1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 34 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且秩 =秩(A)，则线性方程组（A）AX= 必有无穷多解（B） AX= 必有惟一解（C） 仅有零解（D） 必有非零解2 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0（A）当 nm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仅有零解（D）当 mn 时必有非零解3 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 A
2、x=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量4 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为5 设矩阵 ，若集合 =1，2)，则线性方程组 Ax=b 有无穷多解的充分必要条件为6 要使 1= 都是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为7 已知 ，P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=0，则（A）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为
3、28 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解(一般解) 是9 设 1=(1， 2， 3)T， 2=(b1，b 2，b 3)T， 3=(c1， c2，c 3)T；则 3 条平面直线 1x+b1y+c1=0， 2x+b2y+c2=0， 3x+b3y+c3=0 (其中 ai2+bi20，i=1 ，2，3)交于一点的充分必要条件是（A） 1， 2， 3 线性相关（B） 1， 2， 3 线性无关（C）秩 r(1， 2， 3)=秩 r(1， 2)（D） 1， 2， 3 线性
4、相关，而 1， 2 线性无关10 设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax 一 6 所对应的齐次线性方程组，则（A）若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解（C）若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解（D）若 Ax=一 b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解11 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（A）r=m 时，方程组缸=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=6 有唯一解（D）rn 时，方程组
5、 Ax=b 有无穷多解12 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A、B 均为 mn 矩阵，现有 4 个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则秩(A) 秩(B)；若秩(A)秩(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩(A)=秩(B)；若秩(A)=秩(B)，则,4x=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的是（A）（B） （C） （D）二、填空题13 设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 A 的秩为 n 一 1，则线性方程组AX=0 的通解为_。14 已知方程组 无解，则 a=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
6、算步骤。15 设齐次线性方程组 其中 a0，b0，n2 试讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解? 在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。16 已知齐次线性方程组 其中试讨论 a1，a 2， ，a n 和 b 满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解。在有非零解时。求此方程组的一个基础解系。17 设有向量 1=(1，2，0) T， 2=(1，a+2，一 3a)T， 3=(一 1，一 b2，a+2b)T， =(1，3，一 3)T。试讨论当 a、b 为何值时， (1) 不能由 1， 2， 3 线性表示； (2) 可由 1， 2， 3 惟一地线性表示，
7、并求出表示式； (3) 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式。18 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c 的值。19 设线性方程组 与方程()：x 1+2x2+x3=a-1 有公共解，求 a 的值及所有公共解。20 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中()证明行列式|A|=(n+1)an； ()当 a 为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求 x1；()当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解。20 设21 求满足 A2=1，A 2a=1 的所有向量 2， 3；22 对( )中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关。23 设 已知线性方程组
8、Ax=b 存在 2 个不同的解。()求 ，a；()求方程组 Ax=b 的通解。24 设 当 n，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA=B，并求所有矩阵 C。24 设 ，E 为 3 阶单位矩阵。25 求方程组 Ax=0 的一个基础解系；26 求满足 AB=E 的所有矩阵 B。27 问 a、b 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解，有无穷多组解? 并求出有无穷多解时的通解。28 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22+3x32+2ax2x3(n0)通过正交变换化成标准形f=y12+2y22+5y32，求参数 a 及所用的正交变换矩阵 P。29 设 1， n 分别为 n 阶
9、实对称矩阵的最小、最大特征值，X 1，X n 分别为对应于1， n 的特征向量，记 证明： 1f(X)n，maxf(X)= n=f(Xn)，minf(X)= 1=f(X1)。考研数学三（线性代数）模拟试卷 34 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 =0 是 +1 元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩=A nm 的秩n n+1，故该 +1 元齐次线性方程组必有非零解。于是知(D)正确。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 注意 AB 为 m 阶方阵，方程组(AB)x=0 有非零解(只有零解) r(
10、AB)m(r(AB)=m)。当 mn 时，有 r(AB)r(A)nm 故当 mn 时，方程组(AB)x=0 必有非零解。可以举例说明备选项(A)、(B)都不对。故只有(D)正确。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*0 知 A*至少有一个元素 Aij=(一 1)i+jMij0，故 A 的余子式Mij0，而 Mij 为 A 的 n1 阶子式，故 r(A)n 一 1，又由 Ax=b 有解且不唯一知r(A)n，故 r(A)=n 一 1，因此， Ax=0 的基础解系所含向量个数为 n 一 r(A)=n 一(n 一 1)=1，只有(B)正确。【知识模块】 线性代数4 【正确答案
11、】 C【试题解析】 首先，由 是 Ax= 的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知 2 一 1 及 3 一 1 均为方程组 Ax=0 的解，再次，由 1， 2， 3 线性无关，利用线性无关的定义，或由 2 一 1， 3 一 1=1， 2， 3 及矩阵 的秩为 2，知向量组 2 一 1， 3 一 1线性无关，因此，方程组 Ax=0 至少有 2 个线性无关的解，但它不可能有 3 个线性无关的解(否则，3 一 r(A)=3， 这与 A1=0 矛盾)，于是 2一 1， 3 一 1 可作为 Ax=0 的基础解系，Ax=0 的通解为 k1(2 一 1)+k2(3 一 1)，再由非齐次线性方程组解的结构定
12、理即知只有选项(C)正确。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：由于方程组有无穷多解，当然不能有唯一解，所以有(a 一 1)(a 一 2)=0，即 a=1 或 a=2，此时系数矩阵的秩为 2，由有解判定定理知，当且仅当 a 且 d，所以选(D)。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 此时基础解系至少含 2 个向量( 1 及 2)，故有 3 一 r(A)2，因而r(A)1，故只有(A)正确。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 PQ=D 说明 Q 的每一列都是齐次方程组 Px=0 的解向量，当
13、t1 时矩阵 Q 的秩为 2，故此时有 3-r(P)2，即 r(P)1，又 P0，有 r(P)1故当 t1 时必有 r(P)=1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 注意 1， 1 一 2 亦为 Ax=0 的基础解系，而 (1+2)为 Ax=b 的一个特解，由通解的结构即知(B)正确。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 题设 3 条直线交于一点 联立线性方程组 x1+y2+3=0 有唯一解(x，y) T。由该非齐次线性方程组有唯一解 r(1， 2)一 r(1， 2，- 3)=2 1， 2线性无关，而 1， 2， 3 线性相关，即知(D) 正确。注意(C)
14、中的条件只保证了方程组有解，但不能保证解是唯一的，故(C)不对。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 当 Ax=b 有无穷多个解时，设 x1，x 2 是 Ax=b 的两个不同解，则由A(x1-x2)=Ax1 一 Ax2=bb=0 知 x1x2 为 Ax=0 的一个非零解。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 当 r=m，即 mn 矩阵 A 的行向量组线性无关时，增广矩阵 =A|b的 m 个行向量也线性无关，即知有 r(A)= =m，故 Ax=b 有解。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 k(1，
15、1，1) T(k 为任意常数)。因基础解系含 nr(A)=n 一(n一 1)=1 个向量，故 Ax=0 的任一非零解都可作为 Ax=0 的基础解系，由条件知 =(1，1，1) T 是 Ax=0 的非零解，故 Ax=0 的通解为x=k。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 a=一 1，由【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 方程组的系数行列式(1)当 ab 且 a(1 一 n)b时，方程组仅有零解。(2)当 a=b 时，对系数矩阵 A 作行初等变换，有原方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0 方程组的基础解系为 1=(一 1，1，0，0
16、) T， 2=(一1，0，1，0) T， n-1=(一 1，0，0，1) T，方程组的全部解为 x=c1 1+c2 2+c n-1 n-1 (c1，c 2，c n-1 为任意常数)。(3)当 a=(1 一 n)b 时，对系数矩阵 A 作行初等变换，有其基础解系为 =(1，1，1) T。方程组的全部解是 x=c(c 为任意常数)。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 方程组的系数行列式为一“行和” 相等行列式，将各列加至第 1 列，然后提取第 1 列的公因子 再将第 1 列的(一 ai)倍加至第 i 列(i=2，1)，就将行列式化成了下三角行列式：因此得原方程组的用自由未知量表示的通解为 x
17、2=x1，x 3=x1，x n=x1，(x 1 任意)令 x1=1，则得原方程组的一个基础解系为 =(i=1， ，1) T【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设有一组数 x1，x 2，x 3，使得 x11+x22+x33=(*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 方程组()的未知量个数大于方程的个数，故方程组()有非零解。因为方程组() 与()同解，所以方程组 ()的系数矩阵的秩小于 3对方程组( )的系数矩阵施以初等行变换： 从而 a=2此时，方程组()的系数矩阵可由初等行变换化为故(一 1，一 1，1)T 是方程组( )的一个基础解系。将
18、 x1=一 1，x 2=一 1，x 3=1 代入方程组( )可得：b=1，c=2 或 b=0，c=1当 b=1，c=2 时，对方程组()的系数矩阵施以初等行变换，有 由于(1)式与(2)式右边矩阵的行向量组等价，故方程组()与() 同解。当 b=0，c=1 时，方程组()的系数矩阵可由初等行变换化为由于(1)式与(3)式右边矩阵的行向量组不等价，故方程组()与() 的解不相同。综上所述，当a=2，b=1，c=2 时，方程组()与()同解。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 方程组()的系数矩阵 A 的行列式为(1)当|A|0，即口1且 a2 时，方程组( )只有零解，而零解 x=(0，0
19、，0) T 不满足方程()，故当 a1且 a2 时，( )与()无公共解；(2)当 a=1 时，由 A 的初等行变换得方程组()的通解为 x=c(1，0，一 1)T，其中 c 为任意常数。显然当 a=1 时，()是()的一个方程，()的解都满足()，所以，当a=1 时，()与()的所有公共解是 x=c(1，0，一 1)T，其中 c 为任意常数；(3) 当a=2 时，由 A 的初等行变换 得()的通解为x=k(0，1，一 1)T，要使它是()的解，将其代入方程()，得 k=1，故当 a=2 时，()与() 的公共解为 x=(0，1，一 1)T。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 () 证法
20、记 Dn=|A|，以下用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an。当 n=1时，D 1=2a，结论成立；当 n=2 时， 结论成立；假设结论对于小于 n 的情况成立。将 Dn 接第 1 行展开，得【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设考 2=(x1，x 2，x 3)T，解方程组 A2=1，由得 x1=一x2，x 312x2(x2 任意) 。令自由未知量 x2=一 c1，则得设 3=(y1，y 2，y 3)T，解方程组 A23=1，由其中c2，c 3 为任意常数。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 3 个 3 维向量 1， 2， 3 线性无关的充要条件是 3 阶行列
21、式D=|1， 2， 3|0而 所以1， 2， 3 线性无关。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A 为方阵且方程组 Ax=b 的解不唯一，所以必有|A|=0，而|A|=( 一 1)2(+1)，于是 =1 或 =一 1当 =1 时，因为 r(A)rA|b，所以 Ax=b无解(亦可由此时方程组的第 2 个方程为矛盾方程知 Ax=b 无解)，故舍去 =1当=一 1 时，对 Ax=b 的增广矩阵施以初等行变换【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设矩阵 由同型矩阵相等的充分必要条件是它们的对应元素都相等，得 ACCA=B 成立的充分必要条件是对方程组(*)的增广矩阵施以初等行变换，得当
22、 a一 1 或 b0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组(*)无解。当 a=一 1 且 b=0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，通解为综上，当且仅当 a=一 1 且b=0 时，存在满足条件的矩阵 c，且【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T，选取 x4 为自由未知量，则得方程组的一般解：x 1=-x4，x 2=2x4，x 3 一 3x4(x4 任意) 。令 x4=1，则得方程组 A【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 对矩阵A|E施以初等行变换【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 当 n1 时有唯一解；当 a=1 且 b1 时无解；当 a=1 且 b=一 1 时有无穷多解，通解为 x=(一 1，1，0，0) T+c1(1，一 2，1，0) T+c2(1，一 2，0，1) T。【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 f 的矩阵 ，因 P-1AP=PTAP=D，知 A 的特征值为【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 1=f（X 1)。【知识模块】 线性代数
