1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A= ，则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同2 设 A 是三阶实对称矩阵，若对任意的三维列向量 X，有 XTAX=0，则( )（A）A=0（B） A0（C） A0（D）以上都不对二、填空题3 f(x1，x 2，x 3，x 4)=XTAX 的正惯性指数是 2，且 A2 一 2A=O，该二次型的规范形为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 A，B 为三阶矩阵，且 AB=A-B，若 1， 2， 3 为
2、A 的三个不同的特征值，证明： (1)AB=BA； (2) 存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP，P -1BP 同时为对角矩阵5 (1)若 A 可逆且 AB ，证明：A *B *； (2)若 AB，证明：存在可逆矩阵 P，使得 APBP6 设 A= 有三个线性无关的特征向量，求 a 及 A*7 设方程组为矩阵 A 的分别属于特征值 1=1， 2=一 2， 3=一 1 的特征向量(1) 求 A； (2)求A *+3E8 设 A 为三阶实对称矩阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 有非零解且 1=2 是 A的特征值，对应特征向量为(一 1，0，1) T (1)求 A 的其他特征值与特征向量； (2
3、)求 A9 设 A= ，求 a，b 及正交矩阵 P，使得PTAP=B10 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明： A，B 有公共的特征向量11 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 n0，若 A1=2，A 2=3，A n-1=n，A n=0 (1)证明： 1， 2， n 线性无关； (2)求 A 的特征值与特征向量12 设 A 为三阶方阵，A 的每行元素之和为 5，AX=0 的通解为，求 A13 A= ，求 a，b 及可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B14 设 A= ，求 A 的特征值与特征向量，判断矩阵 A 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵
4、 P 及对角阵15 设 A 为 mn 实矩阵，且 r(A)=n证明：A TA 的特征值全大于零16 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：对任意的可逆矩阵 P，P TAP 为正定矩阵17 设 P 为可逆矩阵， A=PTP证明：A 是正定矩阵18 设 A，B 为 n 阶正定矩阵证明：A+B 为正定矩阵19 三元二次型 f=XTAX 经过正交变换化为标准形 f=y12+y22 一 2y32，且 A*+2E 的非零特征值对应的特征向量为 1= ，求此二次型20 设二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x1+2bx1x3+2x2x3 经过正交变换 X=QY，化为标准形 f=y12+y22+4y32
5、，求参数 a，b 及正交矩阵 Q21 设齐次线性方程组 为正定矩阵，求 a，并求当 X= 时 XTAX 的最大值22 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵23 设 A 为 m 阶正定矩阵，B 为 mn 实矩阵证明： BTAB 正定的充分必要条件是r(B)=n考研数学三（线性代数）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 A，B 都是实对称矩阵，由E 一 A=0 ，得 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=9，由E 一 B=0，得 B 的特征值为 1=1， 2=3=3，因为A，B
6、惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 设二次型，则f=XTAX=1=0，同理可得 2=3=0，由于 A 是实对称矩阵，所以 r(A)=0，从而A=O，选 A【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 y 12+y22【试题解析】 A 2 一 2A=Or(A)+r(2E 一 A)=4A 可以对角化， 1=2， 2=0，又二次型的正惯性指数为 2，所以 1=2， 2=0 分别都是二重，所以该二次型的规范形为 y12+y22【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】
7、(1)由 AB=AB 得 ABAB+E=E，(E 一 B)(E+A)=E， 即 EB与 E+A 互为逆矩阵，于是(E B)(E+A)=E=(E+A)(EB)， 故 AB=BA (2)因为 A有三个不同的特征值 1， 2， 3，所以 A 可以对角化，设 A 的三个线性无关的特征向量为 1， 2， 3，则有 A(1， 2， 3)=(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， BA(1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)， AB( 1， 2， 3)=B(1， 2， 3)diag(1， 2， 3)，于是有 AB i=iBi，i=1，2，3 若 Bi0，则 Bi 是 A 的属
8、于特征值 i 的特征向量，又 i 为单根，所以有 Bi=ii； 若 Bi=0，则 i 是 B 的属于特征值 0 的特征向量无论哪种情况，B 都可以对角化，而且 i 是 B 的特征向量，因此，令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP，P -1 卯同为对角阵【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 (1)因为 A 可逆且 AB 所以 B 可逆，A，B 的特征值相同且A= B 因为 AB，所以存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B， 而A*=AA -1，B *=BB -1，于是由 P-1AP=B，得(P -1AP)-1=B-1，即 P-1A-1P=B-1，故 P-1 AA -1P=AB -1 或 P
9、-1A*P=B*，于是 A*B * (2)因为 AB ，所以存在可逆阵 P，使得 P-1AP=B，即 AP=PB，于是 AP=PBPP-1=P(BP)P-1，故 APBP【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 因为方程组有无穷多个解，所以(2)A =2，A *对应的特征值为 ，即 2，一 1，一 2，A *+3E 对应的特征值为 5，2，1，所以A *+3E=10【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (1)因为 A 的每行元素之和为 5，所以有【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，A =B，即【知识模块】 线
10、性代数10 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)有非零解，即 A，B 有公共的特征向量。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 (1)令 x11+x22+xnn=0，则x11+x22+xnn=0x 12+x23+xn-1n=0x12+x23+xn-1n=0x 13+x24+xn-2n-2=0x1n=0 因为 n0，所以 x1=0，反推可得x2=xn=0，所以 1， 2， n 线性无关(2)A( 1， 2， n)=(1， 2， n) ，令 P=(1， 2， n)，则 P-1AP=B，则 A 与 B 相似，由 E 一 B=0 1= n=0，即A 的特征值全为零，又 r(A)=
11、n 一 1，所以 AX=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 An=0n(n0)，所以 A 的全部特征向量为 kn(k0)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由E 一 B=0，得 1=一 1， 2=1， 3=2，因为 AB，所以 A的特征值为 1=一 1， 2=1， 2=2由 tr(A)=1+2+3，得 a=1，再由A=b= 123=一 2，得 b=一 2，即 A= 由(一 EA)X=0，得1=(1，1，0) T；由(EA)X=0，得 2=(一 2，1，1) T；由(2E A)X=0，得 3=(一2，1，0) T， 由(一 Eg)X=0，
12、得1=(一 1，0，1) T；由(E 一 g)X=0，得 2=(1，0，0) T；由(2EB)X=0，得3=(8，3，4) T， 由 P1-1AP1=P2-1BP2，得(P 1P2-1)-1AP1P2-1=B，令 P=P1P2-1=，则 P-1AP=B【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 E 一 A= =(+a 一 1)( 一 a)(-a-1)=0，得矩阵 A 的特征值为 1=1 一 a， 2=a， 3=1+a(1)当 1 一 aa，1 一a1+a，a1+a，即 a0 且 a 时，因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 一定可以对角化 1=1 一 a 时，由(1 一 a)EAX=0 得
13、 1= ； 2=a 时，由(aE-A)X=0 得 2= (2)当a=0 时， 1=3=1，因为 r(E-A)=2，所以方程组(E 一 A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故矩阵 A 不可以对角化(3)当 ，因为的基础解系只含有一个线性无关的解向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵，r(A TA)=n，对任意的 X0，X T(ATA)X=(AX)T(AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以(AX) T(AX)=T= 20，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型，A TA 为正定矩阵，所以ATA 的特征值全大于零
14、【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 首先 AT=A，因为(P TAP)T=PTAT(PT)TPTAP，所以 PTAP 为对称矩阵，对任意的 X0，X T(PTAP)X=(PX)TA(PX)，令 PX=，因为 P 可逆且 X0，所以 0，又因为 A 为正定矩阵，所以 TA0，即 XT(PTAP)X0，故 XT(PTAP)X 为正定二次型，于是 PTAP 为正定矩阵【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 显然 AT=A，对任意的 X0，X TAX=(PX)T(PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以 PX0，于是 XTAX=(PX)T(PX)=PX 20，即 XTAX 为正定二次型，故 A
15、为正定矩阵【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 A，B 正定，所以 AT=A，B T=B，从而(A+B) T=A+B，即A+B 为对称矩阵 对任意的 X0，X T(A+B)X=XTAX+XTBX，因为 A，B 为正定矩阵，所以 XTAX0， X TBX0，因此 XT(A+B)X0，于是 A+B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 f=XTAX 经过正交变换后的标准形为 f=y12+y22 一 2y32，所以矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=一 2由A= 123=一 2 得 A*的特征值为1=2=一 2， 3=1，从而 A*+2E 的特征值为 0，0， 3，
16、即 1 为 A*+2E 的属于特征值 3 的特征向量，故也为 A 的属于特征值 3-一 2 的特征向量令 A 的属于特征值1=2=1 的特征向量为 = ，因为 A 为实对称矩阵，所以有 1T=0，即 x1+x2=0故矩阵 A 的属于 1=2=1 的特征向量为【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x1+2bx1x3+2x2x3 的矩阵形式为 f=x TAx其中 A= ，所以 AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为 1，1，4而E 一 A= 3一(a+4) 2+(4ab2+2)+(一 3a 一 2b+2b2+2)，所以有
17、 3 一(a+4) 2+(4ab2+2)+(一3a 一 2b+2b2+2)=( 一 1)2( 一 4)，解得 a=2，b=1当 1=2=1 时，由(EA)X=0得 1= 由 3=4 时，由(4EA)X=0 得 3= 显然 1， 2， 3 两两正交，单位化为【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为方程组有非零解，所以 =a(a+1)(a 一 3)=0，即 a=一 1 或 a=0 或 a=3因为 A 是正定矩阵，所以 aii0(i=1，2，3)，所以a=3当 a=3 时，由E 一 A= =( 一 1)( 一 4)( 一 10)=0得 A 的特征值为 1，4，10因为 A 为实对称矩阵，所以存
18、在正交矩阵 Q，使得 f=XTAX y12+4y22+10y3210(y12+y22+y32)而当X = 时， y12+y22+y32=YTY=YTQTQY=(QY)T(QY)=XTX=X=2 所以当X = 时，XTAX 的最大值为 20(最大值 20 可以取到，如 y1=y1=0，y 3= )【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XTAX 因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=X TAX 1y12+2y22+ny32，其中i0(i=1，2，n)， 对任意的 X0，因为 X=QY，所以 Y=QTX0， 于是f=1y12+2y22+ny320，即对任意的 X0 有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为(B TAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，所以 BTAB 为对称矩阵， 设BTAB 是正定矩阵，则对任意的 X0， X TBTABX=(BX)TA(BX)0，所以 BX0，即对任意的 X0 有 BX0，或方程组 BX=0 只有零解，所以 r(B)=n 反之，设r(B)=n，则对任意的 X0，有 BX0， 因为 A 为正定矩阵，所以 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)0， 所以 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
