1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 36 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征根，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是（A） -1|A|n（B） -1|A|（C） |A|（D）|A| n2 n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵相似的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件3 设 n 阶矩阵 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则（A）E 一 A=E 一 B（B） A 与 B 有相同的特征值和特征向量（C） A 和 B 都相似于一个对角
2、矩阵（D）对任意常数 t，tEA 与 tE 一 B 相似4 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵(P -1AP)T 属于特征值 的特征向量是（A）P -1（B） PT（C） P（D）(P -1)T二、填空题5 设 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 则行列式|B -1 一E|=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 求矩阵 的实特征值及对应的特征向量。6 设矩阵7 求 A 的特征值；8 利用(1)的结果，求矩阵 E+A-1 的特征值，其中 E 是 3 阶单位矩阵。9 设 1， 2 是
3、 n 阶方阵 A 的两个不同特征值，x 1，x 2 分别是属 1， 2 的特征向量。证明：x 1+x2 不是 A 的特征向量。9 设矩阵 A 与 B 相似，其中10 求 x 和 y 的值；11 求可逆矩阵 P，使 p-1AP=B。12 设 有 3 个线性无关的特征向量，求 x 和 y 应满足的条件。12 设矩阵13 已知 A 的一个特征值为 3，试求 y；14 求可逆矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。14 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3；矩阵 A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=(一 1，一 1，1) T， 2=(1，一 2，一 1)T。15 求 A 的属
4、于特征值 3 的特征向量；16 求矩阵 A。16 设向量 =(12， n)T，=(b 1，b 2，b n)T 都是非零向量，且满足条件T=0记 n 阶矩阵 A=T。求：17 A2；18 矩阵 A 的特征值和特征向量。19 设矩阵 矩阵 B=(kE+A)2，其中足为实数， E 为单位矩阵。求对角矩阵 A，使 B 与 A 相似；并求 k 为何值时，B 为正定矩阵。20 设矩阵 且|A|=一 1，又设 A 的伴随矩阵 A*有特征值 0，属于 0 的特征向量为 =(一 1，一 1，1) T。求 a，b，c 及 0 的值。21 设矩阵 ，已知线性方程组 AX= 有解但不惟一，试求(1)a 的值；(2)正
5、交矩阵 Q，使 QTAQ 为对角矩阵。21 设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 A2+2A=0，A 的秩 r(A)=222 求 A 的全部特征值；23 当点为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。24 设矩阵 Amn 正定，证明：存在正定阵 B，使 A=B2。考研数学三（线性代数）模拟试卷 36 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 为可逆方阵 A 的特征值，故 0，且存在列向量 x0，使Ax=x，用 A*左乘两端并利用 A*A=|A|E，得|A|x=A *x，两端同乘为 A*的一个特征值且
6、 x 为对应的一个特征向量，故只有(B)正确。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 因为，A mn 相似于对角阵 A 有 n 个线性无关特征向量，故备选项(A)不对，若 Amn 有 n 个互不相同的特征值，则 A 必有 n 个线性无关的特征向量，因而 A 必相似于对角阵；但与对角阵相似的方阵 A 也可能有重特征值，故(B)正确。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 由已知条件，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B 所以 P-1(tE 一 A)P=tE一 P-1AP=tEB 这说明 tEA 与 tEB 相似，相似矩阵虽然有相同的特征值，但却未必有相同的特征向
7、量。例如，两个相似矩阵故(D)正确。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 由条件有 AT=A，A=，故有 (P -1AP)T(PT)=PTA(PT)-1PT=PTA=PT=(PT) 因为 PT0(否则 PT=0，两端左乘 (PT)-1，得 =0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量 PT是方阵(P TAP)T 的属于特征值 的特征向量。因此，(B)正确。【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 24【试题解析】 由于相似矩阵有相同的特征值，故 B 的特征值为： 因此，B -1 的特征值为：2，3，4，5从而知 B-1-E 的特征值为
8、：1，2，3，4由特征值的性质，得|B -1 一 E|=1234=24【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 得A 有唯一实特征值 =1解齐次线性方程组(E 一 A)x=0，由得其基础解系为 =(0，2，1) T。故对应于特征值 =1 的全部特征向量为 x=k(0，2，1) T(k 为任意非零常数)。【试题解析】 本题考查特征值与特征向量的求法。注意，A 的属于特征值 0 的特征空间的基就是齐次方程组( 0EA)x=0 的基础解系。所以，如果求出了此基础解系： 1， t，则 A 的属于 0 的全部特征向量为 x=k11+kt1，其中k1，k t
9、，是任意一组不全为零的常数。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 由 A 的特征方程【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 本题(1)求方阵的特征值，属于基本的计算题。为了便于求特征值，应注意利用行列式的性质化简|E 一 A|，以便能够从中提出 的一次式。本题(2)求方阵 A-1 的多项式 f(A-1)=E+A-1(其中 f(x)=1+x)的特征值，除了解答中提供的两种方法外，也可以利用下述的一般结论：设 1， n 为 n 阶方阵 B 的全部特征值，f(x)=amxm+a1x+a0 为一 m 次多项式，则 f(1)，f( n)为方阵 f(B)=amBm+a
10、1B+a0E 的全部特征值。若 为可逆方阵 A 的特征值，即存在非零列向量 X，使 AX=X(由此可知必有 0，否则 =0，则 Ax=0，两端左乘 A-1，得X=0，这与 X0 矛盾)，丙端左乘 A-1，得 X=A-1X，两端同乘 /1，得 A-1X=1。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 用反证法。设 x1+x2 为方阵 A 的属于特征值 0，的特征向量，则有 A(x1+x2)=0 (x1+x2) 或 Ax1+Ax2=0 x1+0 x2 由已知，有 Axi=i x 2 (i=1，2)，于是有 1 x 1+2 x i=0 x1+0 x 2 即 (1 一 0) x1+(2 一 0) x 2=
11、0 因为 x1、x 2 分别是属于不同特征值的特征向量，故 x1 与 x2 线性无关，因此由上式得 10=0， 2 一 0=0 于是得1=0=2，这与 12 矛盾，所以 x1+x2 不是 A 的特征向量。【试题解析】 本题主要考查特征值和特征向量的概念及性质。本题证明的关键是利用“属于互不相同特征值的特征向量必线性无关”这一重要性质。本题直接来证明是有困难的，用反证法就可建立 x1 和 x2 的线性关系式，从而由上述性质推出矛盾。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 因为 A 与 B 相似，故它们的特征多项式相同，即 |I 一 A|=|I 一B|，得 (+2) 2 一
12、(x+1)+(x 一 2)=(+1)( 一 2)(A 一 y) 令 =0，得 2(x 一 2)=2y，可见 y=x 一 2；令 =1，得 y=一 2，从而 x=0【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 满足 P-1 AP=B。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由 A 的特征方程得 A 的全部特征值为1=2=1， 3=一 1因为不同特征值所对应的特征向量线性无关，且对应于单特征值 3=一 1 有且仅有一个线性无关的特征向量，故 A 有 3 个线性无关的特征向量对应于 2 重特征值 1=2 一 1 必须有 2 个线性无关的特征向量 齐次方程组(E一 A)x=0 的基础解系含 2 个向量
13、3 一 r(E 一 A)一 2 r(E 一 A)=1矩阵的秩必须等于 1，故于是得 x+y=0，而且当 x+y=0 时，E+A 的秩的确为 1，故 x 和 y 应满足条件 x+y=0【试题解析】 本题主要考查特征值和特征向量的性质及齐次方程组的基础解系的理论。注意，对于 n 阶方阵 A，当 A 有 n 个互不相同特征值时，A 必有 n 个线性无关的特征向量；当 A 有重特征值时，A 有 n 个线性无关的特征向量 对应于 A的每个特征值的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，这其实也是 n阶方阵 A 相似于对角阵的充分必要条件。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】
14、 因为【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由 AT=A，得(AP) T(AP)=PTA2P。而矩阵 以下欲求矩阵 P，使 PTA2P 为对角矩阵，可以考虑二次型因为 A2 为实对称矩阵，所以存在正交矩阵 P，使得 -1A2P=PTA2P 为对角矩阵，下面来求这样的正交矩阵 P。首先求出 A2【试题解析】 本题是关于特征值的基本概念题。利用矩阵运算得到(AP) T(AP)=PTA2P，从而将问题归结为实对称矩阵 A2 合同于对角矩阵的问题，这是本题求解的关键。由此自然想到利用二次型的配方法或用正交矩阵 P 化 A2 为对角矩阵。注意求矩阵 A2 的属于 3 重特征值 1=2=3=1 的特征
15、向量的方法：解齐次方程组(E一 A2)x=0，由 系数矩阵的秩为 1，故只有 1 个约束未知量，选 x3 为约束未知量，则 x1，x 2，x 4 为自由未知量(虽然方程x3+x4=0 中未出现 x1，x 2，但约束未知量以外的未知量都是自由未知量)，则得方程组的用自由未知量表示的通解为 x3=一 x4(x1，x 2， x4 任意) ，代入上述通解，则得方程组的基础解系、即属于特征值 1 的线性无关特征向量： 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3=(0，0，一1，1) T【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 设 A 的属于特征值 3 的特征向量
16、为 3=(x1，x 2，x 3)T。因对于实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量相互正交，所以 1T3=0， 2T3=0，即(x1，x 2，x 3)T 是齐次方【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 令矩阵 则有【试题解析】 本题主要考查实时称矩阵的性质及方阵 A 相似于对角阵 D 的反问题由 P-1AP=D 来求矩阵 A。注意，由于 1， 2， 两两正交，故再单位化，即得A 的标准正交的特征向量：这样作法虽然多了单位化的步骤，但不必计算 P-1(因为对于正交阵 P，有 P-1=PT)。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由 T=0，有 T=0由 A=T，有 A 2
17、=AA=(T)(T)=(T)T一( T)(T)=0 即 A2 为 n 阶零矩阵。【试题解析】 本题主要考查矩阵乘法，注意这里首先由 T 是 1 阶方阵，知其转置不变，得 0=T= (T)T=T；其次，在求 A2 时，利用了矩阵乘法的结合律，并利用已推得的 T=0，很快推得 A2=0，而并没有具体计算 A 并进而计算 A2，可见作矩阵运算时一般要先作“字母运算”进行化简。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 为 A 的任一特征值，x(0)为对应的特征向量，则 Ax=x，两端左乘 A，得 A2x=Ax=2x，因为 A2=0，所以 2x=0，又 x0，故 =0即矩阵 A的特征值全为零。不妨设
18、向量 ， 中分量 10，b 10，对齐次方程组(0E 一 A)x=0 的系数矩阵施行初等行变换：于是，A 的属于特征值 =0 的全部特征向量为：c 11【试题解析】 本题主要考查幂零方阵(即满足 Am=0 的方阵 A，其中 m 为正整数)的特征值的计算及方阵特征向量的求法，注意 0，0 ，故 ， 的分量不全为零，而假设 10，b 10，对于消元最为简单。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 得 A 的特征值为 1=2=2， 3=0记对角矩阵 因 A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，使得 P-1AP=PTAP=D 所以 A=PDP-1 于是 B=(kE+A)2=(kPP-1+PDP-1
19、)2=P(kE+D)P-12=P(kE+D)P-1P(kE+D)-1亦可由 A 的特征值为：2，2，0，得 kE+A 的特征值为：k+2，k+2，k，进而得B=(kE+A)2 的特征值为： (k+2)2，(k+2) 2，k 2，从而得实对称矩阵 B 相似于对角阵A。由上面的结果立刻得到：当 k一 2，且 k0 时，B 的特征值均为正数，这时 B为正定矩阵。【试题解析】 本题主要考查实对称矩阵及其多项式相似于对角矩阵的问题。注意，若方阵 A 相似于对角阵，则 A 的多项也必相似于对角阵。事实上，若存在可逆矩阵 P，使 则对任意正整数 m，有 P-1Amp=(P-1AP)m=Dm=，由此可知 A
20、的任一多项式也必相似于对角阵。例如，由 P-1(A3+2A一 3E)P=P-1A3P+2P-1AP-3E 即知 A 的多项式 A3+2A 一 3E 相似于对角阵。本题只要求求出 B 的相似对角矩阵，不必求出相似变换的矩阵 P。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 A*=0，AA *=|A|E=一 E 有 AA*=0A，从而有一 =0A 或故 a=c=2因此 a=2，b= 一 3，c=2， 0=1【试题解析】 本题综合考查特征值与特征向量、伴随矩阵、矩阵乘法和向量相等等概念。注意，利用 AA*=|A|E 将方程 A*=0 转化为 0A=一 是本题简化运算的关键。【知识模块】 线性代数21
21、 【正确答案】 故 =一 2 满足题设条件。或因线性方程组 AX= 有解但不惟一，所以当 a=1 时，秩(A) 秩A|B，此时方程组无解；但 a=一 2 时，秩(A)= 秩A|B，此时方程组的解存在但不惟一，于是知 a=一 2(2)由(1)知得A 的特征值为 1=0， 2=3， 3=一 3对于 1=0，解方程组(OEA)X=0 ，由【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 设 为 A 的一个特征值，对应的特征向量为 ，则A=，0；A 2=2。于是(A 2+2A)=(2+2) 由条件 A2+2A=0，推知( 2+2)=0 又由于 0，故有 2+2=0 解得 =一 2，=0 因为实对称矩阵 A 必可对角化，且 r(A)=2，所以 因此，矩阵 A 的全部特征值为 1=2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 矩阵 A+E 仍为实对称矩阵，由(1)知 A+kE 的全部特征值为：一2+k，一 2+k，k。于是，当 k2 时，矩阵 A+kE 的全部特征值都大于零，此时，矩阵 A+kE 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因 A 正定，故有正交阵 P，使则 B 正定，且使 A=B2。【知识模块】 线性代数
