1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 147 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶行列式|A|= ，其中 aij=1 或一 1，i=1，2，3；j=1，2，3则|A|的最大值是 ( )（A）3（B） 4（C） 5（D）62 中 x3 的系数为 ( )（A）2（B）一 2（C） 3（D）一 33 （A）c 2m（B） m（C） cm（D）c 3m4 设 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式|1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则 4 阶行列式| 3， 2， 1， 1+2|等于 ( )（A）m+n（B）一
2、 (m+n)（C） n 一 m（D）m 一 n5 线性方程组 则 ( )（A）若方程组无解，则必有系数行列式|A|=0（B）若方程组有解，则必有系数行列式|A|0（C）系数行列式|A|=0，则方程组必无解（D）系数行列式|A|0 是方程组有唯一解的充分非必要条件6 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )（A）AB=O A=O 或 B=O（B） |A|=0 A=O（C） |AB|=0 |A|=0 或|B|=0（D）A=E |A|=17 设 A 是 n 阶方阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（A）AB=O A=O（B） BTAB=O
3、 A=O（C） AX=0 A=O（D）X TAX=0 A=O8 设 n 维行向量 矩阵 A=E 一 T,B=E+2T，则 AB= ( )（A）O（B）一 E（C） E（D）E+ T9 A，B 是 n 阶可逆方阵，则下列结论正确的是 ( )（A）(A 2)-1=(A-1)2（B） (A+B)-1=A-1+B-1（C） (A+B)(A-B)=A2 一 B2（D）(kA) -1=kA-1(k0)10 设 A 是 n 阶方阵，且 A3=O，则 ( )（A）A 不可逆，且 E 一 A 不可逆（B） A 可逆，但 E+A 不可逆（C） A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆（D）A 不可逆，且必有 A
4、2=O11 A 是 n 阶方阵，A*是 A 的伴随矩阵，则|A*|= ( )（A）|A|（B） |A-1|（C） |An-1|（D）|A n|12 设 A 是 n 阶可逆方阵(n2)，A*是 A 的伴随矩阵，则(A*)*= ( )（A）|A| n-1A（B） |A|n+1A（C） |A|n-2A（D）|A| n+2A13 A 是 n 阶方阵，|A|=3则 |(A*)*|= ( )14 已知 P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则 ( )（A）t=6 时， P 的秩必为 1（B） t=6 时，P 的秩必为 2（C） t6时， P 的秩必为 1（D）t6 时，P 的秩必为 215 设 ，若
5、r(A*)=1，则 a= ( )（A）1（B） 3（C） 1 或 3（D）无法确定16 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（D）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss0二、填空题17 设 n 阶矩阵 A= ，则|A|=_18 19 设 a，b， a+b 均非零，则行列式20 设 A=1， 2， 3是 3 阶矩阵，且|A|=4 ，若 B= 1-32
6、+23， 2-23，2 2+3， 则|B|=_ 21 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b ，C= ，则|C|=_22 设 =1， 2，3 ， A=T，则 An=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 计算 n 阶行列式24 计算行列式25 设 可逆，其中 A，D 皆为方阵求证 A，D 可逆，并求 M-126 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵 (1)计算并化简 PQ；(2)证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b27 设 求 An(n3)28
7、设有两个非零矩阵 A=a1，a 2，a nT，B=b 1，b 2，b nT (1)计算 ABT 与ATB； (2)求矩阵 ABT 的秩 r(ABT)； (3)设 C=E 一 ABT，其中 E 为 n 阶单位矩阵证明：C TC=E 一 BAT 一 ABT+BBT 的充要条件是 ATA=129 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明 AE 可逆，并求(A E)-130 已知 A，B 是 3 阶方阵，AO，AB=O证明： B 不可逆31 设 A 是 n 阶可逆矩阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明 B可逆，并推导 A-1 和 B-1 的关系32 已知 1=1，一 1
8、，1 T， 2=1，t，一 1T， 3=t，1，2 T，=4，t 2，一 4T，若可由 1， 2， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式33 设向量组(I)与向量组()，若(I)可由()线性表示，且 r(I)=r()=r 证明：(I)与()等价考研数学三（线性代数）模拟试卷 147 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 3 阶行列式的定义：=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 一 a13a22a31 一 a12a21a33 一a11a23a32，共 6 项每项均是不同行、不同列的三个元
9、素乘积，且有三项取正号，三项取负号，由题设 aij=1 或一 1，故|A|6 但|A|6 若|A|=6，则正的三项中三个元素全取 1 或取一个 1，两个一 1，总的一 1 的个数为偶数个负的三项中三个元素取一个或三个一 1，三项中总的一 1 的个数为奇数，又正三项，负三项各自遍历了 9 个元素，和三个正项中一 1 的个数矛盾，故|A|5 同样有|A|5 若|A|=5，|A|的六项中总有一项的值为一 1，此时|A|4 而故 max(|A33|，a ij=1 或一 1=4，应选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由行列式展开定理，只有 a12A12 这一项可得到 x3 项
10、，又=x(x 一 1)(一 2x+1)=一 2x3+3x2 一x所以行列式中 x3 项的系数是一 2故选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 由 =c-1.c-2.c-3 =(c-1.c-2.c-3)(c.c2.c3) =m故选(B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 因 | 3， 2， 1， 1+2|=|3， 2， 1， 1|+|3， 2， 1， 2| =一|1， 2， 3， 1|1， 2， 3， 2| =|1， 2， 3， 1|+|1， 2， 2， 3| =n-m 应选(C)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 方程组无解，则有
11、|A|=0(反证，若|A|0，用克拉默法则，方程组必有解)； (B)方程组有解， |A|可能为零，也可能不为零；(C)|A|=0 ，方程组也可能有解；(D)|A|0，则方程组解唯一，反过来，若方程组有唯一解，则|A|一定不为零【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因|AB|=|A|B|=0 |A|=0 或|B|=0，故(C) 正确；【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 X，有 XTAX=0，可推出 AT=一 A，不能推出 A=O例，对任意的 X=x1，x 2T，均有【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(E- T)(E+2T
12、)=E+T-2TT=E+T-2T(T)，其中故 AB=E+T 一 2. T=E【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 (A 2)-1=(AA)-1=A-1A-1=(A-1)2；(B)不成立，例：B=-A，A+B 不可逆；(C)不成立，若 ABBA，则 BA 一 ABO；(D)不成立，(kA) -1= ，不一定等于kA-1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 A 3=O，有 E 3+A3=(E+A)(A2 一 A+E)=E， E 3-A3=(EA)(A2+A+E)=E，故 A2 一 A+E 及 A2+A+E 均可逆，(C)正确，由以上两式知，E 一 A，E+A
13、 也均可逆，故(A) ，(B)不成立此外 (D)不成立，例： ，有【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 AA*=|A|E，两边取行列式，得|A|A*|=|A| n 若|A|0，则|A*|=|A| n-1=|An-1|； 若|A|=0，则|A*|=0 ，故选(C)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C【试题解析】 由 AA*=|A|E，得 A*(A*)*=|A*|E，(A*)*=|A*|(A*) -1，其中|A*|=|A| n-1，(A*) -1= ，故【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A【试题解析】 |A|=3，所以 A 可逆，则 A*(A*)*=|A*|E，
14、 (A*)*=|A*|(A*) -1=|A*|=|A|n-2A， |(A*)*|=|A| n-2A|=|A|(n-2)n|A|= 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 C【试题解析】 “AB=O” 是考研出题频率极高的考点，其基本结论有：AmsBsn=O r(A)+r(B)s；A msBsn=O 组成 B 的每一列都是 AmsX=O 的解向量对于本题， PQ=O r(P)+r(Q)3 1r(P)3 一 r(Q)当 t=6 时，r(Q)=11r(P)2 r(P)=1 或 2，则(A)和(B)都错；当 t6 时，r(Q)=2 1r(P)1 r(P)=1， (C)正确，(D) 错【知识模块】 线
15、性代数15 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1 得 r(A)=3，则|A|=0，即得 a=1 或 3，且此时均满足 r(A)=3，故选 (C)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明必要性：假设存在一个向量，如 s 可由1， 2， s-1 线性表出，则 1， 2， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出充分性：假设 1， 2， s 线性相关 至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1， 2， s 线性无关(A)对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论；(B)必要但不充分，如1=0，1，0 T， 2=1
16、，1，0 T， 3=1，0，0 T 中任意两个向量线性无关，但1， 2， 3 线性相关；(D) 必要但不充分，如上例 1+2+30，但 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 线性代数二、填空题17 【正确答案】 (一 1)n-1(n 一 1)【试题解析】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (x 2-y2)(b2-c2)【试题解析】 =(x2-y2)(b2-c2)【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 -2(a 3+b3)【试题解析】 将第 2，3 行加到第 1 行，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的一 1倍加到第 2，3 列，得=2(a+b)(一 a2+ab一 b2)=-2
17、(a3+b3)【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质 |B|=| 1-32+23， 2-23，5 3| =5|1-32+23， 2-23， 3| =5|1-32， 2， 3| =5|1， 2， 3| =20【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (一 1)mnab【试题解析】 =(一 1)mn|A|B|=(一 1)mnab【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【试题解析】 A= T= An=(T)n=(T)(T)( T)=T(T)(T)( T)=3n-1A=【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 按
18、第一列展开，得【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 M 可逆 |M|=|A|D|0 |A|0且|D|0 A，D 可逆设 M 的逆矩阵为 M-1=X= 得【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1) (2)由(1)得|P|.|Q|=|PQ|=|A| 2(b 一 TA-1)|Q|=|A|(b-TA-1)于是，Q 可逆 |Q|0 TA-1b【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 =E+B，又 EB=BE，且 Bn=O(n3)，所以An=(E+B)n=En+nEn-1B+ En-2B2【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)AB T= ,AT
19、B=a1b1+a2b2+anbn (2)因 ABT各行(列 )是第 1 行(列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故 r(ABT)=1. (3)由于CTC=(E 一 ABT)T(E 一 ABT)=(E 一 BAT)(E 一 ABT)=E-BAT 一 ABT+BATABT， 故若要求 CTC=E 一 BAT-ABT+BBT，则 BATABT-BBT=O，B(A TA 一 1)BT=O，即(A TA一 1)BBT=O 因为 BO，所以 BBTO故 CTC=E-BAT 一 ABT+BBT 的充要条件是ATA=1【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因 AB=A+B，即 AB 一 AB=O，AB
20、一 AB+E=E，A(B E)一(BE)=E，即 (A-E)(B 一 E)=E， 故 AE 可逆，且(AE) -1=BE【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 AB=O ，(AB) T=BTAT=O，AO，B TX=0 有非零解，故|B T|=0，即|B|=0，从而 B 不可逆【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 记 Eij 为初等矩阵 则B=EijA，|B|=|E ijA|=|Eij|A|=一|A|0 ，故 B 可逆，且 B -1=(EijA)-1=A-1Eij-1=A-1Eij，故知B 的逆矩阵可由 A 的逆矩阵交换第 i 列和第 j 列之后得到【知识模块】 线性代数32 【正确答案
21、】 设 x11+x22+x33=，按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得由条件知 r(A)= 3，从而 t=4，此时，增广矩阵可化为其通解为 ，kR所以 =一 3k1+(4 一 k)2+k3，kR【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 设(I)的一个极大无关组为 1， 2， r，()的一个极大无关组为 1， 2， r 因为(I)可由() 线性表示，即 1， 2， r，可由1， 2， r 线性表示，于是 r( 1， 2， r， 1， 2， r)=r(1， 2， r)=r 又 1， 2， r 线性无关，则 1， 2， r 也可作为1， 2， r， 1， 2， r 的一个极大无关组，于是 1， 2， r 也可由1， 2， r 线性表示，即 () 也可由(I)线性表示，得证【知识模块】 线性代数
