1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 PALP1 为对角阵（D）存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵2 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵3 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A=T，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（A
2、）1（B） 2（C） 3（D）44 设 A，B 是正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) （A）C TAC（B） A1+B1（C） A*+B*（D）AB二、填空题5 设 AB，其中 ，则x=_，y=_6 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1=3， 2=3=5，且 1=3 对应的线性无关的特征向量为 ，则 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为_7 设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T，则 A 的特征值为_8 设 的特征向量，则 a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 A 是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A 2 一 3A=0，设(1
3、，1，一 1)T 为 A 的非零特征值对应的特征向量 (1)求 A 的特征值；(2) 求矩阵 A10 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=8， 2=3=2，矩阵 A 的属于特征值 1=8 的特征向量为 ，求属于 2=3=2 的另一个特征向量11 设 n 阶矩阵 A 满足(aW 一 A)(bEA)=0 且 ab证明：A 可对角化12 设非零 n 维列向量 ， 正交且 A=T证明： A 不可以相似对角化13 设 A= (1)证明 A 可对角化； (2) 求 An14 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 x，y 满足的条件15 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 Ak=0证明：
4、A 不可以对角化16 设 A 为三阶矩阵，A i=ii(i=1，2，3)， ，求 A17 设 的逆矩阵 A1 的特征向量求 x，y，并求 A1 对应的特征值 18 设 为 A*的特征向量，求 A*的特征值 及 a，b，c 和 A 对应的特征值 19 设 AB， (1)求 a，b； (2)求可逆矩阵P，使得 P1AP=B20 设 且 AB(1) 求 a； (2)求可逆矩阵 P，使得 P1AP=B21 设 A= 有三个线性无关的特征向量(1)求 a；(2) 求 A 的特征向量；(3)求可逆矩阵 P，使得 P1AP 为对角阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个
5、选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然(B)、(C)、(D) 都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以 A 不一定与单位矩阵合同，选 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以 A=T0，则 r
6、(A)1， 又因为 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1 令 AX=X，由 A2X=T TX=O=2X 得 =0， 因为 r(OEA)=r(A)=1，所以 A的线性无关的特征向量个数为 3，应选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，B 正定，所以 A1，B 1 及 A*，B *都是正定的，对任意 X0，X T(CTAC)X=(CX)TA(CX)0(因为 C可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A1+B1 与 A*+B*都是正定矩阵，选 D【知识模块】 线性代数二、填空题5 【
7、正确答案】 3；1【试题解析】 因为 AB，所以 ，解得x=3，y=1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2=3=5 对应的特征向量为【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 0【试题解析】 因为 A2=3A，令 AX=X，因为 A2X=2X，所以有( 一 3)X=0，而X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1+2+3=tr(A)=(，)，所以1=3， 2=3=0 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2，3【试题解析】 由 A= 得 解得=5，a=2，b=3【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或
8、演算步骤。9 【正确答案】 (1)A 2 一 3A=OA3EA =0=0 ，3，因为 r(A)=1，所以1=3， 2=3=0 (2)设特征值 0 对应的特征向量为(x 1，x 2，x 3)T，则 x1+x2 一 x3=0，则 0 对应的特征向量为 2=(一 1，1，0) T， 3=(，1，0，1) T，今【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有 12=一 1+k=0k=1 1=8 对应的特征向量为 1= 令 2=3=2 对应的另一个特征向量为 3= ，由不同特征值对应的特征向量正交，得 x1+x2+x3=0【知识模块】 线性代数11 【正确
9、答案】 由(aE 一 A)(bE 一 A)=O，得aEA bEA =0，则aEA=0 或者同时 r(aEA)+r(bE 一 A)rE(aEA)一(bEA)=rE(a 一 b)E=n所以 r(aEA)+r(bE 一 A)=n(1)若aE A0，则 r(aEA)=n，所以 r(bEA)=0，故 A=bE(2)若bE 一 A0，则 r(bEA)=n，所以 r(aEA)=0，故 A=aE(3)若aE A=0 且bE 一 A=0 ，则 a，b 都是矩阵 A 的特征值方程组(aE 一 A)X=0 的基础解系含有 n 一 r(aEA)个线性无关的解向量，即特征值 a 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一
10、r(aEA)个；方程组(bE A)X=0 的基础解系含有 n 一 r(bEA)个线性无关的解向量，即特征值 b 对应的线性无关的特征向量个数为 n 一 r(bEA)个因为 n 一 r(aEA)+nr(bEA)=n，所以矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，所以 A 一定可以对角化【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 令 为矩阵 A 的特征值，X 为 所对应的特征向量，则AX=X，显然 A2X=2X， 因为 ， 正交，所以 A2=T T=O，于是 2X=0，而 X0，故矩阵 A 的特征值为 1=2= n=0 又由 ， 都是非零向量得 AO， 因为 r(0EA)=r(A)1，所以 n 一 r
11、(0EA)n 一 1n，所以 A 不可相似对角化【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)由E 一 A=( 一 1)2(+2)=0 得 1=2=1， 3=一 2当 =1 时，由(EA)X=0 得 =1 对应的线性无关的特征向量为 当 =一2 时，由(一 2E 一 A)X=0 得 =一 2 对应的线性无关的特征向量为 因为A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化(2)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由E A= =(+1)( 一 1)2 得 1=一1， 2=3=1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(EA)=1，由 EA= 得 x+y=0
12、【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 令 AX=X(X0)，则有 AkX=kX，因为 Ak=O，所以 kX=0，注意 到 X，故 k=0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0 因为 r(0EA)=r(A)1，所以方程组(0E A)X=0 的基础解系至多含 n 一 1 个线性 无关的解向量，故矩阵 A不可对角化【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 令【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 令 A=0，即 ，解得0=4，x=10，y=一 9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 =【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)因为 AB，所
13、以 A，B 有相同的特征值， 1=2=2，因为 A 相似于对角阵，所以 r(2EA)=1，而 2EA= ，于是 a=5，再由 tr(A)=tr(B)得 b=6【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(一 1)+2，于是a=0(2)由E 一 A= =(+1)( 一 1)( 一 2)=0 得 A，B 的特征值为 1=一 1， 2=1， 3=2当 =一 1 时，由(一 EA)X=0 即(E+A)X=0 得1=(0，一 1，1) T；当 =1 时，由(EA)X=0 得 2=(0，1，1) T； 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
