1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 = ，矩阵 A=E 一 T，B=E+2 T，则 AB= ( )（A）0（B）一 E（C） E（D）E+ T2 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆；若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆；AB 恒可逆正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 n 维向量组 1， 2， s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k2
2、2+kss=0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（D）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss04 要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( )5 已知 1=一 1，1，a，4 T， 2=一 2，1，5，a T， 3=a，2，10，1 T 是 4 阶方阵A 的 3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（A）a5（B） a-4（C） a-3（D）a-3 且 a46 已知 P-1AP= ， 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵A
3、 属于特征值 =6 的线性无关的特征向量，那么矩阵 P 不能是 ( )（A） 1，- 2， 3（B） 1， 2+3， 2-23（C） 1， 3， 2（D） 1+2， 1-2， 3二、填空题7 设 A 为奇数阶矩阵，AA T=ATA=E，|A|0，则|A-E|=_8 设 A=E+T，其中 ， 均为 n 维列向量， T=3，则|A+2E|=_9 方程组 的通解是 _ 10 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算 D5=12 设 A 是 n 阶矩阵证明：A=O 的充要
4、条件是 AAT=O13 设矩阵 ，矩阵 X 满足 AX+EA2+X，其中 E 为 3 阶单位矩阵，求矩阵 X13 设有两个非零矩阵 A=1， 2， nT，B=b 1，b 2，b nT14 计算 ABT 与 ATB；15 求矩阵 ABT 的秩 r(ABT)；16 设 C=E 一 ABT，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C TC=EBATABT+BBT 的充要条件是 ATA=117 证明：r(A+B)r(A)+r(B)18 已知 A，B 是三阶方阵，A0，AB=0 证明：B 不可逆19 设向量组() 与向量组() ，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r证明：()与 () 等价20 已知
5、1=一 3，2，0 T， 2=一 1，0，一 2T 是线性方程组的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数 a，b，c 21 设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式|A 一 3E|的值21 设矩阵 22 已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；23 求矩阵 P，使 (AP)T(AP)为对角矩阵24 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2=A，且 r(A)=r(0rn)证明： 其中Er 是，r 阶单位阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】
6、AB=(E 一 T)(E+2T)=E+T 一 2TT=E+T 一 2T(T)，故 AB=E+ T2. =E【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由于(A-E)B=A，可知当 A 可逆时，|AE|B|0，故|B|0，因此|B|可逆，可知是正确的当 A+B 可逆时， |AB|=|A|B|0，故|B|0，因此 B 可逆可知是正确的类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故|AB|=|A|B|0，因此 AB 可逆，故 A+B 也可逆，可知是正确的最后，由 AB=A+B 可知 (AE)BA=O，也即(AE)B 一(AE)=E，进一步有(AE)(BE)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的综上，
7、4 个命题都是正确的，故选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明之：必要性：假设有一向量，如 s 可由1， 2， s-1 线性表出，则 1， 2， s 线性相关，这和已知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出充分性：假设 1， 2， s 线性相关 至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1， 2， s 线性无关(A)对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论(B)必要但不充分，如1=0，1，0 T， 2=1，1，0 T， 3=1，0，0 T 任两个线性无关，但 1， 2， 3 线性相关(D) 必要但不充分，如上例 1+2+30，但
8、1， 2， 3 线性相关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 因-2，1，1 1=0，-2，1，1 2=0【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由知 5故应选 (A)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 若 P-1AP=A= ，P= 1， 2， 3，则有 AP=PA，即A1， 2， 3=1， 2， 3 即 A 1，A 2，A 3=a11，a 22，a 33 可见 i 是矩阵 A 属于特征值 i 的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵 P 可逆，因此， 1， 2， 3 线性无关 若 是属
9、于特征值 的特征向量，则一 仍是属于特征值 的特征向量，故(A)正确 若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 k1+k2 仍是属于特征值 的特征向量本题中， 2， 3 是属于 =6 的线性无关的特征向量，故 2+3， 223 仍是 =6 的特征向量，并且 2+3， 223 线性无关，故(B)正确 关于(C)，因为 2， 3 均是 =6 的特征向量，所以2， 3 谁在前谁在后均正确即(C)正确 由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1+2， 1 一 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故(D) 错误【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 |AE|=|A AAT|=|A
10、(E 一 AT)|=|A|(EA)T|=|A|EA| 由于AAT=ATA=E，可知|A| 2=1，又由于|A|0，可知|A|=1 又由于 A 为奇数阶矩阵，故 |E-A|=|-(A-E)|=-|A-E|，故有|A-E|=-|A-E|，可知|A-E|=0【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 23 n【试题解析】 由于 T=3，可知 tr(T)=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n一 1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n-1 重)，3因此，A+2E= T+3E 的特征值为 3(n-1 重)，6，故 |A+2E|=3 n-16=23n【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 k1，1，
11、1，1 T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1kr【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 按第一行展开得到递推公式 D5-D4=-x(D4-D3)=一 x3(D2-D1)容易推出 D5=-x5+x4-x3+D2=-x5+x4-x3+x2-x+1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 设反之，若 A=O，显然 AAT=O【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由 AX+E=A2+X (AE)X=(AE)(A+E)又|AE|=一 10，则【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 ，A TB=
12、a1 b1+a2b2+anbn 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因 ABT 各行( 或列)是第 1 行(列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故 r(ABT)=1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由于 CT=(EABT)T(E 一 ABT)=(E 一 BAT)(E 一 ABT)=E 一 BAT一 ABT+BATABT， 故若要求 CTC=E-BAT-ABT+BBT，则 BATABT 一BBT=O，B(A TA-1)BT=O，即 (ATA 一 1)BBT=O 因为 BO，所以 BBTO故CTC=E-BATABT+BBT 的充要条件是 ATA=1【知识模块】 线性代数17 【正确
13、答案】 设 A=1， 2， n，B= 1， 2， n，则 A+B=1+1， 2+2， n+n 由于 A+B 的列向量组 1+1， 2+2， n+n都是由向量组 1， 2， n， 1， 2， n 线性表出的，故 r(1+1， 2+2， n+n)r(1， 2， n， 1， 2， n) 又由于 r(1， 2， n， 1， 2， n)r(1， 2， n)+r(1， 2， n)， 故 r(A+B)=r(1+1， 2+2， n+n) r(1， 2， n， 1， 2， n) r(1， 2， n)+r(1， 2， n) =r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 AB=O ，(AB) T=B
14、TAT=O，AO，B TX=0 有非零解，故|B|=O，即|B|=0，从而有 B 不可逆【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设() 的一个极大无关组为 1， 2， r，(1I)的一个极大无关组为 1， 2， r 因为()可由()表示，即 1， 2， r 可由1， 2， r 线性表示，于是 r( 1， 2， r， 1， 2， r)=r(1， 2， r)=r 又 1， 2， r 线性无关，则 1， 2， r 也可作为1， 2， r， 1， 2， r 的一个极大无关组，于是 1， 2， r 也可由1， 2， r 表示，即( ) 也可由()表示，得证【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 对应
15、齐次方程组有解 = 1-2=一 2，2，2 T 或一 1，1，1 T，故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系，故又显然应有 r(A)=r(A|b)2，从而 r(A)=r(A|b)=2，故方程组有通解 k一 1，1，1 T+一 3，2，0T将 1， 2 代入第一个方程，得 -3a+2b=2 ，-a 一 2c=2，解得 a=一 22c，b=一23c，c 为任意常数，可以验证：当 a=一 22c， b=一 23b，b 任意时， r(A)=r(A|b)=2【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 若 为 A 的特征值，则 -3 为 A-3E 的特征值所以 A-3E 的特征值为一 1，1，3，
16、2n 一 3，故|A 一 3E|=(一 1)13(2n 一 3)=一(2n 一 3)!【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 |A 一 E|=(-1)(+1)2 一(2+y)+(2y 一 1)= =2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 为对称矩阵，要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A2 对角化由(1)得 A 的特征值 1=-1， 2，3 =1， 4=3，故 A2 的特征值1，2，3 =1， 4=9且【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 r(A)=r，A 有 r 个列向量线性无关，设为前 r 列，将 A 按列分块，有 A 2=A1， 2， n=1， 2， n=A，即 Ai=i，i=1，2，r，故 =1至少是 r 重根，又 r(A)=r，AX=0 有 n-r 个线性无关解，设为 n+1， n+2， n，即 Aj=0，j=r+1，n 故 A=0 是 A 的特征值 j， j=r+1，n 是对应的特征向量令 P=1， 2， r， r+1， n，有 P-1AP=【知识模块】 线性代数
