[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷48及答案与解析.doc

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1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 已知 1, 2, 3, 4 为 3 维非零列向量,则下列结论: 如果 4 不能由1, 2, 3 线性表出,则 1, 2, 3 线性相关; 如果 1, 2, 3 线性相关,2, 3, 4 线性相关,则 1, 2, 4 也线性相关; 如果 r(1, 1+2, 2+3)=r(4, 1+4, 2+4, 3+4),则 4 可以由 1, 2, 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )(A)0(B) 1(C) 2(D)32 设 1, 2, 3 均为线性方程组 Ax=b 的解,下列向量中 1

2、2, 1 22+3, (1 3), 1+324 3,是导出组 Ax=0 的解向量的个数为 ( )(A)4(B) 3(C) 2(D)13 设 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵, 1, 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量,则Ax=0 的通解必定是 ( )(A) 1+2(B) k1(C) k(1+2)(D)k( 1 2)4 设 A 是 n 阶矩阵,对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n+1x=0,现有命题 () 的解必是() 的解; ()的解必是( )的解; ()的解不一定是()的解; () 的解不一定是()的解 其中正确的是 ( )(A)(B) (C) (D)5 n 维向量组 1

3、, 2, 3(3sn)线性无关的充要条件是 ( )(A)存在一组全为零的数 k1,k 2,k s,使 k11+k22+kss=0(B) 1, 2, s 中任意两个向量都线性无关(C) 1, 2, s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出(D)存在一组不全为零的数 k1,k 2,k s,使 k11+k22+kss06 设有两个 n 维向量组() 1, 2, s,() 1, 2, s,若存在两组不全为零的数 k1,k 2,k s, 1, 2, s,使(k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 1)1+(ks s)s=0,则 ( )(A) 1+1, , s+s, 1 1, s s 线

4、性相关(B) 1, s 及 1, s 均线性无关(C) 1, s 及 1, , s 均线性相关(D) 1+1, , s+s, 1 1, s s 线性无关7 已知向量组() 1, 2, 3, 4 线性无关,则与()等价的向量组是 ( )(A) 1+2, 2+3, 3+4, 4+1(B) 1 2, 2 3, 3 4, 4 1(C) 1+2, 2 3, 3+4, 4 1(D) 1+2, 2 3, 3 4, 4 18 设向量组() 1, 2, , s 线性无关,且 i(i=1,2,s)不能由()1, 2, t 线性表出, i(i=1,2,t)不能由() 1, 2, s 线性表出,则向量 1, 2, s

5、, 1, 2, s ( )(A)必线性相关(B)必线性无关(C)可能线性相关,也可能线性无关(D)以上都不对9 已知 n 维向量的向量组 1, 2, s 线性无关,则向量组 1, 2, s 可能线性相关的是 ( )(A) i(i=1,2,s)是 i(i=1,2,s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量(B) i(i=1,2,s)是 i(i=1,2,s)中第一个分量改变成其相反数的向量(C) i(i=1,2,s)是 i(i=1,2,s)中第一个分量改为 0 的向量(D) i(i=1,2,s)是 i(i=1,2,s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量二、填空题10 设 A,B 为 3 阶相

6、似矩阵,且 2E+A =0 , 1=1, 2=1 为 B 的两个特征值,则行列式A+2AB =_11 设 A=E+T,其中 , 均为 n 维列向量, T=3,则A+2E=_12 已知 ABC=D,其中 ,则B*=_13 设 1=1, 0,1,2 T, 2=2,1,2,6 T, 3=3,1,t ,4T, =4,1,5,10 T,已知 不能由 1, 2, 3 线性表出,则 t=_14 已知 3 维向量组 1, 2, 3 线性无关,则向量组 1 2, 2k 3, 3 1 也线性无关的充要条件是 k_15 设 n 维向量 1, 2, 3 满足 21 2+33=0,对于任意的 n 维向量 ,向量组l1+

7、1,l 2+2,l 3+3 都线性相关,则参数 l1,l 2,l 3 应满足关系_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设有矩阵 Amn,B mn,E m+AB 可逆(1)验证:E n+BA 也可逆,且(E n+BA)1 =EnB(E m+AB)1 A;(2)设 其中=1利用 (1)证明: P 可逆,并求 P1 17 已知 1=1,1,1 T, 2=1,t,1 T, 3=t,1,2 T,=4,t 2,4 T,若 可由 1, 2, 3 线性表示,且表示法不唯一,求 t 及 的表达式18 设向量组 1, 2, s(s2)线性无关,且 1=1+2, 2=2+3, s1 =s1 +s

8、, s=s+1 讨论向量组 1, 2, s 的线性相关性19 设向量组 1, 2, t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系,向量 不是方程组 Ax=0 的解,即 A0证明:向量组 ,+ 1,+ 2,+ t 线性无关20 设向量组() 与向量组() ,若()可由()线性表示,且 r()=r()=r证明:()与() 等价21 求齐次线性方程组 基础解系22 问 为何值时,线性方程组 有解,并求出解的一般形式23 为何值时,方程组 无解,有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时写出方程组的通解24 设四元齐次线性方程组()为 又已知某齐次线性方程组()的通解为k10,1 ,1,0 T+k21

9、,2,2,1 T(1)求线性方程组()的基础解系;(2)问线性方程组() 和 ()是否有非零公共解 ?若有,则求出所有的非零公共解若没有,则说明理由25 设 1, 2, t 和 1, 2 s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系证明:AX=0 和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1, 2, t, 1, 2, s 线性相关26 已知 1=1,2,3,1 T, 2=5,5,a,11 T, 3=1,3,6,3T, 4=2,1,3,a T问: (1)a 为何值时,向量组 1, 2, 3, 4 线性相关; (2)a 为何值时,向量组 1, 2, 3, 4 线性无关; (3)a 为何值时, 4

10、能由1, 2, 3 线性表出,并写出它的表出式27 已知 问 取何值时,(1) 可由1, 2, 3 线性表出,且表达式唯一;(2) 可由 1, 2, 3 线性表出,但表达式不唯一;(3) 不能由 1, 2, 3 线性表出28 设向量组 1=a11,a 21,a n1T, 2=a12,a 22,a n2T, s=a1s,a 2s,a nsT证明:向量组 1, 2, s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组有非零解(有唯一零解)29 已知 1, 2, s 线性无关, 可由 1, 2, s 线性表出,且表示式的系数全不为零证明: 1, 2, s, 中任意 s 个向量线性无关30 已知向量组

11、 1, 2, s+1(s1)线性无关, i=i+ti+1,i=1,2,s 证明:向量组 1, 2, s 线性无关考研数学三(线性代数)模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1, 2, 3 线性无关,由于 1, 2, 3, 4 为 4 个 3 维向量,故 1, 2, 3, 4 线性相关,则 4 必能由 1, 2, 3 线性表出,可知 是正确的令 ,则 1, 2, 3 线性相关, 2, 3, 4 线性相关,但 1, 2, 4 线性无关可知 是错误的由 1, 1+2, 2+3 1, 2, 2+3 1, 2, 3

12、, 4, 1+4, 2+4, 3+4 4, 1, 2, 3 1, 2, 3, 4,可知 r(1, 1+2, 2+3)=r(1, 2, 3),r(4, 1+4, 2+4, 3+4)=r(1, 2, 3, 4),故当 r(1, 1+2, 2+3)=r(4, 1+4, 2+4, 3+4)时,也有 r(1, 2, 3)=r(1, 2, 3, 4),因此 4可以由 1, 2, 3 线性表出可知 是正确的故选(C) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 由 A1=A2=A3=b 可知 A(1 2)=A1A 2=bb=0,A( 12 2+3)=A12A 2+A3=b2b+b=0,=0,A(

13、 1+324 3)=A1+3A24A 3=b+3b4b=0 ,因此这 4 个向量都是 Ax=0 的解,故选(A) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数,显见(A)不正确由 nr(A)=1 知 Ax=0的基础解系由一个非零向量构成 1, 1+2 与 1 2 中哪一个一定是非零向量呢?已知条件只是说 1, 2 是两个不同的解,那么 1 可以是零解,因而 k1 可能不是通解如果 1= 20,则 1, 2 是两个不同的解,但 1+2=0,即两个不同的解不能保证 1+20因此要排除(B),(C)由于 12,必有 1 20可见(D)正确【知识模块】 线性代数4 【

14、正确答案】 B【试题解析】 当 Anx=0 时,易知 An+1x=A(Anx)=0,故()的解必是()的解,也即正确,错误 当 An+1x=0 时,假设 Anx0,则有 x,Ax,A nx 均不为零,可以证明这种情况下 x,Ax,A nx 是线性无关的由于 x,Ax ,A nx均为 n 维向量,而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的,矛盾,故假设不成立,因此必有 Anx=0可知( )的解必是( )的解,故正确,错误故选(B)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明之必要性:假设有一向量,如 s 可由1, 2, s1 线性表出,则 1, 2, s 线性相关,这和已

15、知矛盾,故任一向量均不能由其余向量线性表出充分性:假设 1, 2, s 线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出,这和已知矛盾,故 1, 2, s 线性无关(A)对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论(B)必要但不充分,如1=0,1,0 T, 2=1,1,0 T, 3=1,0,0 T 任意两个向量线性无关,但1, 2, 3 线性相关(D) 必要但不充分,如上例 1+2+30,但 1, 2, 3 线性相关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为 0 的 k1,k 2,k s, 1, 2, s 使得 (k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1

16、1)1+(k2 2)2+(ks s)s=0, 整理得 k1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1 1)+2(2 2)+ s(s s)=0,从而得1+1, , s+s, 1 1, s s 线性相关【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因(A) 1+2( 2+3)+(3+4)( 4+1)=0;(B)( 1 2)+(2 3)+(3 4)+(4 1)=0;(C)( 1+2)( 2 3)( 3+4)+(4 1)=0,故均线性相关,而 1+2, 2 3, 3 4, 4 1=1, 2, 3, 4=1, 2, 3, 4C,其中故1+2, 2 3, 3 4, 4 1 线性无关,两向

17、量组等价【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 只要对两种情况举出例子即可取线性无关,且显然不能相互线性表出,但 4 个 3 维向量必定线性相关;取 线性无关,且显然不能相互线性表出,且 4 个向量仍然线性无关由, 知,应选(C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 将一个分量均变为 0,相当于减少一个分量,此时新向量组可能变为线性相关(A) ,(B)属初等 (行)变换不改变矩阵的秩,并未改变列向量组的线性无关性,(D) 增加向量分量也不改变线性无关性【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 18【试题解析】 由2E+A=A(2E)=0 知 =2 为

18、 A 的一个特征值由AB 知 A 和 B 有相同特征值,因此 1=1, 2=1 也是 A 的特征值故 A,B 的特征值均为 1=1, 2=1, 3=2则有 E+2B 的特征值为 1+21=3,1+2(1)=1, 1+2(2)=3,从而 E+2B=3(1)(3)=9,A = 123=2 故 A+2AB=A(E+2B) =A.E+2B=29=18【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2.3 n【试题解析】 由于 T=3,可知 tr(T)=3 T 的秩为 1,故 0 至少为 T 的n1 重特征值,故 T 的特征值为 0(n1 重),3 因此,A+2E= T+3E 的特征值为 3(n1 重),6,

19、故 A+2E=3 n1 .6=2.3n【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 B 1 = , B*=BB 1 ,且 B1 =(A1 DC1 )1 =CD1 A=,所以【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 3【试题解析】 1, 2, 3,=不能由1, 2, 3 线性表出 t=3【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1【试题解析】 1 2, 2k 3, 3 1=1, 2, 3 1, 2, 3线性无关,故 1 2, 2k 3, 3 1 线性无关的充要条件是=1k0 ,k1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2l 1l 2+3l3=0【试题解析】 因 l1+1, l2+2

20、,l 3+3 线性相关存在不全为零的 k1,k 2,k 3,使得 k 1(l1+1)+k2(l2+2)+k3(l3+3)=0, 即 (k 1l1+k2l2+k3l3)+k11+k22+k33=0 因是任意向量, 1, 2, 3 满足 21 2+33=0,故令 2l1l 2+3l3=0 时上式成立故 l1,l 2, l 3 应满足 2l1l 2+3l3=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)(E n+BA)(EnB(E m+AB)1 A)=En+BAB(E m+AB)1 ABAB(E m+AB)1 A=En+BAB(E m+AB)(E

21、m+AB)1 A=En,故(E n+BA)1 =EnB(E m+AB)1 A 其中X=x1,x 2,x nT,y=y 1,y 2,y nT因 1+YTX=1+ =20,由(1)知P=E+XYT 可逆,且 p1 =(E+XYT)1 =EX(1+Y TX)1 YT=E XYT【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 x11+x22+x33=,按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得由条件知 r(A)=r( )3,从而 t=4,此时,增广矩阵可化为其通解为 ,kR所以 =3k 1+(4k) 2+k3,kR【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 x11+x22+xss=0,即(x 1+xs)

22、1+(x1+x2)2+(xs1 +xs)s=0因为 1, 2, s 线性无关,则 其系数行列式(1)当 s 为奇数时,A20,方程组只有零解,则向量组 1, 2, s 线性无关; (2)当 s 为偶数时,A =0 ,方程组有非零解,则向量组 1, 2, s 线性相关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 k+k1(+1)+kt(+t)=0,即(k+k 1+kt)+k11+ktt=0,等式两边左乘 A,得(k+k 1+kt)A=0 k+k1+kt=0,则 k11+ktt=0由1, 2, t 线性无关,得 k1=kt=0=k=0,所以 ,+ 1,+ 2,+ t 线性无关【知识模块】 线性代数

23、20 【正确答案】 设() 的一个极大无关组为 1, 2, r,()的一个极大无关组为 1, 2, r 因为()可由()表示,即 1, 2, r 可由1, 2, r 线性表示,于是 r( 1, 2, r, 1, 2, r)=r(1, 2, r)=r 又 1, 2, r 线性无关,则 1, 2, r,也可作为1, 2, r, 1, 2, r 的一个极大无关组,于是 1, 2, r 也可由1, 2, r 表示,即( ) 也可由()表示,得证【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A= ,则方程组的解为令 ,得方程组的基础解系 1=1,1,0,0,0T, 2=1,0,1,0,1 T【知识模块】 线

24、性代数22 【正确答案】 B=A b= 线性方程组有解 r(A)=r(B)+1=0=1,其通解为 x=k ,k 为任意常数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 方程组改写为 则有当 1 且 时,方程组有唯一解;当 =1 时,方程组有无穷多解,且通解为 x= ,k 为任意常数;当 =时,方程组无解【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)线性方程组() 的解为 ,得所求基础解系 1=0,0,1,0 T, 2=1,1,0,1 T(2)将方程组()的通解代入方程组(),得 =k1=k 2当 k1k 20 时,方程组 () 和()有非零公共解,且为 x=k 20,1,1,0 T+k21,2,

25、2,1 T=k21,1,1,1 T=k1,1,1,1T,其中 k 为任意非零常数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 必要性 由 1, 2, t, 1, 2, s 线性相关,知存在k1,k 2,k t,l 1,l 2, ,l s 不全为零,使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0 令 =k11+k22+ktt,则 0(否则k1,k 2,k t,l 1,l 2, ,l s 全为 0),且 =l 11l 22l ss, 即非零向量考既可由 1, 2, t 表示,也可由 1, 2, s 表示,所以 Ax=0 和 BX=0有非零公共解 充分性 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共

26、解,假设为 0,则=k11+k22+ktt 且 =l 11l 22l ss,于是,存在 k1,k 2,k t 不全为零,存在 l1,l 2,l s 不全为零,使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0 从而1, 2, , t, 1, 2, s 线性相关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 故 (1)a=4 或 a=12 时, 1, 2, 3, 4 线性相关;(2)a4,a12 时, 1, 2, 3, 4 线性无关;(3)a=4 时, 4 可由 1, 2, 3 线性表出得 4=1+3【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)0 且 3, 可由 1, 2, 3 线性表出,且

27、表出法唯一;(2)=0 时, 可由1, 2, 3 线性表出,且表达式不唯一;(3)=3 时, 不能由 1, 2, 3 线性表出【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 1, 2, s(线性无关)线性相关(不)存在不全为 0 的x1,x 2,x s,使得 x11+x22+xss=0 成立(没)有不全为 0 的 x1,x 2,x s,使得 =0 成立齐次线性方程组有非零解(唯一零解)【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 用反证法设 1, 2, s, 中任意 s 个向量组1, 2, i1 , i+1, , s, 线性相关,则存在不全为零的k1,k 2,k i1 ,k i+1,k s,k,使得 k

28、11+ki1 i1 +ki+1i+1+kss+k=0 另一方面,由题设 =l11+l22+lii+lss, 其中 li0,i=1,2,s代入上式,得 (k 1+kl1)1+(k2+kl2)2+(ki1 +ki+1)i1 +klii+(ki+1+kli+1)i+1+(ks+kls)s=0 因已知1, 2, s 线性无关,从而由 kli=0,l i0,故 k=0,从而由 式得k1,k 2,k i1 ,k i+1,k s 均为 0,矛盾 故 1, 2, s, 中任意 s 个向量线性无关【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设有数 k1,k 2,k s,使得 k11+k22+kss=0 成立,即k1(1+t2)+k2(2+t3)+ks(s+ts+1)=k11+(k1t+k2)2+(k2t+k3)3+(ks1 t+ks)s+ksts+1=0因 1, 2, s+1 线性无关,故 得唯一解k1=k2=ks=0,故 1, 2, s 线性无关【知识模块】 线性代数

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