1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 ( )（A）-3（B） -1（C） 0（D）32 设 A，B 是 n 阶方阵，AB=O，BO，则必有 ( )（A）(A+B) 2=A2+B2（B） |B|0（C） |B*|=0（D）|A *|=03 设 其中 A 可逆，则 B-1 等于 ( )（A）A -1P1P2（B） P1A-1P2（C） P1P2A-1（D）P 2A-1p14 设 则 ( )（A）存在 ij(i，j=1 ，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（B）不存在 ij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线
2、性相关（C）存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性无关（D）不存在 bij(i，j=1，2，3)使得 1， 2， 3 线性相关5 已知 1， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1， k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解址 ( )6 已知 1， 2 是方程(A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（A） 1（B） 2（C） 1-2（D） 1+2二、填空题7 8 已知 A2 一 2A+E=O，则(A+E) -1_9 设 A 是 5 阶方阵，且 A2=O，则 r(A
3、*)=_ 10 设 ，B 是 3 阶非零矩阵，且 AB=0，则 Ax=0 的通解是 _11 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足Ai=i， i=1，2，3，则 A=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 ，求 An13 A，B 为 n 阶方阵证明：(1) (2)计算14 设线性线性方程组 为何值时，方程组有解，有解时，求出所有的解15 设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1， 2， 3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T， 2+3=2，一 1，1 T， 3+1=0，2，0 T，求该非齐次方程的通解16
4、 设 A 是三阶实矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3 是三个对应的特征向量证明：当 230 时，向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关16 设向量 =1， 2， nT0，=b 1，b 2，b nT 都是非零向量，且满足条件 T=0，记 n 阶矩阵 A=T，求：17 A2；18 A 的特征值和特征向量；19 A 能否相似于对角阵，说明理由19 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3)=422 一 3x32+4x1x24x1x3+8x2x320 写出二次型 f 的矩阵表达式；21 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵考研数学三
5、（线性代数）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 AB=O ，不一定有 BA=O，故 AB=O，不一定有 BA=O，故(A)(A+B)2=A2+B2，不成立；BO ， |B|可以为零，也可以不为零， |B*|也可以为零，可以不为零，故(B) ，(C) 不成立； BO，AB=O，AX=0 有非零解，故|A|=0，从而|A*|=|A|N-1=0【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因 B=AP2P1，B -1=(AP2P1)-1=P1-1P2
6、-1A-1=P2P2A-1【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由 知向量组 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关因 1， 2， 3 线性相关，故(A)，(B)不成立，因 2， 3， 4 线性无关，故(C) 成立，(D) 显然不成立【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 (A) ，(C) 中没有非齐次特解， (D)中两个齐次解 1 与 1 一 2 是否线性无关未知，而(B)中因 1， 2 是基础解系，故 1， 1 一 2 仍是基础解系，仍是特解【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因考 12，故 1=20，且仍有关系 A( 1
7、 一 2)=1 一 2=(1 一 2)，故 1 2 是特征向量 而(A) 1，(B) 2，(D) 1+2 均有可能是零向量而不能成为 A的特征向量【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 (x 2-y2)(b2-c2)【试题解析】 =(x2-y2)(b2-c2)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 A 2 一 2A+E=O，(A+E)(A 一 3E)=一 4E，【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 0【试题解析】 因 A 2=AA=O，r(A)+r(A)5，r(A)2，从而 A *=O，r(A *)=0【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 k一 1，1，0 T，k
8、 为任意常数【试题解析】 由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 BO，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 由 r(A)3，有 a=1 当 a=1时，求得 Ax=0 的基础解系为一 1，1，0 T，因此通解为 k一 1，1，0 T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 E【试题解析】 因 A1=1， A2=2，A 3=3，合并成矩阵形式有 A 1，A 2，A 3：A1， 2， 3=1， 2， 3， 1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3是可逆阵，故 A=1， 2， 31， 2， 3-1=E【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正
9、确答案】 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 方程组是齐次线性方程组故当 -2，且 2 时，有唯一零解；当 =-2 时，有无穷多解，其解为 k 11，一1，0，0 T+k21，0，-1 ，0 T+k31，0，0，-1 T；当 =-2 时，方程为有通解 k1，1，1，1 T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 r(A)=1，AX=b 的通解应为 k11+k22+，其中对应齐次方程 AX=0的解为 1=(1+2)-(2+3)=1-3=-1，3，2 T， 2=(2+3)-(3+1)=2-1=2，-3，1T因 1， 2 线性无关，故是 AX=0 的基
10、础解系 取 AN=b 的一个特解为故 AX=b 的通解为 k 1一 1，3，2 T+k22，一 3，1T+0，1，0 T【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 因 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)=1， 11+22， 122， 121+222+323=1， 2， 3 因 123，故1， 2， 3 线性无关，由上式知 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关=2320，即 230【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A 2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)T=O，即 A 是幂零阵(A 2=O)【知识模块】 线性
11、代数18 【正确答案】 利用(1)A 2=O 的结果设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= 两边左乘 A，得 A 2=A=2 因 A2=O，所以2=0， 0，故 A=0，即矩阵 A 的全部特征值为 0【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 不能相似于对角阵，因 0，0，故 A=TO，r(A)=r0(其实 r(A)=1，为什么?) 从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n 一 rn 个，故 A 不能对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 二次型的矩阵 ，则二次型厂的矩阵表达式f=xTAx【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A 的特征多项式|A 一 E|=-(6+)(1-)(6-)，则 A 的特征值 1=-6， 2=1， 3=6所求正交变换 ，二次型 f 的标准型 f=-6y12+y22+6y32【知识模块】 线性代数
