1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 27 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶方阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是( )2 设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij 为 aij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵； A 是对称矩阵； A 是不可逆矩阵； A 是正交矩阵 其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n+1x=0，现有命题 () 的解必是()
2、的解； ()的解必是( )的解； ()的解不一定是()的解； () 的解不一定是()的解 其中正确的是 ( )（A）（B） （C） （D）4 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件为（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表出（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表出（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=1， 2， m 与矩阵 B=1， 2， ， m等价5 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的对应于
3、1， 2 的特征向量，则 ( )（A）当 1=2 时， 1， 2 对应分量必成比例（B）当 1=2 时， 1， 2 对应分量不成比例（C）当 12 时， 1， 2 对应分量必成比例（D）当 12 时， 1， 2 对应分量必不成比例6 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA ； A2 B2； A TB T； A -1B -1。 正确命题的数量为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=n，|B|=b，C= ，则|C|= _ 8 设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且|2E+A|=0， 1=1， 2
4、=-1 为 B 的两个特征值，则行列式|A+2AB|=_9 方程组 x1+x2+x3+x4+x5=0 的基础解系是 _ 10 矩阵 的非零特征值是 _ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 |A|是 n 阶行列式，其中有一行 (或一列)元素全是 1证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值12 设 B=2A-E证明：B 2=E 的充分必要条件是 A2=A13 设 可逆，其中 A，D 皆为方阵求证：A，D 可逆，并求 M-113 设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵14 计算并
5、化简 PQ；15 证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b16 证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)一 n 特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n17 设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A2+AB+B2=O证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A-1 和(A+B) -118 设向量组 1， 2， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t，线性无关19 已知 =1，k，1 T 是 A-1 的特征向量，其中 ，求 k 及 所对应的特
6、征值19 已知 =1，1，一 1T 是矩阵 的一个特征向量20 确定参数 a，b 及考对应的特征值 ；21 A 是否相似于对角阵，说明理由22 证明：AB，其中 并求可逆阵 P，使得 P-1AP=B23 设 A 与 B 均为正交矩阵，并且|A|+|B|=0证明：A+B 不可逆考研数学三（线性代数）模拟试卷 27 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 X，有 XTAX=0，可推出 AT=一 A，不能推出 A=0例，对任意的x 1，x 2T，均有【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由 aij=Aij(
7、i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A *=AT，那么|A*|=|AT|，也即 |A|2=|A|，即|A|(|A|一 1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a110，则 |A|=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320，故|A|=1因此，A 可逆 并且AAT=AA*=|A|E=E，可知 A 是正交矩阵可知 、正确， 错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选 (B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 当 Anx=0 时，易知 An+1x=A(Anx)=0，故()的解必是()的解，也即正确、错误 当 An
8、+1x=0 时，假设 Anx0，则有 x，Ax，A nx 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A nx 是线性无关的由于 x，Ax ，A nx 均为n 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾，故假设不成立，因此必有Anx=0可知( )的解必是( )的解，故正确，错误，故选(B)。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A= 1， 2， m，B= 1， 2， m等价 r(1， m)=r(1， m) 1， 2， m 线性无关(已知 1， 2， m 线性无关时)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 当 1=2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以
9、线性无关，所以 1， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 12 时，1， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 由 AB 可知：存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B故 P -1A2P=B2，P TAT(PT)-1=BT， P -1A-1P=B-1，所以 A2B 2，A TB T，A -1B -1 又由于 A 可逆，可知 A-1(AB)A=BA，故 ABBA故正确的命题有 4 个，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 (一 1)mnab【试题解析】 【知识模块】 线性代数
10、8 【正确答案】 18【试题解析】 由|2E+A|=|A-(-2E)|=0 知 =一 2 为 A 的一个特征值由 AB 知 A和 B 有相同特征值，因此 1=1， 2=一 1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为1=1， 2=一 1， 3=一 2则有 E+2B 的特征值为 1+2 1=3，1+2 (-1)=一1，1+2(-2)=-3，从而 E+2B|=3(-1)( -3)=9，|A|= 123=2故 |A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=2.9=18【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 1=1，一 1，0，0，0 T2=1，0，-1，0，0 T， 3=1，0，0，-
11、1，0 T， 4=1，0，0，0， -1T【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 =4【试题解析】 因【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 不失一般性，设【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B=2AE，B 2=(2AE)(2AE)=4A2 一 4A+E，【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设 M的逆矩阵为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由(1)得|P|.|Q|=|PQ|=|A| 2(b 一 TA-1) |Q|=|A|(b 一 TA-1)【知识模块】 线性
12、代数16 【正确答案】 注意到【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由题设：A 2+AB+B2=O，得 A(A+B)=一 B2 式右乘(一 B2)-1，得 A(A+B)(一 B2)-1=E，得 A 可逆，且 A -1=(A+B)(一 B2)-1 式左乘(一 B2)-1，得(一 B2)-1A(A+B)=E，得 A+B 可逆，且 (A+B) -1=(一 B2)-1A【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 k+k1(+1)+kt(+t)=0，即(k+k 1+kt)+k11+ktt=0，等式两边左乘 A，得(k+k 1+kt) k+k1+k2=0，则 k11+ktt=0由1， 2， t 线性
13、无关，得 k1=kt= =0，所以 ，+ 1，+ 2， t 线性无关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由题设 A-1=， 是 A-1 的对应于口的特征值，两边左乘 A，得=A 可逆，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 当 a=-3，b=0 时，由当 =-1 时，对应的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角阵【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B由于 1=1 时，( 1E-A)X=0，有特征向量1=1，0，0 T； 2=2 时，( 2E-A)X=0，有特征向量 2=0，1，0 T； n=n 时，( nE-A)X=0，有特征向量 n=0，0，1 T故有 A n=nn，A n-1=(n-1)n-1，A n=1，【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 AAT=E 有|A| 2=1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或-1由|A|+|B|=0 有|A| |B|=-1，也有|A T|.|BT|=-1 再考虑到|A T(A+B)BT|=|AT+BT|A+B|，所以-|A+B|=|A+B|，|A+B|=0故 A+B 不可逆【知识模块】 线性代数
