1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 149 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（A）(A+A -1)2=A2+2AA-1+(A-1)2（B） (A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2（C） (A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2（D）(A+E) 2=A2+2A+E2 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D
2、）43 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（A）若|A|0，则|B|0（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E（C）如果 AE，则|B|0（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B4 设 则必有 ( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B5 设 其中 A 可逆，则 B-1 等于 ( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1P16 设 A 是 n 阶矩阵，则（A）(一 2)n|A|n（B） (4|A|)n（C） (一 2)2n|A*|n（D）|4
3、A| n7 已知线性方程组 Ax=k1+2 有解，其中则 k 等于 ( )（A）1（B）一 1（C） 2（D）一 28 设 1， 2， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，则下列向量中 1-2， 122+3， (1-3)， 1+3243 是导出组 Ax=0 的解向量的个数为 ( )（A）4（B） 3（C） 2（D）19 设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是 ( )（A） 1+2（B） k1（C） k(1+2)（D）k( 1-2)10 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A nx=0 和()A n+1
4、x=0，现有命题 (I)的解必是()的解； ()的解必是(I)的解； (I)的解不一定是()的解； () 的解不一定是(I)的解 其中正确的是 ( )（A）（B） （C） （D）11 设有两个 n 维向量组(I) 1， 2， s，( ) 1， 2， s，若存在两组不全为零的数 k1，k 2，k s， 1， 2， s，使(k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一1)1+(ks 一 s)s=0，则 ( )（A） 1+1， ， s+s， 1 一 1， s 一 s 线性相关（B） 1, s 及 1,， s 均线性无关（C） 1, s 及 1, s 均线性相关（D） 1+1， ， s+
5、s， 1 一 1， s 一 s 线性无关12 设向量组(I) 1， 2， s 线性无关，( ) 1， 2， t 线性无关，且i(i=1，2，s)不能由() 1， 2， t 线性表出， j(j=1，2，t) 不能由(I)1， 2， s 线性表出，则向量组 1， 2， 3， 1， 2， t ( )（A）必线性相关（B）必线性无关（C）可能线性相关，也可能线性无关（D）以上都不对13 向量组(I) 1， 2， s，其秩为 r1，向量组( )1， 2， s，其秩为 r2，且i(i=1， 2， ，s)均可由向量组 (I)1， 2， s 线性表出，则必有 ( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为
6、r1+r2（B） 1 一 1， 2 一 2， s 一 s 的秩为 r1 一 r2（C） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r114 已知 r(A)=r1，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2，且 BY= 无解，设A=1， 2， n，B= 1， 1， n，且r(1， 2， n， 1， 2， n，)=r，则 ( )（A）r=r 1+r2（B） rr 1+r2（C） r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+115 设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组(I)AX=0 和()A TAX=0，必有 ( )（A）() 的解是 ()的
7、解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解二、填空题16 已知 A2 一 2A+E=O，则(A+E) -1=_17 设 A 是 n 阶矩阵，|A|=5，则|(2A)*|=_18 已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B中第 1 列和第 2 列对换得到 B1，又 A1B1= ，则 AB=_19 设可逆矩阵 B= ，则 B-1=_20 设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且|2E+A|=0， 1=1，
8、2=一 1 为 B 的两个特征值，则行列式|A+2AB|=_21 设 =1， 0，1 T，A= T，n 是正整数，则|aEA n|=_22 设 n2 为正整数，则 An 一 2An-1=_23 设 B=(E+A) -1(EA)，则 (E+B)-1=_24 设 A=E+T 其中 ， 均为 n 维列向量， T=3，则|A+2E|=_25 已知 ABC=D，其中 则B*=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 已知 n(n3)阶实矩阵 A=(aij)nn 满足条件：a ij=Aij(i，j=1，2，n)，其中 Aij 是aij 的代数余子式； a110求|A| 27 |A|是 n
9、阶行列式，其中有一行 (或一列)元素全是 1证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值28 计算29 计算行列式30 设 f(x)= 试证明：存在 (0，1)，使得 f()=031 设 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为|A| 中元素 aij 的代数余子式，证明下列结论：(1)aij=Aij ATA=E 且|A|=1(2)a ij=-Aij ATA=E 且|A|=-132 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵， AT 是 A 的转置矩阵) ，|A|0，求|A+E|33 设 a1，a 2，a n 是互不相同的实数，且求线性方程组 AX=b 的解34
10、 设 B=2A-E证明：B 2=E 的充分必要条件是 A2=A35 设 A 是 n 阶矩阵证明：A=O 的充要条件是 AAT=O36 设 (1)证明当 n3 时，有 An=An-2+A2-E；(2)求 A100考研数学三（线性代数）模拟试卷 149 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的分配律可知： (A+B) 2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2， 因此， (A+B)2=A2+2AB+B2 的充要条件是 BA=AB，也即A，B 可交换 由于 A 与 A-1A 与 A*以及 A 与 E 都是可交换
11、的，故(A)，(C) ，(D)中的等式都是成立的故选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由于(A-E)B=A，可知当 A 可逆时，|AE|B|0，故|B|0，因此 B可逆，可知是正确的当 A+B 可逆时， |AB|=|A|B|0，故|B|0，因此 B 可逆，可知是正确的类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故|AB|=|A|B|0，因此 AB 可逆，故 A+B 也可逆，可知是正确的最后，由 AB=A+B 可知 (AE)B 一 A=O，也即 (AE)B 一(AE)=E，进一步有(AE)(BE)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的综上，4 个命题都是正确的，故选(D)【知识模
12、块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 两矩阵等价的充要条件是矩阵同型且秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有 r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B-1B=E，可见(B) 中命题成立；AE 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故|B|0 ，可见(C) 中命题也是成立的；矩阵 A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上，当 |A|0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即|B|0，不一定有|B|0故选(A) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】
13、B 由 A 第 1 行加到第 3 行(A 左边乘 P2)再将第 1，2 行对换(P 2A 左边乘 P1)得到，故 (C)正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因 B=AP2P1，故 B1=(AP2P1)-1=P1-1P2-1A-1=P1P2A-1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 =(-2)2n|A*|A|=4n|A|n=(4|A|)n【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 对 Ax=k1+2 的增广矩阵作初等行变换，得Ax=k1+2 有解 r(A)=r(A|k1+2)，得 k=一 2，故应选(D)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】
14、 A【试题解析】 由题意，知 A1=A2=A3=b，则 A( 1-2)=A1 一 A2=b-b=0， A(1-22+3)=A1-2A2+A3=b-2b+b=0，A(1+32-43)=A1+3A2 一4A3=b+3b4b=0，因此这 4 个向量都是 Ax=0 的解，故选 (A)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，故(A)不正确由 n 一 r(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成但 1， 1+2 与 1 一 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k1 可能不是通解如果 1=一
15、 20，则 1， 2 是两个不同的解，但 1+2=0，即两个不同的解不能保证 1+20，因此排除(B)，(C)由于 12，必有 1 一 20可见(D)正确【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 B【试题解析】 当 Anx=0 时，易知 An+1x=a(Anx)=0，故(I)的解必是()的解，也即正确，错误 当 An+1x=0 时，假设 Anx0，则有 x，Ax，A nx 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A nx 是线性无关的由于 x，Ax ，A nx 均为n 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾，故假设不成立，因此必有Anx=0可知( )的解必是(I) 的解，故正确
16、，错误故选(B)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为零的数 k1，k 2，k s， 1， 2， s 使得 (k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 一 1)1+(k2 一 2)2+(ks 一 s)s=0， 整理得 k1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1 一 1)+2(2-2)+ s(s 一 s)=0， 从而得1+1， ， s+s， 1-2， s 一 s 线性相关【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 C【试题解析】 只要对两种情况举出例子即可取 线性无关，线性无关，且显然不能相互线性表出，但 4 个 3 维向量必定线性相关；取
17、线性无关， 线性无关，且显然不能相互线性表出，且 4 个向量仍然线性无关 由， 知，应选 (C)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， 2， s 的极大线性无关组为 1， 2， 则i(i=1， 2，s)均可由 1， 2， 线性表出，又 i(i=1，2，s) 可由(I)线性表出，即可由 1， 2， 线性表出，即 1， 2， 也是向量组1， 2， s,1， 2， ， s 的极大线性无关组，故r(1， 2， ， s， 1， 2， s)=r1，其余选项可用反例否定【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 D【试题解析】 由题设有 r( 1， 2， n，)=r 1,r(1，
18、2， n，)=r 2+1， 故 r=r(1， 2， n，, 1， 2， n，)r 1+r2+1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A【试题解析】 方程 AX=0 和 ATAX=0 是同解方程组【知识模块】 线性代数二、填空题16 【正确答案】 【试题解析】 由 A2 一 2A+E=O，得(A+E)(A-3E)=-4E ，故【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 由(2A)(2A)*=|2A|E ，得(2A)*=|2A|(2A) -1，故|(2A)*|=|2A|(2A -1|=|2n-1.5A-1|=(2n-1.5)n|A-1|= 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】
19、【试题解析】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 由 其中【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 18【试题解析】 由|2E+A|=|A 一(一 2E)|=0 知 =一 2 为 A 的一个特征值由 AB知 A 和 B 有相同特征值，因此 1=1， 2=一 1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为 1=1， 2=-1， 3=-2则有 E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(-1)=-1，1+2(-2)=一 3，从而 |E+2B|=3(一 1)(-3)=9，|A|= 123=2 故 |A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|E+2B|=29=18【知识模块】 线性代
20、数21 【正确答案】 a 2(a 一 2n)【试题解析】 依题意有 A=T= 于是有 An=(T)n=TT T=(T)(T)( T)T=2n-1A.故=a(a 一 2n-1)2 一(一 2n-1)2=a(a2-a2n)=a2(a 一2n)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 O【试题解析】 由 A2= =2A，有 An=2An-1，A n 一 2An-1=O【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【试题解析】 E+B=E+(E+A) -1(E 一 A)=(E+A)-1(E+A+E 一 A)=2(E+A)-1E，故 (E+B)-1=【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 2.3 n【试题
21、解析】 由于 T=3，可知 tr(T)=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n一 1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n-1 重)，3因此，A+2E= T+3E 的特征值为 3(n-1 重)，6，故 |A+2E|=3 n-1.6=2.3n【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 【试题解析】 因矩阵 A，C，D 均可逆，故 ，B*=|B|B -1，且 B-1=(A-1DC-1)-1=CD-1A= 所以【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。26 【正确答案】 由已知 aij=Aij，所以 A*=AT，且 AA*=AA T=|A|E 两边取行列式得 |A
22、A T|A|2=|A|E|=|A|n， 从而 |A| n-2=1 或|A|=0 由 a110，可知 |A、=a 11A11+a12A12+a1nA1n=a112+a122+a1n20，于是|A|=1【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 不失一般性，设【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 按第一行展开 D5=(1-x)D4-x =(1-x)D4+xD3，得到递推公式 D 5 一 D4=-x(D4-D3)=x2(D3 一 D2)=一 x3(D2 一 D1)由于 D2=1 一 x+x2，D 1=1 一 x，于是得 容易推出 D5=一 x5+x4一 x3+D2=一 x5+x4 一 x3+x2
23、一 x+1【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 =(a2+b2+c2+d2)4故原式=(a 2+b2+c2+d2)2(负号舍去取 b=c=d=0，原式=a 4，可知结果取“+”)【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 f(x)显然在0 ，1上连续，在(0，1) 上可导而可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故存在 (0，1)，使得 f()=0【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)当 aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=AA*=|A|E由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以 tr(AAT)= 而 tr(AAT)=tr(|A|E)=n|A|，
24、这说明|A|0在 AAT=|A|E 两边取行列式，得|A| n-2=1，|A|=1 反之，若 ATA=E且|A|=1，则 A*A=|A|E=E 且 A 可逆，于是 ATA=A*A，A T=A*，即 aij=Aij (2)当aij=一 Aij 时，有 AT=-A*，则 ATA=一 A*A=一|A|E由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即aij 不全为 0，不妨假设其第 j 列存在非零元素，所以 |A|= 在ATA=一|A|E 两边取行列式得|A|=一 1. 反之，若 ATA=E 且|A|=一 1，由于A*A=|A|E=一 E，于是 ATA=-A*A进一步，由于 A 可逆，得 AT=-A*，即 aij
25、=-Aij【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 由|A+E|=|A+AA T|=|A(E+AT)|=|A|.|(A+E)T|=|A|.|A+E|，故【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 因 a1，a 2，a n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 其中|A i|是 b 替换|A|中第 i 列得到的行列式，有 |A 1|=|A|，|A i|0，i=2，3，n故 AX=b 的唯一解为 X=1，0，0，0 T【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 因为 B=2AE，B 2=(2AE)(2AE)=4A2 一 4A+E，所以 4A2 一4A
26、+E=E 4A2 一 4A=O A2=A【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 应有=0，i=1，2，n，即 aij=0(i=1，2，n ；j=1，2，n)，即 A=O反之，若 A=O，显然 AAT=O【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 (1)用归纳法当 n=3 时，因 验证得A3=A+A2 一 E，故所证等式成立；假设 n=k-1(n3)时，A k-1=Ak-3+A2 一 E 成立，则 Ak=A.Ak-1=A(Ak-3+A2 一 E)=Ak-2+A3-A =Ak-2+(A+A2-E)一 A=Ak-2+A2 一 E，即 n=k时成立故 An=An-2+A2 一 E 对任意 n(n3)成立 (2)由上述递推关系可得 A100=A98+A2E=(A96+A2-E)+A2 一 E =A96+2(A2-E)=A2+49(A2-E)=【知识模块】 线性代数
