8B=0 所以通解 yt=Yt+yt*即为
16、所填【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 因为当 P=8 时，有 即 所以有 L=R-C=PQ 一 5Q= 令 ，得唯一驻点【知识模块】 微积分二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 方程化为 此为齐次方程，故令代入上述方程得积分得 ln|u+e u|=一 ln|y|+C1，即(u+e u)y=C(C= )，将 故原方程的通解为其中 C 为非零常数【知识模块】 微积分18 【正确答案】 (1)该方程为一阶非齐次线性微分方程，通解为 y=e -sinxdx(x)ecosxesinxdxdx+C =ecosx(x)ecosx.e-cosxdx+C =e
17、cosx(x)dx+C=ecosxx)+C， 其中 C为任意常数 (2)因为 (x)=(x)，所以 (x)=0x(t)dt+C1又 (0)=0，于是，(x)=0x(t)dt (x+2)= 0x+2(t)dt=0x(t)dt+xx+2(t)dt=(x)+02(t)dt， 所以当 02(t)t=0 时， (x+2)=(x)，即 (x)以 2 为周期 因此，当 02(t)dt=0 时，方程有以2 为周期的解【知识模块】 微积分19 【正确答案】 本题虽是基础题，但其特色在于当 x 的取值范围不同时，系数P(x)不同，那么所求解的方程就不一样，解的形式自然也会不一样，最后要根据解y=y(x)是连续函数
18、，确定任意常数当 x1 时，方程及其初值条件为解得 y=e-1dx(x2e1dxdx+C)=e-x(x2exdx+C)=x2 一 2x+2+Ce-x由 y(0)=2得 C=0，故 y=x2 一 2x+2当 x1 时，方程为 解得【知识模块】 微积分20 【正确答案】 方程化为 设 x=X+h，y=Y+k ，代入方程，并令解得 h=3，k= 一 1，此时原方程化为积分得 X2 一 2XYY2=C 将X=x 一 3，Y=y+1 代入上式，得到所求通解为 x2 一 2xy 一 y2 一 8x+4y=C，其中 C为任意常数【知识模块】 微积分21 【正确答案】 此为齐次方程，只要作代换 u= 解之即可
19、方程变形为令 ，方程化为 arctan udu= 两边积分，得所以有 uarctanu 一 ln(1+u2)=ln|x|+ln C，即 uarctanu=得 即得原方程通解为其中 C 为任意正常数【知识模块】 微积分22 【正确答案】 变形和作适当代换后变为可分离变量的方程方程两边同除以x，得再以 代回，便得原方程的通解：arcsin =ln Cx，即 y=xsin(ln Cx)，其中 C 为任意正常数【知识模块】 微积分23 【正确答案】 齐次方程 y“一 2y=0 的特征方程为 r22r=0，由此求得特征根r1=0，r 2=2对应齐次方程的通解为 =C1+C2e2x，设非齐次方程的特解为y
20、*=Axe2x，则 (y*)=(A+2Ax)e2x， (y*)“= 一 4A(1+x)e2x代入原方程，求得于是，原方程通解为 将y(0)=1 和 y(0)=1 代入通解求得 从而，所求特解为【知识模块】 微积分24 【正确答案】 特征方程 r2+2r+1=0 的两个根为 r1=r2=一 1，对应齐次方程的通解为 Y=(C 1+C2x)e-x设所求方程的特解为 y*=(ax+b)ex，则 (y*)=(ax+a+b)e x， (y*)”=(ax+2a+b)ex代入所给方程，有 (4ax+4a+4b)ex=xex解得 则最后得所求通解 y=(C1+C2x)e-x+ ，其中 C1，C 2 为任意常数
21、【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由泰勒公式 y(x)=y(0)+y(0)x+ +o(x3)(x0) 当 x0 时，y(x) 与 x3 同阶 y(0)=0，y(0)=0，y“(0)=0，y“(0)=C，其中 C 为非零常数由这些初值条件，现将方程 y(4)一 y“=0 两边积分得 0xy(4)(t)dt0xy“(t)dt=0，即 y“(x)一 Cy(x)=0，两边再积分得 y“(x)一 y(x)=Cx 易知，它有特解 y*=一Cx，因此它的通解是 y=C1ex+C2e-x 一 Cx 由初值 y(0)=0，y(0)=0 得 C1+C2=0，C 1一 C2=C 因此最后得 ，其中 C 为任意
22、非零常数【知识模块】 微积分26 【正确答案】 由 y1=tet 可知 y3=et 亦为其解，由 y2=sin 2t 可得 y4=cos 2t 也是其解，故所求方程对应的特征方程的根 r1=r3=1，r 2=2i，r 4=一 2i其特征方程为 (r1)2(r2+4)=0，即 r42r3+5r2 一 8r+4=0， 故所求微分方程为 y(4)一 2y“+-5y“一 8y+4y=0，其通解为 y=(C 1+C2t)et+C3cos 2t+C4sin 2t，其中 C1，C 2，C 3，C 4 为任意常数【知识模块】 微积分27 【正确答案】 令 y=p(y)，则 ，代入方程，有p2=e2y+2ey+
23、C，即 y 2=e2y+2ey+C 又 y(0)=0，y(0)=2 ，有 C=1，所以 y 2=e2y+2ey+1=(ey+1)2，因此 y=e y+1(y(0)=20)，即 有 y-ln(ey+1)=x+C1代入 y(0)=0，得 C1=一 ln 2，所以，该初值问题的解为 y-ln(1+e y)=xln 2【知识模块】 微积分28 【正确答案】 这是变量可分离方程当 y21 时，分离变量得两边积分，得 去掉绝对值记号，并将 记成 C，并解出 y，得其中 C 为非零常数这就是在条件 y21 下的通解此外，易见 y=1 及 y=一 1 也是原方程的解，但它们并不包含在式之中以 y(0)=2 代
24、入式中得 故 C=一 3于是得到满足 y(0)=2的特解【知识模块】 微积分29 【正确答案】 此为齐次微分方程，按解齐次微分方程的方法解之令 y=ux，原方程化为 整理得 当x0 时，上式成为 两边积分得 其中C0，将任意常数记成 ln C 由上式解得 其中C0式 与式其实是一样的，故得通解其中 C 为任意正常数将初值条件 y(1)=0 代入式得 C=1，但由于 C0，故得相应的特解为【知识模块】 微积分30 【正确答案】 将原方程通过观察分项组合 (y 3 一 3xy2 一 3x2y)dx+(3xy2 一3x2yx3+y2)dy =(y3dx+3xy2dy)一 3xy(ydx+xdy)一(
25、3x 2ydx+x3dy)+y2dy =0即所以通解为 ，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分31 【正确答案】 应先用三角公式将自由项写成 e -x+e-xcosx，然后再用叠加原理和待定系数法求特解 对应的齐次方程的通解为 Y=(C 1cosx+C2sin x)e-x为求原方程的一个特解，将自由项分成两项 e-x，e -xcos x，分别考虑 y“+2y+2y=e -x， 与 y“+2y+2y=e-xcosx。 对于 ，令 y 1*=Ae-x代入可求得 A=1，从而得 y1*=e-x对于，令 y2*=xe-x(Bcos x+Csin x)，代入可求得 B=0， 由叠加原理，得原方程的通
26、解为 y=Y+y1*+y2*=e-x(C1cosx+C2sin x)+e-x+ xe-xsin x，其中 C1，C 2为任意常数【知识模块】 微积分32 【正确答案】 自由项带绝对值，为分段函数，所以应将该方程按区间(一，0)0，+)分成两个方程，分别求解由于 y“=y+e|x|0 在 x=0 处具有二阶连续导数，所以求出解之后，在 x=0 处使二阶导数连续，便得原方程的通解 当 x0 时，原方程为 y“-y=e x 求得通解 y=C1ex+C2e-x+ 当 x0 时，原方程为 y“-y=e -x，求得通解 y=C3ex+C4e-x 一 因为原方程的解 y(x)在 x=0 处连续且 y(x)也
27、连续，则有解得 于是得通解此时 y 在x=0 处连续且 y连续，又因 y“=y+e|x|，所以在 x=0 处 y“亦连续，即是通解【知识模块】 微积分33 【正确答案】 令 t=ex，则 y=f(t)，y=f(t).e x=tf(t)， y“=tf(t) x=exf(t)+tf“(t).ex=tf(t)+t2f“(t)，代入方程得 t2f“(t)+tf(t)一(2t+1)tf(t)+t 2f(t)=t3，即 f“(t)一 2f(t)+f(t)=t解得 f(t)=(C1+C2t)et+t+2，所以 y“一(2e x+1)y+e2xy=e3x 的通解为 y=(C 1+C2ex)+ex+2，其中 C
28、1，Cv 为任意常数【知识模块】 微积分34 【正确答案】 对应齐次方程 y“+y=0 的特征方程为 r2+r=0，特征根为 r=0 或r=- 当 0 时，y“+y=0 的通解为 Y=C1+C2e-x设原方程的特解形式为y*=x(Ax+B)，代入原方程，比较同次幂项的系数，解得 ，故原方程的通解为 y=C1+C2e-x+ 其中 C1，C 2 为任意常数当 =0 时，原方程化为 y“=2x+1，两边同时积分两次，得方程的通解为+C1x+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 微积分35 【正确答案】 (2)对应的齐次方程 y“+2y+5y=0，有 r2+2r+5=0，得 r1,2=一
29、12i，故 Y(t)=e -t(C1cos 2t+C2sin 2t)令 y*(t)=(at+b)et，代入得 a=2，b=一 1，故 y(t)=e -t(C1cos 2t+C2sin 2t)+(2t 一 1)et，其中 C1， Cv 为任意常数【知识模块】 微积分36 【正确答案】 (1)当需求量等于供给量时，有 因此均衡价格为(2)由条件知 因此有两边同时积分，得 p 3=pe3+Ce-3kbt由条件 p(0)=1，可得 C=1 一 pe3于是价格函数为【知识模块】 微积分37 【正确答案】 对应齐次方程的通解为 Y=C(一 3)t，由于 p(t)=3 t(6t+3)，=一3，b=3， 所以
30、可设 y*=3t(ut+v)代入原方程，解得 u=1，v=0，即 y*=t3t 故原方程通解为 yt=Y+y*=C(一 3)t+t3t，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分38 【正确答案】 题设方程对应的齐次差分方程 yt+1-ayt=0 的特征根为 =a，故其通解为 Y=Cat，其中 C 为任意常数，下面就 a 的不同取值求原非齐次方程的特解与通解 当 a1 时，即 1 不是特征根时，令原非齐次方程的特解为 y*=At+B，代入原方程有 故此特解 因此原非齐次方程的通解为 其中 C 为任意常数当 a=1 时，即 1 是特征根时，令原非齐次方程的特解为 y*=t(At+B)，并把它代入原
31、方程有 A=1，B=0故此特解为 y*=t2，此时对应的齐次方程的通解为 Y=C 因此，原非齐次方程的通解为 yt=t2+C，其中 C 为任意常数【知识模块】 微积分39 【正确答案】 当一 x0 时，设(x ，y)为曲线上任一点，由导数的几何意义，法线斜率为 由题意，法线斜率为 ，所以有 分离变量，解得x2+y2=C，由初始条件 ，得 C=2，所以当 0x 时，y“+y+x=0的通解为 y=C 1cos x+C2sin x-x， y= 一 C1sin x+C2cos x 一 1 因为曲线y=y(x)光滑，所以 y(x)连续且其导函数也连续，由式知代入，式，得 C1=，C 2=1，故 y=co
32、sx+sinx 一 x，0x 综上，知【知识模块】 微积分40 【正确答案】 f(x)=2 0xf(x-t)t2dt+sin x =一 20xt2df(xt)+sin x =一 2t2f(x 一 t)|0x20xtf(x 一 t)dt+sin x =一 2x2f(0)-0-2x0(x 一 u)f(u)(一 du)+sin x =-2x2f(0)+4x0xf(u)du 一 40xuf(u)du+sin x，f(x)=一 4xf(0)+40xf(u)du+4xf(x)一 4xf(x)+cosx=一4xf(0)+40xf(u)du+cos x， f“(x)=一 4f(0)+4f(x)一 sinx 由上述表达式可见有 f(0)=0，f(0)=1 所以 f”(x)一 4f(x)=一 sinx解得 f(x)=C1e2x+C2e-2x+ 由 f(0)=0，f(0)=1 ，得 C1+C2=0， 2C 1 一 2C2+ 所以【知识模块】 微积分
