1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆阵，则(A -1+B-1)-1 等于 ( )（A）A+B（B） A-1+B-1（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -12 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（A）若|A|0，则|B|0（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E（C）如果 AE，则|B|0（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B3 已知向量组() 1， 2， 3， 4 线性无关，则与()等价的向量组
2、是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1-2， 2-3， 3-4， 4-1（C） 1+2， 2-3， 3+4， 4-1（D） 1+2， 2-3， 3-4， 4-14 齐次线性方程组的系数矩阵 A45=1， 2， 3， 4， 5经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 则 ( )（A） 1 不能由 3， 4， 5 线性表出（B） 2 不能由 1， 3， 5 线性表出（C） 3 不能由 1， 2， 5 线性表出（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表出5 设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（A）若 为 AT 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（B）若 为 A*的特征
3、向量，那么 为 A 的特征向量（C）若 为 A2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量（D）若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量6 下列矩阵中与 A= 合同的矩阵是 ( )二、填空题7 设 =1，2 ，3 ，= ，A= T，则 A*=_8 设 1=1，0 ，一 1，2 T， 2=2，一 1，一 2，6 T， 3=3，1，t ，4 T，=4 ，一1，一 5，10 T，已知 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 t=_ 9 设线性方程组 有解，则方程组右端 =_10 已知 =a，1，1 T 是矩阵 的逆矩阵的特征向量，那么a=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11
4、 设 f(x)=12 证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AAT=E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即13 已知 n 阶矩阵 求|A|中元素的代数余子式之和 ，第 i 行元素的代数余子式之和 ，i=1，2，n 及主对角元的代数余子式之和13 设有矩阵 Amn，B nm，E m+AB 可逆14 验证：E n+BA 也可逆，且(E n+BA)-1=EnB(Em+AB)-1A；15 设 其中 利用(1)证明：P 可逆，并求 P-116 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式17 A 是 nn 矩阵，对任何 n 维列向量
5、 X 都有 AX=0证明：A=O 17 已知线性方程组 的通解为2，1，0，1T+k1，一 1，2，0 T记 j=1j， 2j， 3j， 4jT， j=1，2，5问：18 4 能否由 1， 2， 3， 5 线性表出，说明理由19 4 能否由 1， 2， 3 线性表出，说明理由20 已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B2=E(此时矩阵 B 称为对合矩阵 )求 B 的特征值的取值范围21 设矩阵 ，且|A|=一 1，A 的伴随矩阵 A*有特征值 0，属于0 的特征向量为 =-1，-1，1 T，求 a，b，c 及 0 的值22 设 =1， 2， nT0，A= T，求可逆阵 P，使 P-1AP=A23
6、设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H2考研数学三（线性代数）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 验算 (A -1+B-1)(A(A+B)-1B)=(E+B-1A)(A+B)-1B =B-1(B+A)(A+B)-1B=B-1B=E， 故 (A -1+B-1)-1=A(A+B)-1B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 两矩阵等价的充要条件是秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B-1B=E，可见(B)中命题成立 A
7、E 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故|B|0，可见(C)中命题也是成立的 矩阵 A，B等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上，当 |A|0 时，我们也只能得到r(B)=n，也即 |B|0，不一定有|B|0故选(A)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因(A) 1+2-(2+3)+(3+4)-(4+1)=0； (B)( 1 -2)+(2-3)+(3-4)+(4-1)=0； (C)( 1+2)-(2-3)-(3+4)+(4-1)=0，故均线性相关，而 1+2， 2-
8、3， 3-4， 4-1=1， 2， 3， 4 =1， 2， 3， 4C其中故 1+2， 2-3， 3-4， 4-1 线性无关，两向量组等价【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 能能否由其他向量线性表出，只须将屈视为是非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有解即可，由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (1)矩阵 AT 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误 (2)假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时 也为 A*的特征向
9、量这是由于 但反之， 为 A*的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量 例如：当 r(A)n1 时，A *=O，此时，任意 n 维非零列向量都是 A*的特征向量，故 A*的特征向量不一定是 A 的特征向量可知(B) 错误 (3)假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A2 的特征向量这是由于 A 2=A(A)=A=2 但反之，若 为 A2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如：假设 A1=1，A 2=一 2，其中 1， 20此时有A2(1+2)=A21+A22=1+2，可知 1+2 为 A2 的特征向量但 1， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1+2 不是
10、A 的特征向量故(C)错误 (4)若 为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 A= ，因此 为 A的特征向量，可知(D) 是正确的，故选 (D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 因 f=xTAX=x12+2x1x2+x32(x1+x2)2 一 x22+x32=y12+y22 一 y32，故选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 3 n-1A【试题解析】 An=(aT)n=(T)(T)( T)=T()T()T( T)=3n-1A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 一 3【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】
11、其中 k1，k 2，k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1，k 2，k 3T或说 是方程组左端系数矩阵的列向量的线性组合时，方程组有解【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 -1【试题解析】 是矩阵 A-1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A-1=0，于是=0A，即【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 f(x)显然在0 ，1上连续，在(0，1) 上可导而可知 f(x)在0， 1上满足罗尔定理的条件，故 (0，1) ，使得 f()=0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)AAT=E，A ，A T互为逆矩阵，有 ATA=E，故
12、(2)AAT=E，即【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 AA *=|A|E=E，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (E n+BA)(En-B(Em+AB)-1A) =En+BA-B(Em+AB)-1A-BAB(Em+AB)-1A =En+BA-B(En+AB)(Em+AB)-1A=En， 故 (E n+BA)-1=En-B(Em+AB)-1A【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 其中x=x1，x 2，x nT，Y=y 1，y 2，y nT因 1+YTX=1+ =20，由(1)知P=E+XYT 可逆，且【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】
13、 线性代数17 【正确答案】 由于对任何 X 均有 AX=0，取 X=1，0，0 T，由得 a11=a21=am1=0 类似地，分别取 x 为e1=1，0，0 T，e 2=0，1，0，0 T，e n=0，0，1 T 代入方程，可证每个 aij=0，故 A=O【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 4 能由 1， 2， 3， 5 线性表出 由线性非齐次方程组的通解2，1， 0，1 T+k1，一 1，2，0 T 知 5=(k+2)1+(一 k+1)2+2k3+4， 故 4=-(k+2)1 一 (-k+1)22k3+5【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 4 不能由 1，
14、 2， 3 线性表出，因对应齐次方程组的基础解系只有一个非零向量，故 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 5)=41=3，且由对应齐次方程组的通解知， 1 一 2+23=0，即 1 2， 3 线性相关，r( 1， 2， 3)3，若 4 能由 1， 2， 3 线性表出，则 r(4， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3，这和r(1， 2， 3， 4)=3 矛盾，故 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B= 左乘 B，得 B2=E=B=21， ( 2 一 1)=0，考0， 故 =1，或 =
15、一 1，B 的特征值的取值范围是1 ，一 1【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A *=0，左乘 A，得 AA* 一|A|=一 =0A即得 a=c=2，故得 a=2 ，b=-3 ，c=2， 0=1【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值利用特征值的定义 设 A 的任一特征值为，对应于 的特征向量为 ，则 A= T= 若 T=0，则 =0，0，故=0； 若 T0，式两端左乘 T， TT=(T)T=(T)因 T0，故=T= (2)再求 A 的对应于 的特征向量当 =0 时，(3)由 1， 2， n，得可逆阵 P【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由于 A 为 n 阶正定矩阵，故存在正交矩阵 U，使得这里，0 12 n 为 A 的全部特征值即 H=H1【知识模块】 线性代数
