1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 25 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 线性方程组 则（A）当 a， b，c 为任意实数时，方程组均有解（B）当 a=0 时，方程组无解（C）当 b=0 时，方程组无解（D）当 c=0 时，方程组无解2 设 Ann 是正交矩阵，则 ( )（A）A *(A*)T=|A|E（B） (A*)TA*=|A*|E（C） A*(A*)T=E（D）(A *)TA*=一 E3 设 1， 2， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1-2， 1-2+3， (1-3)，1+32-43，是导出组 Ax=0 的解向量的个数为 ( )
2、（A）4（B） 3（C） 2（D）14 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组 21+3+4， 2-4， 3 +4， 2+3，2 1+2+3 的秩是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 有解的充要条件是 ( )（A）r(A)=r(A|b) ，r(B) 任意（B） AX=b 有解，BY=0 有非零解（C） |A|0， b 可由 B 的列向量线性表出（D）|B|0， b 可由 A 的列向量线性表出6 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（A）A 有 n 个不同的特征值（B） A 有
3、 n 个不同的特征向量（C） A 的每个 ri 重特征值 i，r( iE-A)=n-ri（D）A 是实对称矩阵二、填空题7 设 A=1， 2， 3是 3 阶矩阵，|A|=4 ，若 B= 1-32+23， 2-23，2 2+3，则|B|=_8 已知 A，B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B中第 1 列和第 2 列对换得到 B1，又 A1 B1= ，则 AB= _9 设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 Ax=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a=_ 10 设 A 是 3 阶矩阵，|A|=3，且满足|A 2
4、+2A|=0，|2A 2+A|=0，则 A*的特征值是 _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算12 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵， AT 是 A 的转置矩阵) ，|A|0，求|A+E|12 设13 证明：当 n3 时，有 An=An-2+An-E；14 求 A10015 已知，2 阶方阵 A 满足矩阵方程 A2 一 3A 一 2E=O证明：A 可逆，并求出其逆矩阵 A-116 设 证明：A=E+B 可逆，并求 A-117 已知 1=1，一 1，1 T， 2=1，t，一 1T， 3=t，1，2 T，=4，t 2，一 4T，若 可由 1
5、， 2， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式18 设 A 是 nm 阶矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位阵，若 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关19 设有 4 阶方阵 A 满足条件|3E+A|=0，AA T=2E，|A|0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值19 设 A=E+T，其中 =1， 2， nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=220 求 A 的特征值和特征向量；21 求可逆 P，使得 P-1AP=A22 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+ATA证明：当0 时，矩阵 B 为正定矩阵考
6、研数学三（线性代数）模拟试卷 25 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因：a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式当 abc0 时，由克拉默法则知，方程组有解，且abc=0 时也有解，故 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 A 是正交阵，则有 A*(A*)T=|A|AT(|A|AT)T=|A|2ATA=E【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 由 A1=A2=A3=b 可知 A( 1-2)=A1-A2=b-b=0， A( 1-2
7、2+3)=A12A2+A3=b 一 2b+b=0， A(1+32-43)=A1+3A2-4A3=b+3b-4b=0， 因此这 4 个向量都是 Ax=0 的解，故选(A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 r(2 1+3+4， 2-4， 3+4， 2+3，2 1+2+3)(1， 2， 3， 4， 5)=3 1， 2， 3， 4， 5=1， 2， 2， 3因 r( 1， 2， 3， 4)=4，故 r(1， 2， 3， 4， 5)=【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 r(A)=r(A|b)，r(B) 任意(BY=0 总有解，至少有零解，其余均错)【知识模块】
8、线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 A 相似于对角阵 有 n 个线性无关特征向量 对每个 ri 重特征值i，r( iEA)=n 一 ri，即有 ri 个线性无关特征向量 (共 n 个线性无关特征向量) (A)(D)是充分条件，但非必要， (B)是必要条件，但不充分，n 个不同的特征向量，并不一定线性无关【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质 |B|=| 1-32+23， 2-23，5 3| =5|1 32+23， 2-23， 3| =5|1-32， 2， 3| =5|1， 2， 3| =20【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】
9、 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 ，AX=0 只有一个非零解组成基础解系，故r(A)=n 一 1，【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1= ， 2=-6， 3=1【试题解析】 |A|A+ 2E|=0，因|A|=3，则|A+2E|=0，故 A 有特征值 1=-2因|A|=3= 123，故 3=3【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 把 Dn 按第一行展开，得把递推公式改写成 D n 一 Dn-1=(Dn-1 一 Dn-2)， 继续用递推关系递推，得 Dn 一 Dn-1=(Dn-1 一 Dn-2)=2(Dn-2 一
10、Dn-3)= n-2(D2 一 D1)，而 D n-2=(+)2 一，D n-2=+， D n-Dn-1=n-2(D2-D1)=n， 式递推得 Dn=aDn-1+n=(Dn-2+n-1)+n = n+n-1+n-2+ n-1+n 除了将 式变形得 式外，还可将式改写成 D n 一 Dn-1=(Dn-1+Dn-2) 由 递推可得 D n 一 Dn-1=n， 一 得 ()Dn=n+1 一 n+1，【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 |A+E|=|A+AA T|=|A(E+AT)| =|A|.|(A+E)T|=|A|.|A+E|【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 用
11、归纳法n=3 时，因 ，验证得A3=A+A2 一 E，上式成立 假设 n=k-1 时(n3)成立，即 Ak-1=Ak-3+A2-E 成立，则 Ak=A.Ak-1=A(Ak-3+A2-E)=Ak-2+A3-A =Ak-2+(A+A2-E)-A=Ak-2+A2-E 即 n=k 时成立故 An=An-2+A2-E 对任意 n(n3)成立【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由上述递推关系可得 A 100=A98+A2 一 E=(A96+A2E)+A2 一 E =A96+2(A2 一 E)=A2+49(A2E)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 A 2 一 3A 一 2E=O【知识模块】 线
12、性代数16 【正确答案】 因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换 )且 B4=O，故 (E+B)(E 一B+B2 一 B3)=EB4=E，故 A=E+B 可逆，且 A -1=(E+B)-1=EB+B2 一 B3 又【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，按分量写出为【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 B=1， 2， n，其中 i(i=1，2，n)是 B 按列分块后的列向量设 x11+x22+xnb=0，即 两边左乘 A，则得 ABX=EX=X=O，所以 1， 2， n 线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 为 A 的特征值由 AAT=
13、2E，则 A*的一个特征值为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设(E+ T)=左乘 T， T(E+T)=(T+TT)=(1+T)T=T，若 T0，则 =1+T=3；若 T=0，则由式，=1即b 1，b 2，b nX=0，因 T=2，故 O，=0，设 b10，则 1=b2，一 b1，0，0 T， 2=b3，0，-b1，0 T， n-1=bn，0， ，0，-b 1T； =3 时，(3E-A)X=(2E 一 T)X=0， n=1， 2， nT【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 取 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 用定义证明显然 B 为对称矩阵对 ，当 0 时有XTBx=xTx+， ATAx=axTx+(Ax)T(Ax)=|x|2+|Ax|20故 B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
