1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 45 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 中 x3 的系数为 ( )（A）2（B） 2（C） 3（D）32 设 等于 ( )（A）c 2 m（B） m（C） cm（D）c 3m3 设 1， 2， 3， 1， 2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式 1， 2， 3， 1=m ， 1， 2， 2， 3=n，则 4 阶行列式 3， 2， 1， 1+2等于 ( )（A）m+n（B） (m+n)（C） nm（D）mn4 线性方程组 则有 ( )（A）若方程组无解，则必有系数行列式A =0（B）若方程组有解，则必有系数行列式A 0
2、（C）系数行列式A =0，则方程组必无解（D）系数行列式A 0 是方程组有唯一解的充分非必要条件5 线性方程组 则 ( )（A）当 a， b，c 为任意实数时，方程组均有解（B）当 a=0 时，方程组无解（C）当 b=0 时，方程组无解（D）当 c=0 时，方程组无解6 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( )（A）AB=OA=O 且 B=O（B） A=0A=O（C） AB =0A=0 或B =0（D）A=EA=17 设 A 是 n 阶方阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（A）AB=O=A=O（B） BTAB=O=A=O（C） A
3、X=0=A=O（D）X TAX=0=A=O8 设 n 维行向量 = ，矩阵 A=E T，B=E+2 T，则 AB= ( )（A）O（B） E（C） E（D）E+ T9 A，B 是 n 阶方阵，则下列公式正确的是 ( )（A）(A 2)1 =(A1 )2（B） (A+B)1 =A1 +B1（C） (A+B)(AB)=A 2B 2（D）(kA) 1 =kA1 (k0)二、填空题10 11 设 a，b， a+b 均非 0，则行列式 =_12 已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1=1， 2=2 为 A 的两个特征值，B=2，则行列式 =_13 设 n 阶矩阵 A= ，则 A=_14 设 A=1， 2
4、， 3是 3 阶矩阵，A=4 ，若B=13 2+23， 22 3，2 2+3，则B=_15 设 a=1，0，1 T，A= T，n 是正数，则aEA n=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 计算行列式17 计算行列式18 计算19 已知 n(n3)阶实矩阵 A=(aij)nn 满足条件：(1)a ij=Aij(i，j=1，2，n)，其中 Aij是 aij 的代数余子式； (2)a110求A20 A是 n 阶行列式，其中有一行(或一则)元素全是 1证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值21 计算 D5=22 计算行列式23 设 f(x)= ，试证明： (0，1)
5、，使得 f()=024 计算 Dn= ，其中 n225 设 A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 aij 的代数余子式，证明下列结论：(1)aij=AijATA=E 且A=1； (2)a ij=A ijATA=E 且A=126 设 A 是 n 阶矩阵，满足 AAT=E(E 是 n 阶单位矩阵， AT 是 A 的转置矩阵) ，A0，求A+E27 设 a1，a 2，a n 是互不相同的实数，且求线性方程组 AX=b 的解28 设 B=2AE 证明：B 2=E 的充分必要条件是 A2=A29 设 A 是 n 阶矩阵证明：A=O 的充要条件是 AAT=O30 设 A= (1)证明：
6、当 n3时，有 An=An2 +A2E ；(2)求 A10031 设 A= (1)计算 A2，并将 A2 用 A 和 E 表出；(2)设 A 是二阶方阵，当k2 时，证明：A k=O 的充分必要条件为 A2=O考研数学三（线性代数）模拟试卷 45 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由行列式展开定理，只有 a12A12 这一项有可能得到 x3 项，又a12A12=(x) =x(x1)(2x+1)=2x 3+所以行列式中 x3 项的系数就是2故应选(B)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由故选(B)【知识
7、模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因 3， 2， 1， 1+2= 3， 2， 1， 1+ 3， 2， 1， 2 = 1， 2， 3， 1 1， 2， 3， 2 = 1， 2， 3， 1+ 1， 2， 2， 3 =n m， 应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 方程组无解=A=0(反证，若A 0，用克拉默法则，方程组必有解)；(B)方程组有解，A可能为零，也可能不为零； (C)A=0，方程组也可能有解；(D) A0=方程组解唯一，反过来，若方程组有唯一解=A 一定不为零【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 因 a=0 或 b=0 或
8、c=0 时，方程组均有解，且系数行列式当 abc0 时，由克拉默法则知，方程组有解，且当abc=0 时也有解，故 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 因AB=AB=0 A=0 或B=0，故(C)正确；(A) 不正确，例：A= O，但 AB=O；(B)不正确，例：O；(D)不正确，例：A= E，但A=1 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 X，有 XTAX=0，可推出 AT=A，不能推出 A=O例，对任意的x 1，x 2T，均有 但 A=O【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 AB=(E T
9、)(E+2T)=E+T2 TT=E+T2 T(T)，其中故 AB=E+T2 T=E【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 (A 2)1 =(AA)1 =A1 A1 =(A1 )2；(B)不成立，例：B=A，A+B 不可逆；(C)中， ABBA，BAABO；(D)中，(kA) 1 = A1 kA1 【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 (x 2y 2)(b2c 2)【试题解析】 =(x2y 2)(b2c 2)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2(a 3+b3)【试题解析】 将第 2,3 行加到第 1 行，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的1 倍加到
10、第 23 列，得到=2(a+b)(a 2+abb 2)=2(a 3+b3)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，A = B =2 ，且123=A =2，可见 3=1，从而 A，B 有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=1于是有A+E=( 1+1)(2+1)(3+1)=12，(2B)*= 22B* =43B *=4 3B 2=256，故【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1) n1 (n1)【试题解析】 =(1)n 1(n1) 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质 B= 13 2+23
11、， 22 3，5 3 =5 13 2+23， 22 3， 3 =5 13 2， 2， 3 =5 1， 2， 3 =20【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 a 2(a2 n)【试题解析】 A= T= T=1，0，1 =2，A n=(T)n=TT T=(T)(T)( T)T=2n1 A，=a(a2 n1 )2(2 n1 )2=a(a2a2 n)=a2(a2 n)【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 按第一列展开，得=an+(1) 1+nbn【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 把原行列式表示成
12、如下形式再利用“拆项” 性质，将 Dn 表示成 2n 个n 阶行列式之和，可以看出 Dn 中第 i 列的第 2 子列和第 i+l 列的第 1 子列成正比，因此 2n 个行列式中只有 n+1 个不为零，即各列都选第 1 子列，或者由第 i 列起(i=n，n1，1)以后都选第 2 子列，而前 i1 列都选第 1 子列，最后得Dn=n+n1 +n2 2+ n1 +n【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由已知 aij=Aij，所以 A*=AT，且 AA *=AAT=AE 两边取行列式得 AA T=A 2=AE= A n 从而 A =1 或A=0 由于a110，可知 A=a 11A11+a12A1
13、2+a1nA1n=a112+a122+a1n20 于是A=1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 不失一般性，设【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 按第一行展开 D5=(1x)D 4x =(1x)D4+xD3，得到递推公式，D 5D 4=x(D 4D 3)=x 3(D2D 1)由于 D2=1x+x 2，D 1=1x，于是得 容易推出D5=x 5+x4 x3+D2=x 5+x4x 3+x2x+1 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 故原式=(a2+b2+c2+d2)2【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 f(x)显然在0 ，1上连续，在(0，1) 上可导而可知 f(x)在0，
14、1上满足罗尔定理的条件，故 (0，1)，使得 f()=0【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 把第 1 行的(x)倍分别加到第 2，3，n 行，得当 x0时，再把第 j 列的 倍加到第 1 列(j=2，n)，就把 Dn 化成了上三角行列式Dn= =(1) n1 (n1)x n2 当 x=0 时，显然有Dn=0，所以总有 Dn=(1) n1 (n1)x n2 【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)当 aij=Aij 时，有 AT=A*，则 ATA=AA*=A E 由于 A 为 n阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以 tr(AAT)= aij20而 tr(AAT)=tr(A E
15、)=nA，这说明A0在 AAT=AE 两边取行列式，得A n2 =1，A=1反之，若 ATA=E 且A=1 ，则 A*A=AE=E 且 A可逆，于是，A TA=A*A，A T=A*，即 aij=Aij(2)当 aij=A ij 时，有 AT=A *，则ATA=A *A=AE由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 aij 不全为 0，所以A =0在 ATA=AE 两边取行列式得A=1反之，若ATA=E 且A=1，由于 A*A=AE= E，于是，A TA=A *A进一步，由于 A 可逆，得 AT=A *，即 aij=A ij【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由A+E= A+AA T=A(E+A
16、 T)=A.(A+E) T= A .A+E，故 (1A)A+E=0 A+E=0【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因 a1，a 2，a n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，A0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且xi= ，i=1 ，2，n，其中A i是 b 代换A中第 i 列得的行列式，有A 1= A，A i=0，i=2 ，3，n故 AX=b 的唯一解为X=1，0，0，0 T【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 B=2AE，B 2=(2AE)(2AE)=4A 24A+E ，所以 4A24A+E=E4A 24A=OA 2=A【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设
17、 A= ，则若 AAT=O应有 =0，i=1，2，n，即aij=0(i=1，2，n；j=1，2，n) ，即 A=O反之，若 A=O，显然 AAT=O【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 用归纳法n=3 时，因 ，验证得A3=A+A2E，上式成立；假设 n=k1 时(n3)成立，即 Ak1 =Ak3 +A2E 成立，则 Ak=A.Ak1 =A(Ak3 +A2E)=A k2 +A3A=A k2 +(A+A2E)A=A k2 +A2E 即n=k 时成立故 An=An2 +A2E 对任意 n(n3)成立 (2)由上述递推关系可得A100=A98+A2E=(A 96+A2E)+A 2E=A 96+2(A2E)=A 2+49(A2E)【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 (1)A 2= 令得 解得x=a+d，y=bcad ，即 A2=(a+d)A+(bcad)E (2)充分性 A 2=O=Ak=O，k2，显然成立；必要性 A k=O=A=ad bc=0，由(1)知 A2=(c+d)A，于是 Ak=(c+d)k1 A=O，故 A=O 或 a+d=0，从而有 A2=(a+d)A=O【知识模块】 线性代数
