1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 35 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式。1 已知 1=(1， 0，2，3) ， 2=(1，1，3，5) ， 3=(1，一 1，a+2 ，1) ，4=(1， 2，4， a+8)，=(1，1，b+3，5)。2 a、b 为何值时， 不能表示成 1， 2， 3， 4 的线性组合 ?3 a、b 为何值时， 可表示成 1， 2， 3， 4 的线性组合 ?并写出该表示式。3 设 4 元齐次线性方程组()为 ，又已知某齐次线性方程组()的通解为 k1(0，1，1，0) T+k2(一 1，2，2，
2、1) T。4 求线性方程组() 的基础解系；5 问线性方程组() 和() 是否有非零公共解?若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。6 已知线性方程组 的一个基础解系为：(b11，b 12，b 1,2n)T，(b 21，b 22，b 2,2n)T，(b n1，b 12，b 1,2n)T。试写出线性方程组 的通解，并说明理由。7 设 1， 2， ， m 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1=t11+t22， 2=t12+t23， m=t1m+t21， 其中 t1，t 2 为实常数， 试问 t1，t 2 满足什么关系时， 1， 2， ， m 也为 Ax=0 的一个基础解系。8 设
3、矩阵 A、B 的行数都是 m，证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是r(A)=r(A|B)。9 设 X=(xij)33，问 a、b、c 各取何值时，矩阵方程 AX=B 有解? 并在有解时，求出全部解。10 设 A 为 mn 矩阵。证明：对任意 m 维列向量 b，非齐次线性方程组 Ax=b 恒有解的充分必要条件是 r(A)=m。11 设齐次线性方程组 Amnx=0 的解全是方程 b1x1+b2x2+bnxn=0 的解，其中x=(x1，x 2，x n)T。证明：向量 b=(b1，b 2，b n)可由 A 的行向量组线性表出。12 设矩阵 A=(aij)nn 的秩为 n，a ij 的代数余子
4、式为 Aij(i，j=1 ，2，n)。记 A 的前 r 行组成的 rn 矩阵为 B，证明：向量组 是齐次线性方程组 Bx=0 的基础解系。13 设 A*为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵(n2)。证明：14 取何值时，方程组 无解、有唯一解、有无穷多组解? 在有无穷多解时，试用其导出组的基础解系表示全部解。15 参数 p、t 各取何值时，方程组 有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解。15 已知下列非齐次线性方程组()() ：16 求解方程组() ，用其导出组的基础解系表示通解；17 当() 中的参数 m，n ，t 为何值时，方程组()与()同解。17 已知线性方程组18 a，b，c
5、 满足何种关系时，方程组仅有零解 ?19 a，b，c 满足何种关系时，方程组有无穷多组解?并用基础解系表示全部解。20 设 1， 2， ， k(kn)是 Rn 中 k 个线性无关的列向量。证明：存在 n 阶满秩方阵 P，使得 P 以 1， 2， k 为其前 k 列。21 设有向量组() ： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，一 1，a+2) T 和向量组()： 1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2， 1，a+4) T。 试问：当 a 为何值时，向量组() 与 ()等价?当 a 为何值时，向量组()与()不等价?22 已知平面上三条不同
6、直线的方程分别为 l 1：ax+2by+3c=0 l 2：bx+2cy+3a=0 l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=023 设 mm 矩阵 A 的秩为 r，且 rm，已知向量 是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解。试证：方程组 Ax=b 存在 n 一 r+1 个线性无关的解，而且这 n 一 r+1 个解可以线性表示方程组 Ax=b 的任一解。24 设有齐次线性方程组 试问 a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解。25 已知(1 ，一 1，1，一 1)T 是线性方程组的一个解，试求(1)该方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表
7、示全部解；(2)该方程组满足 x2=x3 的全部解。26 已知 3 阶矩阵 A 的第 1 行是(a，b，c) ，矩阵 B= (k 为常数)，且AB=0，求线性方程组 Ax=0 的通解。26 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解。27 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；28 求 a，b 的值及方程组的通解。考研数学三（线性代数）模拟试卷 35 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 当且仅当 =1 时有解，通解为 x=(1，一 1，0) T+c(一 1，2，1) T。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 a=一 1
8、且 b0【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 当 a一 1 时， 可由 1， 2， 3， 4 唯一地线性表示为：当 a=一 1 且 b=0 时， 可由1， 2， 3， 4 线性表示为： =(一 2c1+c2)1+(1+c12c2) 2+c1 3+c2 4(c1，c 2 为任意常数)。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(一 1，1，0，1) T【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 有非零公共解，所有非零公共解为 c(一 1，1，1，1) T(c 为任意非零常数)。将()的通解代入方程组( )，有 ，解得 k1=一 k2，当 k1=一 k20
9、 时，则向量 k1(0，1，1，0) T+k2(一 1，2，2，1) T=k2(0一 1，一1，0) T+(一 1，2，2，1【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 记方程组()、() 的系数矩阵分别为 A、B，则可以看出题给的()的基础解系中的挖个向量就是 B 的 n 个行向量的转置向量，因此，由()的已知基础解系可知 ABT=0 转置即得 BAT=0 因此可知 AT 的 n 个列向量即 A 的 n个行向量的转置向量都是方程组()的解向量。由于 B 的秩为 n，故()的解空间的维数为 2n 一 n=n，所以() 的任何 n 个线性无关的解就是()的一个基础解系。已知( )的基础解系含 n 个
10、向量，故 2n 一 r(A)=n，得 r(A)=n，于是 A 的 n 个行向量线性无关，从而它们的转置向量构成()的一个基础解系，因此()的通解为y=c1(a11，a 12，a 1，2n )T+c2(a21，a 22，a 2，2n )T+cn(an1，a n2，a n，2n )T， (c1，c 2，c n 为任意常数)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 由 Ax=0 的解的线性组合都是 Ax=0 的解，知 1， m 均为Ax=0 的解。已知 Ax=0 的基础解系含 m 个向量，故 1， 2， m 也为 Ax=0 的基础解系 阶行列式即所求关系式为 t1 m+(一 1)m+1t2 m0，即当
11、 m 为奇数时，t 1一 t2；当 m 为偶数时， t1t2。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 设 B、X 按列分块分别为 B=b1b2bp。X=x 1x2xp，则 AX=B，Ax1Ax2Axp=b1b2bp Axj=bj(j=1，2，p)，故 AX=B 有解Axj=bj(j=1，2，p)有解，故由非齐次线性方程组 Axj=bj 有解的充要条件可知，AX=B 有解 r(A)=r(A|bj)(j=1，2，p) r(A)=rAb1b2bp=rA|B。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 由下列矩阵的初等行变换：于是若将矩阵 B 按列分块为 B=b1b2b3，则得方程组 Ax=b。的通解为：
12、x1=(1+k，k，一 k)T；方程组 Ax=b2 的通解为：x 2=(2+1，2+1，一 1)T；方程组Ax=b3 的通解为：x 3=(1+m，一 1+m，一 m)T，所以，当 a=1，b=2，c=1 时有解，全部解为【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 必要性： 由必要性假定，对 i=(0，0，1，0，0) T(第 j 个分量为 1，其余分量均为零)，方程组 Ax=j 有解 cj，即 Acj=j(j=1，2，m)，故有Ac 1 Ac2Acm=1 2 m=Em，记矩阵 c=c1 c2cm，则有 Ac=Em，故有 mr(Em)=r(Ac)r(A)m， r(A)=m；充分性： 若 r(A)=
13、m，则 A 的行向量组线性无关，故增广矩阵 由有解判定定理知方程组 Ax=6 有解，其中 b 为任意 m 维列向量。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由条件知方程组 Ax=0 与方程组，因此 A 的极大无关行向量组也是 的极大无关行向量组，故 6 可由 A 的极大无关行向量组线性表出，从而知 b 可由 A 的行向量组线性表出。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 r(B)=r， 方程组 Bx=0 的基础解系含 nr 个向量，故只要证明1， 2， n-r，是方程组 Bx=0 的线性无关解向量即可。首先，由行列式的性质，有 =0(i=1，2， ，r ；k=r+1，r+2，n)。故 1，
14、 2， n-r 都是 Bx=0的解向量；其次，由于|A *|=|A|n-10，知 A*的列向量组线性无关，而1， 2， n-r，正好是 A*的后 n-r 列，故 1， 2， n-r 线性无关，因此1， 2， n-r 是 Bx=0 的 n 一 r 个线性无关解向量，从而可作为 Bx=0 的基础解系。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 当 r(A)=n 时，|A|0，|A *|=|A|n-10， r(A*)=n；当 r(A)=n 一 1 时，A 中非零子式的最高阶数为 n 一 1，做 A*0， r(A*)1，又 A*A=|A|E=0，A 的每一列都是方程组 A*x=0 的解向量，故 A*x=
15、0 至少有 r(A)=n1 个线性无关解，从而有 nr(A*)n 一 1 r(A*)1，以上两方面说明 r(A*)=1；当 r(A)n 一 1 时，A 的每个 n 一 1 阶子式即每个元素的余子式都为零，故 A*=0 r(A*)=0【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 当 一 2 且 1 时有唯一解：当 =一 2 时无解；当 一 1 时有无穷多组解，通解为 x=(一 2，0，0) T+c1(一 1，1，0) T+c2(一 1，0，1) T。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由增广矩阵的初等行变换：【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 x=(一 2，一 4，
16、一 5，0) T+k(1，1，2，1) T；【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 将() 的通解 x=(x1，x 2，x 3，x 4)=(一 2+k，一 4+k，一 5+2k，k) T代入( )的第 1 个方程，得一 2+k+m(一 4+k)一(一 5+2k)一 k=一 5，即(34m)+(m一 2)k=一 5，由 k 的任意性得 m=2，将 x 代入()的第 2 个方程得 n=4，将 x 代入()的第 3 个方程得 t=6故当 m=2，n=4，t=6 时， ()的解都是( )的解，此时，由()的增广矩阵的初等行变换：得()的通解为 x=(一 2，一 4，一 5，0) T+f(1，1，2，
17、1) T，可见 ()与() 的通解相同，故当 m=2，n=4，t=6 时，()与() 同解。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 系数行列式|A|=(b-a)(cn)(c 一 6)，故当 a，b，c 两两不相等时，方程组仅有零解。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 当 a=bc 时，全部解为 x=k1(1，一 1，0) T；当 a=cb 时，全部解为 x=k2(1，0，一 1)T；当 b=ca 时，全部解为 x 一 k3(0，1，一 1)T；当 a=b=c 时，全部解为 x=k4(一 1，1，0) T+ks(一 1，0，1) T。【知识模块】 线性代数20 【正
18、确答案】 取齐次线性方程组 的基础解系 1， n-k，则可证明1， ， k， 1， n-k 线性无关：设 11+ kk+11+ n-kn-k=0，两端左乘(11+ kk)T，并利用 iTi=0(i=1，k；j=1，n 一 k)，得( 11+ kk)T(11+ kk)=0，即| 11+ kk|=0， 11+ kk=0，而 1， k 线性无关， 1= k=0， 11+ n-kn-k=0，又 1， n-k 线性无关， 1= n-k=0，于是证得 1， k， 1， n-k 线性无关，令矩阵 P=1 k1 n-k，则P 为满秩方阵，且以 1， k 为其前 k 列。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】
19、 由于行列式| 1， 2， 3|=a+1，故当 a一 1 时，方程组x11+x22+x33=i(1，2，3)均有解(且有唯一解)，即向量组()可由()线性表示；又因行列式| 123|=60，同理可知向量组()可由()线性表示。所以，当 a一 1时，向量组() 与()等价。当 a=一 1 时，由于秩 1， 2， 3秩 1， 2， 3|1，故方程组 x11+x22+x33=1 无解，即向量 1 不能由向量组()线性表示，所以此时向量组() 与 ()不等价。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 考虑由三直线方程联立所得线性方程组【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由秩(A)=rn，知方程组
20、 AX=0 的基础解系含 n 一 r 个向量，设Ax=0 的基础解系为： 1， 2， n-r，则可证明： 向量 ， 1+， n-r+，是满足题意的 n 一 r+1 个向量。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换：(1)当 a=0时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=(一 1，1，0，0) T， 2=(一 1，0，1，0) T， n-1=(一1，0，0，1) T，于是方程组的通解为 x=k11+k22+kn-1n-1，其中 k1，k n-1为任意常数。(2)当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换：
21、可知故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为x2=2x1，x 3=3x1，x n=nx1(x1 任意)，由此得基础解系为 =(1，2，3，n) T，手是方程组用基础解系表示的通解为 x=k，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 将解向量 x=(1，一 1，1，一 1)T 代入方程组，得 =，对方程组的增广矩阵施行初等行变换：【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由于 AB=0，知 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解，因此 Ax=0 至少有 r(B)个线性无关解，所以 Ax=0 的基础解系至少含 r(B)个向量，即 3 一 r(A)r(B)，或
22、r(A)3 一 r(B)。又由 a，b，c 不全为零，可知 r(A)1当 k9 时，r(B)=2，有 1r(A)1，于是 r(A)=1；当 k=0 时，r(B)=1，有 1r(A)2，于是 r(A)=1 或r(A)=2当 k9 时。由 AB=0 可得 由于 1=(1，2，3)T， 2=(3，6， k)T 线性无关，故 2 为 Ax=0 的一个基础解系，于是 Ax=0 的通解为x=c11+c22，其中 c1，c 2 为任意常数当 k=9 时，分别就 r(A)=2 和 R(A)=1 讨论如下：如果 r(A)=2，则 Ax=0 的基础解系由一个向量构成，又因为 所以 Ax=0的通解为 x=c1(1，
23、2，3) T，其中 c1 为任意常数。如果 r(A)=1，则 Ax=0 的基础解系由两个向量构成。又因为 A 的第一行为(a，b，c) 且 a，b，c 不全为零，所以 Ax=0等价于 ax1+bx2+cx3=0不妨设 a0，则 1=(一 b， a，0) T， 2=(一 c，0，a) T 是Ax=0 的两个线性无关的解，从而 1， 2 可作为 Ax=0 的基础解系，故 Ax=0 的通解为 x=c11+c22，其中 c1，c 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 若 1， 2， 3 是 Ax=b 的 3 个线性无关解，则 1-2， 1-3，是Ax=0 的两个线性无关解，故 Ax=0 的基础解系所含向量个数 4 一 r(A)2， r(A)2，又显然有 r(A)2， r(A)=2；【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 a=2，b=一 3，通解 x=(2，一 3，0，0) T+k1(一 2，1，1，0)T+k2(4，一 5，0，1) T。【知识模块】 线性代数
