[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷28及答案与解析.doc

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1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 n 维行向量 = ,矩阵 A=E 一 T,B=E+2 T,则 AB= ( )(A)0(B)一 E(C) E(D)E+ T2 设 A,B 均为 n 阶矩阵,且 AB=A+B,则下列命题中:若 A 可逆,则 B 可逆;若 A+B 可逆,则 B 可逆;若 B 可逆,则 A+B 可逆;AB 恒可逆正确的个数为 ( )(A)1(B) 2(C) 3(D)43 n 维向量组 1, 2, s(3sn)线性无关的充要条件是 ( )(A)存在一组全为零的数 k1,k 2,k s,使 k11+k2

2、2+kss=0(B) 1, 2, s 中任意两个向量都线性无关(C) 1, 2, s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出(D)存在一组不全为零的数 k1,k 2,k s,使 k11+k22+kss04 要使 都是线性方程组 AX=0 的解,只要系数矩阵 A 为 ( )5 已知 1=一 1,1,a,4 T, 2=一 2,1,5,a T, 3=a,2,10,1 T 是 4 阶方阵A 的 3 个不同特征值对应的特征向量,则 a 的取值为 ( )(A)a5(B) a-4(C) a-3(D)a-3 且 a46 已知 P-1AP= , 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量, 2, 3 是矩阵A

3、 属于特征值 =6 的线性无关的特征向量,那么矩阵 P 不能是 ( )(A) 1,- 2, 3(B) 1, 2+3, 2-23(C) 1, 3, 2(D) 1+2, 1-2, 3二、填空题7 设 A 为奇数阶矩阵,AA T=ATA=E,|A|0,则|A-E|=_8 设 A=E+T,其中 , 均为 n 维列向量, T=3,则|A+2E|=_9 方程组 的通解是 _ 10 设 A 是 n 阶矩阵, 是 A 的 r 重特征根,A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个,则 k 满足_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 计算 D5=12 设 A 是 n 阶矩阵证明:A=O 的充要

4、条件是 AAT=O13 设矩阵 ,矩阵 X 满足 AX+EA2+X,其中 E 为 3 阶单位矩阵,求矩阵 X13 设有两个非零矩阵 A=1, 2, nT,B=b 1,b 2,b nT14 计算 ABT 与 ATB;15 求矩阵 ABT 的秩 r(ABT);16 设 C=E 一 ABT,其中 E 为 n 阶单位阵证明:C TC=EBATABT+BBT 的充要条件是 ATA=117 证明:r(A+B)r(A)+r(B)18 已知 A,B 是三阶方阵,A0,AB=0 证明:B 不可逆19 设向量组() 与向量组() ,若()可由()线性表示,且 r()=r()=r证明:()与 () 等价20 已知

5、1=一 3,2,0 T, 2=一 1,0,一 2T 是线性方程组的两个解向量,试求方程组的通解,并确定参数 a,b,c 21 设 A 是 n 阶方阵,2,4,2n 是 A 的 n 个特征值,E 是 n 阶单位阵计算行列式|A 一 3E|的值21 设矩阵 22 已知 A 的一个特征值为 3,试求 y;23 求矩阵 P,使 (AP)T(AP)为对角矩阵24 设 A 是 n 阶矩阵,满足 A2=A,且 r(A)=r(0rn)证明: 其中Er 是,r 阶单位阵考研数学三(线性代数)模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】

6、AB=(E 一 T)(E+2T)=E+T 一 2TT=E+T 一 2T(T),故 AB=E+ T2. =E【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由于(A-E)B=A,可知当 A 可逆时,|AE|B|0,故|B|0,因此|B|可逆,可知是正确的当 A+B 可逆时, |AB|=|A|B|0,故|B|0,因此 B 可逆可知是正确的类似地,当 B 可逆时,A 可逆,故|AB|=|A|B|0,因此 AB 可逆,故 A+B 也可逆,可知是正确的最后,由 AB=A+B 可知 (AE)BA=O,也即(AE)B 一(AE)=E,进一步有(AE)(BE)=E,故 AE 恒可逆可知也是正确的综上,

7、4 个命题都是正确的,故选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明之:必要性:假设有一向量,如 s 可由1, 2, s-1 线性表出,则 1, 2, s 线性相关,这和已知矛盾,故任一向量均不能由其余向量线性表出充分性:假设 1, 2, s 线性相关 至少存在一个向量可由其余向量线性表出,这和已知矛盾,故 1, 2, s 线性无关(A)对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论(B)必要但不充分,如1=0,1,0 T, 2=1,1,0 T, 3=1,0,0 T 任两个线性无关,但 1, 2, 3 线性相关(D) 必要但不充分,如上例 1+2+30,但

8、1, 2, 3 线性相关【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 因-2,1,1 1=0,-2,1,1 2=0【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 1, 2, 3 是三个不同特征值的特征向量,必线性无关,由知 5故应选 (A)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 若 P-1AP=A= ,P= 1, 2, 3,则有 AP=PA,即A1, 2, 3=1, 2, 3 即 A 1,A 2,A 3=a11,a 22,a 33 可见 i 是矩阵 A 属于特征值 i 的特征向量(i=1,2,3),又因矩阵 P 可逆,因此, 1, 2, 3 线性无关 若 是属

9、于特征值 的特征向量,则一 仍是属于特征值 的特征向量,故(A)正确 若 , 是属于特征值 的特征向量,则 k1+k2 仍是属于特征值 的特征向量本题中, 2, 3 是属于 =6 的线性无关的特征向量,故 2+3, 223 仍是 =6 的特征向量,并且 2+3, 223 线性无关,故(B)正确 关于(C),因为 2, 3 均是 =6 的特征向量,所以2, 3 谁在前谁在后均正确即(C)正确 由于 1, 2 是不同特征值的特征向量,因此 1+2, 1 一 2 不再是矩阵 A 的特征向量,故(D) 错误【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 0【试题解析】 |AE|=|A AAT|=|A

10、(E 一 AT)|=|A|(EA)T|=|A|EA| 由于AAT=ATA=E,可知|A| 2=1,又由于|A|0,可知|A|=1 又由于 A 为奇数阶矩阵,故 |E-A|=|-(A-E)|=-|A-E|,故有|A-E|=-|A-E|,可知|A-E|=0【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 23 n【试题解析】 由于 T=3,可知 tr(T)=3 T 的秩为 1,故 0 至少为 T 的 n一 1 重特征值,故 T 的特征值为 0(n-1 重),3因此,A+2E= T+3E 的特征值为 3(n-1 重),6,故 |A+2E|=3 n-16=23n【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 k1,1,

11、1,1 T,其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1kr【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 按第一行展开得到递推公式 D5-D4=-x(D4-D3)=一 x3(D2-D1)容易推出 D5=-x5+x4-x3+D2=-x5+x4-x3+x2-x+1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 设反之,若 A=O,显然 AAT=O【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 由 AX+E=A2+X (AE)X=(AE)(A+E)又|AE|=一 10,则【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 ,A TB=

12、a1 b1+a2b2+anbn 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因 ABT 各行( 或列)是第 1 行(列)的倍数,又 A,B 皆为非零矩阵,故 r(ABT)=1【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由于 CT=(EABT)T(E 一 ABT)=(E 一 BAT)(E 一 ABT)=E 一 BAT一 ABT+BATABT, 故若要求 CTC=E-BAT-ABT+BBT,则 BATABT 一BBT=O,B(A TA-1)BT=O,即 (ATA 一 1)BBT=O 因为 BO,所以 BBTO故CTC=E-BATABT+BBT 的充要条件是 ATA=1【知识模块】 线性代数17 【正确

13、答案】 设 A=1, 2, n,B= 1, 2, n,则 A+B=1+1, 2+2, n+n 由于 A+B 的列向量组 1+1, 2+2, n+n都是由向量组 1, 2, n, 1, 2, n 线性表出的,故 r(1+1, 2+2, n+n)r(1, 2, n, 1, 2, n) 又由于 r(1, 2, n, 1, 2, n)r(1, 2, n)+r(1, 2, n), 故 r(A+B)=r(1+1, 2+2, n+n) r(1, 2, n, 1, 2, n) r(1, 2, n)+r(1, 2, n) =r(A)+r(B)【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 AB=O ,(AB) T=B

14、TAT=O,AO,B TX=0 有非零解,故|B|=O,即|B|=0,从而有 B 不可逆【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设() 的一个极大无关组为 1, 2, r,(1I)的一个极大无关组为 1, 2, r 因为()可由()表示,即 1, 2, r 可由1, 2, r 线性表示,于是 r( 1, 2, r, 1, 2, r)=r(1, 2, r)=r 又 1, 2, r 线性无关,则 1, 2, r 也可作为1, 2, r, 1, 2, r 的一个极大无关组,于是 1, 2, r 也可由1, 2, r 表示,即( ) 也可由()表示,得证【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 对应

15、齐次方程组有解 = 1-2=一 2,2,2 T 或一 1,1,1 T,故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系,故又显然应有 r(A)=r(A|b)2,从而 r(A)=r(A|b)=2,故方程组有通解 k一 1,1,1 T+一 3,2,0T将 1, 2 代入第一个方程,得 -3a+2b=2 ,-a 一 2c=2,解得 a=一 22c,b=一23c,c 为任意常数,可以验证:当 a=一 22c, b=一 23b,b 任意时, r(A)=r(A|b)=2【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 若 为 A 的特征值,则 -3 为 A-3E 的特征值所以 A-3E 的特征值为一 1,1,3,

16、2n 一 3,故|A 一 3E|=(一 1)13(2n 一 3)=一(2n 一 3)!【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 |A 一 E|=(-1)(+1)2 一(2+y)+(2y 一 1)= =2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 为对称矩阵,要使(AP) T(AP)=PTA2P 为对角矩阵,即将实对称矩阵 A2 对角化由(1)得 A 的特征值 1=-1, 2,3 =1, 4=3,故 A2 的特征值1,2,3 =1, 4=9且【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 r(A)=r,A 有 r 个列向量线性无关,设为前 r 列,将 A 按列分块,有 A 2=A1, 2, n=1, 2, n=A,即 Ai=i,i=1,2,r,故 =1至少是 r 重根,又 r(A)=r,AX=0 有 n-r 个线性无关解,设为 n+1, n+2, n,即 Aj=0,j=r+1,n 故 A=0 是 A 的特征值 j, j=r+1,n 是对应的特征向量令 P=1, 2, r, r+1, n,有 P-1AP=【知识模块】 线性代数

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