1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 1=0（B） 2=0（C） 10（D） 202 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=0若 A 的秩为 3，则 A 相似于3 矩阵 相似的充分必要条件为（A）a=0 ，b=2（B） a=0，b 为任意常数（C） a=2，b=0（D）a=2 ，b 为任意常数4 与矩阵 相似的矩阵是5 设 A，B 为同阶方阵，则 A 与 B 相似的充分条件是（A）秩
2、(A)=秩(B)（B） |A|=|B|（C） A 与 B 有相同的特征多项式（D）A、B 有相同的特征值 1， 2， n，且 1， 2， n 两两不同二、填空题6 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，2，2，E 为 3 阶单位矩阵，则|4A -1 一E|=_。7 设 =(1，1 ，1) T，=(1 ， 0k) T。若矩阵 T 相似于 ，则k=_。8 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2，一 2，1，B=A 2 一 A+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵，则行列式|B|=_。9 设 1=(1，2 ，0) T 和 2=(1，0，1) T 都是方阵 A 的对应于特征值 2 的特征向量，又=(一 1，2，
3、一 2)T，则 A=_。10 设 1， 2 为 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同特征值，x 1 为对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A1x1x1T 有两个特征值为_。11 设 3 阶矩阵 A 的特征值为12 设 n 阶方阵 A 的特征值为 2，4，2n，则行列式 |3E 一 A|=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 n 阶矩阵13 求 A 的特征值和特征向量；14 求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角矩阵。15 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解
4、。()求 A 的特征值与特征向量；()求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A；()求 A 及 ，其中 E 为 3 阶单位矩阵。16 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2，且 1=(1，一 1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量。记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 ()验证i 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B。16 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为 A 的分别属于特征值一 1，1 的特征向量，向量 3满足 A3=2+3。17 证明 1， 2， 3 线性无关；18 令 P=1，
5、 2， 3，求 P-1AP。19 设 ，正交矩阵 Q 使得 QTAQ 为对角矩阵，若 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T，求 a，Q。20 设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且 ()求 A 的所有特征值与特征向量。() 求矩阵 A。21 证明 n 阶矩阵 相似。21 设矩阵22 求 a，b 的值；23 求可逆矩阵 P，使 p-1AP 为对角矩阵。24 设 3 阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，1，对应的特征向量分别为 (1，一 11)T， (1，0，一 1)T，(1，2，一 4)T。求 A100。25 已知向量 =(1，k，1) T 是矩阵 的逆矩阵 A-1 的特征向量，试求常
6、数志的值及与 对应的特征值。26 设有 4 阶方阵 A 满条件 AAT=2I，|A|0，其中 I 是 4 阶单位矩阵。求 A 的伴随矩阵 A*的一个特征值。26 设矩阵27 求 a，b 的值；28 求一个可逆矩阵 P，使 P-1AP=B。29 设 c1，c 2，c n 均为非零实常数，A=(a ij)mn 为正定矩阵，令bij=aijcicj(i，j=1，2，n) ，矩阵 B=(bij)mn，证明矩阵 B 为正定矩阵。考研数学三（线性代数）模拟试卷 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由条件知 1， 2 线性无关，向量
7、组 1，A( 1+2)，即向量组1， 11+22，显然等价于向量组 1， 22，当 2=0 时， 1， 22 线性相关，当20时， 1， 22 线性无关，故向量组 1，A( 1+2)线性无关 向量组 1， 22 线性无关 20，只有选项(D)正确。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 按列分块为 A=1234，由 r(A)=3，知 A 的列向量组的极大无关组含 3 个向量，不妨设 1， 2， 3 是 A 的列向量组的极大无关组。由于 A2=一 A，即 A 1234=一 1234， 即A 1A2A3A4一一 1 一 2 一 3 一 4，得 Aj=一 j,j=1，2，3，
8、4 由此可知一 1 是 A 的特征值值且 1， 2， 3 为对应的 3 个线性无关的特征向量，故一 1 至少是 A 的 3 重特征值。 而 r(A)=34，知0 也是 A 的一个特征值。于是知 A 的全部特征值为：一 1，一 1，一 1，0，且每个特征值对应的线性无关特征向量个数正好等于该特征值的重数，故 A 相似于对角矩阵 D=diag(一 1，一 1，一 1，0)，故选项(D)正确。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 B 为对角矩阵，B 的特征值为其主对角线元素 2，b，0若 A 与 B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知 2 为 A 的一个特征值，从而有由此得 a=0
9、当 a=0 时，矩阵 A 的特征多项式为由此得 A 的全部特征值为2，B， 0以下可分两种情形：情形 1：若 6 为任意实数，则 A 为实对称矩阵，由于实对称矩阵必相似于对角矩阵，且对角矩阵的主对角线元素为该实对称矩阵的全部特征值，所以此时 A 必相似于 B。综上可知，A 与 B 相似的充分必要条件为a=0，b 为任意常数。所以只有选项(B)正确。情形 2：若 6 是任意复数而不是实数，则 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值，因此 A 必相似于对角矩阵 B。只有选项(B)正确。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 A 与对角矩阵 D=diag(1，1，2)相似 A 的
10、特征值为 1，1，2，且对应于特征值 1 的线性无关特征向量有两个，后一条件即 3 一 r(EA)=2，或 r(EA)=1，经检验，只有(C) 符合上述条件。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 在选项(D) 的条件下，存在适当的可逆矩阵 P、Q ，使 P-1AP=diag(1， 2， n)=Q-1BQ， QP-1APQ-1=B， (PQ-1)-1A(PQ-1)=B，因PQ-1 可逆，知 A 与 B 相似。【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 3【试题解析】 |A|= 123=40，故 A 可逆，A -1 的特征值为 1，12，12，知 4A-1 一 E 的特征值
11、为 411=3，41 21=1，4121=1，故 |4A -1 一E|=311=3【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 2【试题解析】 得 A 的特征值为 1=2=0， 3=k+1又由 A 与对角矩阵相似，知 A 的特征值为 3，0，0比较得 k+1=3，所以 k=2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 21【试题解析】 因为 B=A2 一 A+E=f(A)，其中多项式 f(t)=t2 一 t+1，所以由 A 的特征值 2，一 2，1，得 B 的特征值为 f(2)=3，f(一 2)=7，f(1)=1 这是 3 阶矩阵 B 的全部特征值，由特征值的性质得 |B|=371=21 。【知识模块】
12、 线性代数9 【正确答案】 (一 2，4，一 4)T【试题解析】 = 1 一 22 仍是 A 的属于特征值 =2的特征向量，故 A=2=(一2，4，一 4)T。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 0， 2【试题解析】 Bx 1=Ax1 一 1x1(x1Tx1)=1x1 一 1x1=0=1x1，设 x2 是 A 属于 2 的特征向量，则 Bx2=Ax2 一 1x1(x1Tx2)=Ax2=1x10=Ax2=2x2，故 B 有特征值 0 和 2。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1620【试题解析】 +12A*一 E=2(A-1)2+A-1 一 E=f(A-1)，其中 f(x)一 2x
13、2+x 一 1，A -1 的特征值为 2，2，3，故f(A-1)的特征值为 f(2)=9，f(2)=9，f(3)=20，故|f(A -1)|=9920=1620【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (一 1)n-1135(2n 一 3)【试题解析】 由条件知存在可逆矩阵 P，使 P-1APdiag(2，4，2n) ，故有 P-1(3EA)P=3EP-1AP=3Ediag(2，4，2n)=diag(1，一 1，32n) ，两端取行列式，得|3E 一 A|一 1(一 1)(32n)=(一 1)n-1135(2n 一 3)。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14、【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1 当 b0 时，A 的特征多项式为故 A 的特征值为 1=1+(n1)b， 2= n=1b。对于 1=1+(n-1)b，设对应的一个特征向量为 1，则 解得 1=(1，1，) T，所以，属于1 的全部特征向量为 k1=k(1，1，1) T，其中 k 为任意非零常数。对于2= n=1b，解齐次线性方程组(1b)E Ax=0，由解得基础解系为 2=(1，一 1，0，0) T， 3=(1，0，一1，0) T， ， n=(1， 0，0，一 1)T。故属于 2= n 的全部特征向量为k22+k33+knn，其中 k2，k 3，k n 为不全为零的任意常数。2当
15、 b=0 时，A=E，A 的特征值为 1=2= n=1，任意 n 维非零列向量均是 A 的特征向量。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1 当 60 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令矩阵 P=12 n，则有 P -1AP=diag(1+(n 一 1)b，1b，1b)。 2当 b=0 时，A=E ，对任意 n 阶可逆矩阵 P，均有 P-1AP=E。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由于矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以因为 A2=0，A 2=0，即 A2=02，A 2=02 故 1=2=0是 A 的二重特征值， 1， 2 为 A 的属于特征值 0 的两个线性无关特征向量
16、； 3=3是 A 的一个特征值， 3=(1，1，1) T 为 A 的属于特征值 3 的特征向量。总之，A 的特征值为 0，0，3属于特征值 0 的全体特征向量为 k11+k22(k1，k 2 不全为零)，属于特征值 3 的全体特征向量为 k33(k30)。对 1， 2 正交化。令 1=1=(一1，2，一 1)T再分别将 1， 2， 3 单位化，得【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 () 记矩阵 A 的属于特征值 i 的特征向量为 i(i=1，2，3)，由特征值的定义与性质，有 A kiiki(i=1，2，3，k=1，2，)，于是有 B 1=(A5 一4A3+E)1=(15 一 41【试题
17、解析】 本题主要考查特征值与特征向量的定义与性质、矩阵相似对角化的概念与应用。本题中方阵 B=f(A)为方阵 A 的多项式，其中多项式 f(t)=t5 一4t3+1我们知道，若 为方阵 A 的一个特征值，则 f()为 f(A)=B 的一个特征值。但是，为什么能由 A 的全部特征值为 1， 2， 3 而断言 f(1)，f( 2)，f( 3)为 B 的全部特征值呢?对此问题，可有以下几种推导方法：(1)由于属于互不相同特征值的特征向量线性无关，知向量组 1， 2， 3 线性无关，从而知 2， 3 线性无关，再由 B3=2，B 3=3，知 1 为 B 的特征值，且对应的线性无关特征向量至少有 2 个
18、，故知 1 至少为 B 的二重特征值。又因 3 阶矩阵 B 的全部特征值(重特征值按重数计算)有且仅有 3 个，故知 B 的全部特征值为一 2，1，1(2)由 3 阶矩阵 A 有 3 个互不相同的特征值 1，2，一 2，或由 A 为实对称矩阵，知 A 可相似对角化，即存在可逆矩阵 Q，使 于是有 Q-1BQ=Q-1(A5 一 4A3+E)Q=Q-1A5Q 一 4Q-1A3Q+E=(Q-1AQ)5 一 4(Q-1AQ)3+E=D5 一 4D3+E 即矩阵 B 与对角矩阵 M 相似，由于相似矩阵有相同的特征值，故知 B 的全部特征值为一 2，1，1(3)也可以直接利用下面更为一般的结论：设 n 阶
19、矩阵 A(不一定为实对称矩阵)的全部特征值为 1， 2， n，则对于任一多项式 f(t)，n 阶矩阵，(A)的全部特征值为 f(1)，f( 2)，f( n)。另外，需要指出，由方程 x1 一 x2+x3=0所求基础解系，即 B 的属于特征值 1 的线性无关特征向量虽然不是唯一的，从而所得相似变换矩阵 P 不是唯一的，但由 B=Pdiag(一 2，1，1)P -1 所计算出的矩阵 B却是唯一的。例如，也可由 x1x2+x3=0 解得 B 的属于特征值 1 的线性无关特征向量为(1 ，1，0) T，( 一 1，1，2) T，从而可取相似对角化的变换矩阵为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数
20、17 【正确答案】 设存在一组常数 k1，k 2，k 3，使得 k 11+k22+k33=0 用 A 左乘式两端，并利用 A1=一 1，A 2=2， 一 k11+(k2+k3)2+k33=0 一，得 2k11 一 k32=0 因为 1， 2 是 A 的属于不同特征值的特征向量，所以 1， 2 线性无关，从而由式知 k1=k3=0，代入式得 k 22=0，又由于 20，所以 k2=0，故 1， 2， 3 线性无关。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由题设条件可得 AP=A1， 2， 3=A1，A 2，A 3=一1， 2， 2+3=1， 2， 3 由()知矩阵 P 可逆，用P-1 左乘上式
21、两端，得【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由题设，=(1，2，1) T 为 A 的一个特征向量，于是有 A=1，即故 Q 为所求的正交矩阵。【试题解析】 本题主要考查实对称矩阵正交相似对角化的概念与运算、特征值与特征向量的定义与计算。注意当实对称矩阵 A 的特征值都是单特征值时，只要求出每个特征值的一个特征向量，再单位化，便可得到 n 阶实对称矩阵 A 的 n 个两两正交的单位特征向量，以它们为列向量便可构成所求的正交矩阵 Q，但必须注意 Q 的列向量的排列次序必须与对角矩阵 QTAQ 的主对角线元素(A 的特征值)的排列次序相对应。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 () 由于
22、 A 的秩为 2，故 0 是 A 的一个特征值。由题设可得所以，一 1 是 A 的一个特征值，且属于一1 的特征向量为 k1(1，0，一 1)T，k 1 为任意非零常数；1 也是 A 的一个特征值，且属于 1 的特征向量为 k2(1，0，1) T，k 2 为任意非零常数。设 x=(x1，x 2，x 3)T 为 A 的属于 0 的特征向量，由于 A 为实对称矩阵，A 的属于不同特征值的特征向量相互正交，则 解得上面齐次线性方程组的基础解系为(0，1，0) T，于是属于 0 的特征向量为k3(0，1 ，0) T，其中 k3 为任意非零常数。【试题解析】 本题综合考查矩阵分块乘法、特征值与特征向量、
23、逆矩阵、方阵的相似对角化等基本知识及其应用。注意，对本题()中齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，得 由此得一般解 这时应注意虽然未出现 x2，但 x2 为自由未知量(因系数矩阵的秩为 2，而 x1，x 2 的系数构成 2 阶非零子式，故选 x1，x 2 为约束未知量，于是 x2 为自由未知量。这又用到了“当齐次线性方程组有非零解时，先要选取约束未知量，而当约束未知量一旦选定，则其余未知量自然就是自由未知量”这一原则)，令 x2=1，则得基础解系为 (0，1，0) T。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 证 所以A 与 B 有相同的特征值 1=n， n=0(n1 重)。由于 A 为实对
24、称矩阵，所以 A 相似于对角矩阵 因为 r(2E 一 B)=r(B)=1，所以 B 的对应于特征值2=0 有 n 一 1 个线性无关的特征向量，于是由方阵相似于对角矩阵的充要条件知B 也相似于 A。再由矩阵的相似关系具有对称性和传递性知 A 与 B 也相似。【试题解析】 本题综合考查特征值的计算、方阵相似于对角矩阵的条件。本题中计算行列式|AE-A| 可以利用行(列) 和相等行列式的计算方法。求实对称矩阵 A 的特征值还可以用下法：因为 A 的秩为 1所以 A 只有一个非零特征值 1，其它特征值均为 0： 2= n=0，再由 1+2+ n=(A 的对角元之和) 2，知 1=n。本题证法是一个构
25、造性的证明，当 24时计算满足 P-1AP=B 的矩阵 P 都是比较容易的，当然 P 不是唯一的。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由于矩阵 A 与 B 相似，所以二矩阵有相同的迹 (主对角线元素之和)、有相同的行列式，由此得a+3=b+2，2a-3=b解得 a=4，b=5【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由于矩阵 A 与 B 相似，所以它们有相同的特征多项式： |AE-A|=|E-B|=(-1)2(-5)由此得 A 的特征值为 1=2=1， 3=5 对于 1=2=1，解方程组(E-A)x=0，有 得对应于 1=2=1 的线性无关特征向量 对于 3=5，解
26、方程组(5EA)x=0 ，由【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 A 有 3 个线性无关特征向量，故 A 可相似对角化。令，则 P 可逆，且使 A=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 A-1=， =A，亦即【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 AAT=2I 取行列式得|A|=2 4=16，因|A| 0，得|A|=一 4，A 有一个特征值为 = 有一个特征值为【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 的特征值为 2，2，b，由 2+2+b=1+4+a，22b=|A|=6(a 一 1)，a=5，b=6；【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 P=【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 令矩阵 ，则 C 可逆，注意用对角矩阵 C 左(右)乘矩阵 A，等于用 C 的主对角线元素依次乘 A 的各行(列)，于是有即 B 与正定阵 A 合同，故 B正定(事实上， Rn，x0，由 C 可逆知 Cx0，再由 A 正定知(Q) TA(Cx)0，即xT(CTAC)x=xTBx0，故 B 正定)。【知识模块】 线性代数
