1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 1， 2， 3， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关； 如果 1， 2， 3 线性相关，2， 3， 4 线性相关，则 1， 2， 4 也线性相关； 如果 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)，则 4 可以由 1， 2， 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）32 设 1， 2， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1
2、2， 1 22+3， (1 3)， 1+324 3，是导出组 Ax=0 的解向量的个数为 ( )（A）4（B） 3（C） 2（D）13 设 A 是秩为 n1 的 n 阶矩阵， 1， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是 ( )（A） 1+2（B） k1（C） k(1+2)（D）k( 1 2)4 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组()A nx=0 和()A n+1x=0，现有命题 () 的解必是() 的解； ()的解必是( )的解； ()的解不一定是()的解； () 的解不一定是()的解 其中正确的是 ( )（A）（B） （C） （D）5 n 维向量组 1
3、， 2， 3(3sn)线性无关的充要条件是 ( )（A）存在一组全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=0（B） 1， 2， s 中任意两个向量都线性无关（C） 1， 2， s 中任意一个向量都不能由其余向量线性表出（D）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss06 设有两个 n 维向量组() 1， 2， s，() 1， 2， s，若存在两组不全为零的数 k1，k 2，k s， 1， 2， s，使(k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1 1)1+(ks s)s=0，则 ( )（A） 1+1， ， s+s， 1 1， s s 线
4、性相关（B） 1， s 及 1， s 均线性无关（C） 1， s 及 1， ， s 均线性相关（D） 1+1， ， s+s， 1 1， s s 线性无关7 已知向量组() 1， 2， 3， 4 线性无关，则与()等价的向量组是 ( )（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1 2， 2 3， 3 4， 4 1（C） 1+2， 2 3， 3+4， 4 1（D） 1+2， 2 3， 3 4， 4 18 设向量组() 1， 2， ， s 线性无关，且 i(i=1，2，s)不能由()1， 2， t 线性表出， i(i=1，2，t)不能由() 1， 2， s 线性表出，则向量 1， 2， s
5、， 1， 2， s ( )（A）必线性相关（B）必线性无关（C）可能线性相关，也可能线性无关（D）以上都不对9 已知 n 维向量的向量组 1， 2， s 线性无关，则向量组 1， 2， s 可能线性相关的是 ( )（A） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量加到第 2 个分量得到的向量（B） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改变成其相反数的向量（C） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第一个分量改为 0 的向量（D） i(i=1，2，s)是 i(i=1，2，s)中第 n 个分量后再增添一个分量的向量二、填空题10 设 A，B 为 3 阶相
6、似矩阵，且 2E+A =0 ， 1=1， 2=1 为 B 的两个特征值，则行列式A+2AB =_11 设 A=E+T，其中 ， 均为 n 维列向量， T=3，则A+2E=_12 已知 ABC=D，其中 ，则B*=_13 设 1=1， 0，1，2 T， 2=2，1，2，6 T， 3=3，1，t ，4T， =4，1，5，10 T，已知 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 t=_14 已知 3 维向量组 1， 2， 3 线性无关，则向量组 1 2， 2k 3， 3 1 也线性无关的充要条件是 k_15 设 n 维向量 1， 2， 3 满足 21 2+33=0，对于任意的 n 维向量 ，向量组l1+
7、1，l 2+2，l 3+3 都线性相关，则参数 l1，l 2，l 3 应满足关系_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设有矩阵 Amn，B mn，E m+AB 可逆(1)验证：E n+BA 也可逆，且(E n+BA)1 =EnB(E m+AB)1 A；(2)设 其中=1利用 (1)证明： P 可逆，并求 P1 17 已知 1=1，1，1 T， 2=1，t，1 T， 3=t，1，2 T，=4，t 2，4 T，若 可由 1， 2， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式18 设向量组 1， 2， s(s2)线性无关，且 1=1+2， 2=2+3， s1 =s1 +s
8、， s=s+1 讨论向量组 1， 2， s 的线性相关性19 设向量组 1， 2， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0 的解，即 A0证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关20 设向量组() 与向量组() ，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r证明：()与() 等价21 求齐次线性方程组 基础解系22 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式23 为何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解? 并在有无穷多解时写出方程组的通解24 设四元齐次线性方程组()为 又已知某齐次线性方程组()的通解为k10，1 ，1，0 T+k21
9、，2，2，1 T(1)求线性方程组()的基础解系；(2)问线性方程组() 和 ()是否有非零公共解 ?若有，则求出所有的非零公共解若没有，则说明理由25 设 1， 2， t 和 1， 2 s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系证明：AX=0 和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关26 已知 1=1，2，3，1 T， 2=5，5，a，11 T， 3=1，3，6，3T， 4=2，1，3，a T问： (1)a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性相关； (2)a 为何值时，向量组 1， 2， 3， 4 线性无关； (3)a 为何值时， 4
10、能由1， 2， 3 线性表出，并写出它的表出式27 已知 问 取何值时，(1) 可由1， 2， 3 线性表出，且表达式唯一；(2) 可由 1， 2， 3 线性表出，但表达式不唯一；(3) 不能由 1， 2， 3 线性表出28 设向量组 1=a11，a 21，a n1T， 2=a12，a 22，a n2T， s=a1s，a 2s，a nsT证明：向量组 1， 2， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组有非零解(有唯一零解)29 已知 1， 2， s 线性无关， 可由 1， 2， s 线性表出，且表示式的系数全不为零证明： 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关30 已知向量组
11、 1， 2， s+1(s1)线性无关， i=i+ti+1，i=1，2，s 证明：向量组 1， 2， s 线性无关考研数学三（线性代数）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 如果 1， 2， 3 线性无关，由于 1， 2， 3， 4 为 4 个 3 维向量，故 1， 2， 3， 4 线性相关，则 4 必能由 1， 2， 3 线性表出，可知 是正确的令 ，则 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性相关，但 1， 2， 4 线性无关可知 是错误的由 1， 1+2， 2+3 1， 2， 2+3 1， 2， 3
12、， 4， 1+4， 2+4， 3+4 4， 1， 2， 3 1， 2， 3， 4，可知 r(1， 1+2， 2+3)=r(1， 2， 3)，r(4， 1+4， 2+4， 3+4)=r(1， 2， 3， 4)，故当 r(1， 1+2， 2+3)=r(4， 1+4， 2+4， 3+4)时，也有 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 4)，因此 4可以由 1， 2， 3 线性表出可知 是正确的故选(C) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 由 A1=A2=A3=b 可知 A(1 2)=A1A 2=bb=0，A( 12 2+3)=A12A 2+A3=b2b+b=0，=0，A(
13、 1+324 3)=A1+3A24A 3=b+3b4b=0 ，因此这 4 个向量都是 Ax=0 的解，故选(A) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由 nr(A)=1 知 Ax=0的基础解系由一个非零向量构成 1， 1+2 与 1 2 中哪一个一定是非零向量呢?已知条件只是说 1， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k1 可能不是通解如果 1= 20，则 1， 2 是两个不同的解，但 1+2=0，即两个不同的解不能保证 1+20因此要排除(B)，(C)由于 12，必有 1 20可见(D)正确【知识模块】 线性代数4 【
14、正确答案】 B【试题解析】 当 Anx=0 时，易知 An+1x=A(Anx)=0，故()的解必是()的解，也即正确，错误 当 An+1x=0 时，假设 Anx0，则有 x，Ax，A nx 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A nx 是线性无关的由于 x，Ax ，A nx均为 n 维向量，而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾，故假设不成立，因此必有 Anx=0可知( )的解必是( )的解，故正确，错误故选(B)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 可用反证法证明之必要性：假设有一向量，如 s 可由1， 2， s1 线性表出，则 1， 2， s 线性相关，这和已
15、知矛盾，故任一向量均不能由其余向量线性表出充分性：假设 1， 2， s 线性相关至少存在一个向量可由其余向量线性表出，这和已知矛盾，故 1， 2， s 线性无关(A)对任何向量组都有 01+02+0 s=0 的结论(B)必要但不充分，如1=0，1，0 T， 2=1，1，0 T， 3=1，0，0 T 任意两个向量线性无关，但1， 2， 3 线性相关(D) 必要但不充分，如上例 1+2+30，但 1， 2， 3 线性相关【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 存在不全为 0 的 k1，k 2，k s， 1， 2， s 使得 (k 1+1)1+(k2+2)2+(ks+s)s+(k1
16、1)1+(k2 2)2+(ks s)s=0， 整理得 k1(1+1)+k2(2+2)+ks(s+s)+1(1 1)+2(2 2)+ s(s s)=0，从而得1+1， ， s+s， 1 1， s s 线性相关【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 因(A) 1+2( 2+3)+(3+4)( 4+1)=0；(B)( 1 2)+(2 3)+(3 4)+(4 1)=0；(C)( 1+2)( 2 3)( 3+4)+(4 1)=0，故均线性相关，而 1+2， 2 3， 3 4， 4 1=1， 2， 3， 4=1， 2， 3， 4C，其中故1+2， 2 3， 3 4， 4 1 线性无关，两向
17、量组等价【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 只要对两种情况举出例子即可取线性无关，且显然不能相互线性表出，但 4 个 3 维向量必定线性相关；取 线性无关，且显然不能相互线性表出，且 4 个向量仍然线性无关由， 知，应选(C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 将一个分量均变为 0，相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为线性相关(A) ，(B)属初等 (行)变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性无关性，(D) 增加向量分量也不改变线性无关性【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 18【试题解析】 由2E+A=A(2E)=0 知 =2 为
18、 A 的一个特征值由AB 知 A 和 B 有相同特征值，因此 1=1， 2=1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为 1=1， 2=1， 3=2则有 E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(1)=1， 1+2(2)=3，从而 E+2B=3(1)(3)=9，A = 123=2 故 A+2AB=A(E+2B) =A.E+2B=29=18【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 2.3 n【试题解析】 由于 T=3，可知 tr(T)=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的n1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n1 重)，3 因此，A+2E= T+3E 的特征值为 3(n1 重)，6，
19、故 A+2E=3 n1 .6=2.3n【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 B 1 = ， B*=BB 1 ，且 B1 =(A1 DC1 )1 =CD1 A=，所以【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 3【试题解析】 1， 2， 3，=不能由1， 2， 3 线性表出 t=3【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 1【试题解析】 1 2， 2k 3， 3 1=1， 2， 3 1， 2， 3线性无关，故 1 2， 2k 3， 3 1 线性无关的充要条件是=1k0 ，k1【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2l 1l 2+3l3=0【试题解析】 因 l1+1， l2+2
20、，l 3+3 线性相关存在不全为零的 k1，k 2，k 3，使得 k 1(l1+1)+k2(l2+2)+k3(l3+3)=0， 即 (k 1l1+k2l2+k3l3)+k11+k22+k33=0 因是任意向量， 1， 2， 3 满足 21 2+33=0，故令 2l1l 2+3l3=0 时上式成立故 l1，l 2， l 3 应满足 2l1l 2+3l3=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 (1)(E n+BA)(EnB(E m+AB)1 A)=En+BAB(E m+AB)1 ABAB(E m+AB)1 A=En+BAB(E m+AB)(E
21、m+AB)1 A=En，故(E n+BA)1 =EnB(E m+AB)1 A 其中X=x1，x 2，x nT，y=y 1，y 2，y nT因 1+YTX=1+ =20，由(1)知P=E+XYT 可逆，且 p1 =(E+XYT)1 =EX(1+Y TX)1 YT=E XYT【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得由条件知 r(A)=r( )3，从而 t=4，此时，增广矩阵可化为其通解为 ，kR所以 =3k 1+(4k) 2+k3，kR【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 设 x11+x22+xss=0，即(x 1+xs)
22、1+(x1+x2)2+(xs1 +xs)s=0因为 1， 2， s 线性无关，则 其系数行列式(1)当 s 为奇数时，A20，方程组只有零解，则向量组 1， 2， s 线性无关； (2)当 s 为偶数时，A =0 ，方程组有非零解，则向量组 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 k+k1(+1)+kt(+t)=0，即(k+k 1+kt)+k11+ktt=0，等式两边左乘 A，得(k+k 1+kt)A=0 k+k1+kt=0，则 k11+ktt=0由1， 2， t 线性无关，得 k1=kt=0=k=0，所以 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 线性代数
23、20 【正确答案】 设() 的一个极大无关组为 1， 2， r，()的一个极大无关组为 1， 2， r 因为()可由()表示，即 1， 2， r 可由1， 2， r 线性表示，于是 r( 1， 2， r， 1， 2， r)=r(1， 2， r)=r 又 1， 2， r 线性无关，则 1， 2， r，也可作为1， 2， r， 1， 2， r 的一个极大无关组，于是 1， 2， r 也可由1， 2， r 表示，即( ) 也可由()表示，得证【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 A= ，则方程组的解为令 ，得方程组的基础解系 1=1，1，0，0，0T， 2=1，0，1，0，1 T【知识模块】 线
24、性代数22 【正确答案】 B=A b= 线性方程组有解 r(A)=r(B)+1=0=1，其通解为 x=k ，k 为任意常数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 方程组改写为 则有当 1 且 时，方程组有唯一解；当 =1 时，方程组有无穷多解，且通解为 x= ，k 为任意常数；当 =时，方程组无解【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)线性方程组() 的解为 ，得所求基础解系 1=0，0，1，0 T， 2=1，1，0，1 T(2)将方程组()的通解代入方程组()，得 =k1=k 2当 k1k 20 时，方程组 () 和()有非零公共解，且为 x=k 20，1，1，0 T+k21，2，
25、2，1 T=k21，1，1，1 T=k1，1，1，1T，其中 k 为任意非零常数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 必要性 由 1， 2， t， 1， 2， s 线性相关，知存在k1，k 2，k t，l 1，l 2， ，l s 不全为零，使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0 令 =k11+k22+ktt，则 0(否则k1，k 2，k t，l 1，l 2， ，l s 全为 0)，且 =l 11l 22l ss， 即非零向量考既可由 1， 2， t 表示，也可由 1， 2， s 表示，所以 Ax=0 和 BX=0有非零公共解 充分性 若 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共
26、解，假设为 0，则=k11+k22+ktt 且 =l 11l 22l ss，于是，存在 k1，k 2，k t 不全为零，存在 l1，l 2，l s 不全为零，使得 k11+k22+ktt+l11+l22+lss=0 从而1， 2， ， t， 1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 故 (1)a=4 或 a=12 时， 1， 2， 3， 4 线性相关；(2)a4，a12 时， 1， 2， 3， 4 线性无关；(3)a=4 时， 4 可由 1， 2， 3 线性表出得 4=1+3【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)0 且 3， 可由 1， 2， 3 线性表出，且
27、表出法唯一；(2)=0 时， 可由1， 2， 3 线性表出，且表达式不唯一；(3)=3 时， 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 1， 2， s(线性无关)线性相关(不)存在不全为 0 的x1，x 2，x s，使得 x11+x22+xss=0 成立(没)有不全为 0 的 x1，x 2，x s，使得 =0 成立齐次线性方程组有非零解(唯一零解)【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 用反证法设 1， 2， s， 中任意 s 个向量组1， 2， i1 ， i+1， ， s， 线性相关，则存在不全为零的k1，k 2，k i1 ，k i+1，k s，k，使得 k
28、11+ki1 i1 +ki+1i+1+kss+k=0 另一方面，由题设 =l11+l22+lii+lss， 其中 li0，i=1，2，s代入上式，得 (k 1+kl1)1+(k2+kl2)2+(ki1 +ki+1)i1 +klii+(ki+1+kli+1)i+1+(ks+kls)s=0 因已知1， 2， s 线性无关，从而由 kli=0，l i0，故 k=0，从而由 式得k1，k 2，k i1 ，k i+1，k s 均为 0，矛盾 故 1， 2， s， 中任意 s 个向量线性无关【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k s，使得 k11+k22+kss=0 成立，即k1(1+t2)+k2(2+t3)+ks(s+ts+1)=k11+(k1t+k2)2+(k2t+k3)3+(ks1 t+ks)s+ksts+1=0因 1， 2， s+1 线性无关，故 得唯一解k1=k2=ks=0，故 1， 2， s 线性无关【知识模块】 线性代数
