1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 aij=Aij(i，j=1，2，3)，其中 Aij 为 aij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵； A 是对称矩阵；A 是不可逆矩阵； A 是正交矩阵 其中正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中：若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆；若 B 可逆，则 A+B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D
2、）43 已知 Q= ，P 为 3 阶非零矩阵，且满足 PQ=O，则 ( )（A）t=6 时 P 的秩必为 1（B） t=6 时 P 的秩必为 2（C） t6 时 P 的秩必为 1（D）t6 时 P 的秩必为 24 设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（A）若A0，则B0（B）如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=E（C）如果 AE，则B 0（D）存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B5 设 A= ，若 r(A*)=1，则 a= ( )（A）1（B） 3（C） 1 或 3（D）无法确定6 设 则必有 ( )（A）AP 1P2=B（B） AP2P1=B（
3、C） P1P2A=B（D）P 2P1A=B7 设 其中 A 可逆，则 B1 等于 ( )（A）A 1 P1P2（B） P1A1 P2（C） P1P2A 1（D）P 2A1 P18 设 A 是 n 阶矩阵，则 = ( )（A）(2) n A n（B） (4A) n（C） (2) 2nA * n（D）4A n9 设 ，则(P 1 )2016A(Q2011)1 = ( )二、填空题10 已知 A22A+E=O，则(A+E) 1 =_11 设 A 是 n 阶矩阵，A=5，则(2A) *=_12 设 A= ，则 (A*)1 =_13 设 A= ，B=(E+A) 1 (EA)，则(E+B) 1 =_14
4、已知 A,B 均是 3 阶矩阵，将 A 中第 3 行的2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B 中第 1 列和第 2 列对换得到 B1，又 A1B1= ，则 AB=_15 设 B= ，则 B1 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AAT=E 的充分必要条件是：(1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即17 证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵18 证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是 A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式
5、；若A=1 ，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘119 设 =a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT0，且 T=0，A=E+ T，试计算：(1)A；(2)A n；(3)A 1 20 设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是 4 阶单位阵，B= ，且E+AB 是不可逆的对称阵，求 A21 设 证明：A=E+B 可逆，并求 A1 22 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明：AE 可逆，并求(A E) 1 23 设 B 是可逆阵，A 和 B 同阶，且满足 A2+AB+B2=O证明：A 和 A+B 都是可逆阵，并求 A1 和(A+B) 1 24 已知 A，B 是三阶方阵
6、，AO，AB=O证明： B 不可逆25 设 A=(aij)nn，且 =0，i=1 ，2，n，求 r(A*)及 A*26 已知 n 阶矩阵 求A中元素的代数余子式之和，第 i 行元素的代数余子式之和 ， i=1，2，n 及主对角元的代数余子式之和27 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= ，且 ABA1 =BA1 +3E，求 B28 设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B证明：B可逆，并推导 A1 和 B1 的关系29 设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a证明：(1)a0；(2)A 1 的每行元素之和均为30 (1)A，B 为 n 阶方阵证明
7、： (2)计算考研数学三（线性代数）模拟试卷 47 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 aij=Aij(i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A *=AT，那么A *=A T，也即A 2=A，即A (A 1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a11=0，则 A=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320， 故A=1因此，A 可逆 并且 AAT=AA*=AE=E，可知 A 是正交矩阵可知、正确，错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)【知识模块】
8、线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 由于(AE)B=A，可知当 A 可逆时，AEB0，故B 0 ，因此 B 可逆，可知是正确的当 A+B 可逆时， AB =AB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故AB=AB0，因此 AB 可逆，故A+B 也可逆，可知 是正确的最后，由 AB=A+B 可知(AE)B A=O，也即(AE)B(AE)=E，进一步有(A E)(BE)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的综上，4 个命题都是正确的，故选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 “AB=O” 是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： Ams
9、Bsn=O=r(A)+r(B)s； AmsBsn=O=组成 B 的每一列都是 AmsX=0 的解向量 对于本题， PQ=O=r(P)+r(Q)3=1r(P)3r(Q) 当 t=6 时，r(Q)=1=1r(P)2=r(P)=1或 2，则(A)和(B) 都错； 当 t6时，r(Q)=2=lr(P)1=r(P)=1【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 两矩阵等价的充要条件是秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B1 B=E，可见(B)中命题成立 AE 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故B0，可见(C)中命题也是成
10、立的 矩阵A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上，当 A0 时，我们也只能得到 r(B)=n，也即B0，不一定有B 0故选(A)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 由 r(A*)=1 得 r(A)=3，则A=0，即得 a=1 或 3，且此时均满足 r(A)=3，故选(C) 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 B 由 A 第一行加到第 3 行(P 2 左乘 A)再将第 1，2 行对换(再 P1 左乘P2A)得到，故 (C)成立【知识模块】 线性代数7 【正确答
11、案】 C【试题解析】 因 B=AP2P1，B 1 =(AP2P1)1 =P11 P21 A1 =P1P2A1 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 =(2) 2nA *A =4 nA n=(4A) n【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 易知 P2=E，故 P1 =P，进一步有(P 1 )2016=P2016=(p2)1008=E利用归纳法易证 Qn= ，则 故(P 1 )2016A(Q2011) 1=A ，由于右乘初等矩阵等于作相应的初等列变换，故计算结果应为将 A 的第 2 列的 2011 倍加到第 1 列，计算可知应选 (B)【知识模块】 线性代数二、
12、填空题10 【正确答案】 (3E A)【试题解析】 A 22A+E=O ，(A+E)(A3E)=4E，(A+E)1 = (3EA)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【试题解析】 (2A)(2A) *=2A E，(2A) *=2A (2A) 1 ，【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 E+B=E+(E+A) 1 (EA)=(E+A) 1 (E+A+EA)=(E+A) 1 2E，故【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 故【知识模块】 线性代数三
13、、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 设 A= ，且 A 是正交矩阵(1) AA T=E，A，A T互为逆矩阵，有 ATA=E，故(2)AAT=E，即【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由题设，a ij=Aij，则 A*=AT，AA *=AAT=A E两边取行列式，得A 2=A n，得A 2(A n2 1)=0 因 A 是非零阵，设 aij0，则A按第 i 行展开有A= 0，故A 0，从而由A 2(A n2 1)=0 ，得A=1，故 AAT=AAT=A E=E，A 是正交矩阵【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 必要性 A 是正交矩阵 AAT=A=1 若
14、A =1，则AA*=AE=E，而已知 AAT=E，从而有 AT=A*，即 aij=Aij； 若A =1，则AA*=AE=E，A(A *)=E，而已知 AAT=E，从而有 A*=AT，即 aij=A ij 充分性 A=1 且 aij=Aij，则 A*=AT，AA *=AAT=A E=E，A 是正交阵，A= 1，且 aij=A ij 时，A *=AT，AA *=AE=E ，即 AAT=E，A 是正交阵【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (2)An=(E+T)n=En+nEn1 T+ En2 (T)2+当 k2 时，( T)k=(T)(T)( T)=(T)(T) T=O故 An=E+nT(3)
15、A 2=(E+T)(E+T)=E+2T+TT=E+2T=2E+2TE=2AE2AA 2=E，A(2EA)=E，A 1 =2EA=E T【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设 A= ，则 E+AB= ，因(E+AB)T=(E+AB)故有 b=c=d=e=0又 E+AB 不可逆，有E+AB = =14f 2=0，得 f= ，从而得其中 a 是任意常数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因 E 和任何矩阵可交换(和 B 可交换 )且 B4=O，故(E+B)(EB+B 2B 3)=EB 4=E，故 A=E+B 可逆，且 A1 =(E+B)1 =EB+B 2B 3又【知识模块】 线性代数22
16、 【正确答案】 因 AB=A+B，即 ABAB=O，ABAB+E=E，A(B E)(BE)=E，即 (AE)(BE)=E， 故 AE 可逆，且(AE) 1 =BE【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由题设：A 2+AB+B2=O，得 A(A+B)=B 2 式右乘(B 2)1 ，得 A(A+B)(B 2)1 =E，得 A 可逆，且 A 1 =(A+B)(B 2)1 式左乘(B 2)1 ，得(B 2)1 A(A+B)=E，得 A+B 可逆，且 (A+B) 1 =(B 2)1 A【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 AB=O ，(AB) T=BTAT=O，AO，B TX=0 有非零解，故B
17、 T=0，即B =0 ，从而有 B 不可逆【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 =0，i=1 ，2，n，可知A=0 ，r(A)n 1，当 r(A)=n1 时，有 r(A*)=1，r(A)n1，r(A *)=0，故有 r(A*)1r(A *)=1 时，A *=T，其中 ， 为非零向量；r(A *)=0 时，A *=O【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 AA *=AE=E，【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由题设 (AE)BA 1 =3E，(AE)B=3A，A 1 (AE)B=3E， (EA 1 )B=3E，(E )B=3E其中A *=8= A 3，A=2，从而得(2EA *)B
18、=6E，B=6(2E A *)1 ，【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 记 Eij 为初等矩阵则B=EijA，B=E ijA=E ijA=A0，故 B 可逆，且 B1 =(EijA)1 =A1 Eij1 =A1 Eij故知 B 的逆矩阵可由 A 的逆矩阵交换第 i 列和第 j 列之后得到【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 (1)将 A 中各列加到第一列，得若 a=0，则A=0，这与 A 是可逆阵矛盾，故 a0(2)令 A=1， 2， n，A 1 =1， 2， n，E=e1，e 2，e n，由 A1 A=E，得 A1 1， 2， n=e1，e 2，e n，A1 j=ej，j=l，n，A 1 1+A1 2+A1 n=e1+e2+en，A 1 (1+2+ n)=A1 另一方面， A1 =1， 2， n =a(1+2+ n)比较以上两式，得证 得证 A1 的每行元素之和为【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 【知识模块】 线性代数
